四面体の$4$つの頂点を$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{A}_4$とし，空間のある点$\mathrm{P}$に関するそれぞれの位置ベクトルを$\overrightarrow{a_1}$，$\overrightarrow{a_2}$，$\overrightarrow{a_3}$，$\overrightarrow{a_4}$とする．いま$\triangle \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4$，$\triangle \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4$，$\triangle \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_4$，$\triangle \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3$を順に$\mathrm{T}_1$，$\mathrm{T}_2$，$\mathrm{T}_3$，$\mathrm{T}_4$で表しその重心をそれぞれ$\mathrm{G}_1$，$\mathrm{G}_2$，$\mathrm{G}_3$，$\mathrm{G}_4$とする．
(1) 点$\mathrm{H}$を$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PH}}=\frac{\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}+\overrightarrow{a_4}}{4}$を満たす点とすると，$4$つの直線$\mathrm{A}_i \mathrm{G}_i \ \ (i=1,\ 2,\ 3,\ 4)$は$\mathrm{H}$で交わることを示せ．
(2) 「直線$\mathrm{A}_i \mathrm{H}$は$\mathrm{T}_i$を含む平面に直交する（$i=1,\ 2,\ 3,\ 4$）」という条件が成り立つと仮定する．このとき$\mathrm{P}$として$\mathrm{H}$を選べば，$\overrightarrow{a_j}$と$\overrightarrow{a_k}$の内積$\overrightarrow{a_j} \cdot \overrightarrow{a_k} \ \ (j,\ k=1,\ 2,\ 3,\ 4)$の値は$j \neq k$を満たすどの$j,\ k$に対しても同じであることを示せ．
(3) (2)の条件が成り立てば，四面体$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4$は正四面体であることを示せ．