滋賀大学
2014年 文系 第2問
2
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$2$つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を以下のように定める．
$a_1=a,\ a_{2n}=a_{2n-1}+d,\ a_{2n+1}=ra_{2n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$b_1=a,\ b_{2n}=rb_{2n-1},\ b_{2n+1}=b_{2n}+d \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
ただし，$a \neq 0$，$r \neq 0$，$r \neq 1$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) $a=3$，$d=1$，$r=2$のとき，$b_9$を求めよ．
(2) 数学的帰納法を用いて，すべての自然数$n$に対して次が成り立つことを示せ． \[ a_{2n}=ar^{n-1}+\frac{d(r^n-1)}{r-1} \]
(3) すべての自然数$n$に対して$\displaystyle b_{2n+1}-a_{2n}=\frac{2}{5}ar^n$が成り立つとき，$r$の値を求めよ．
$a_1=a,\ a_{2n}=a_{2n-1}+d,\ a_{2n+1}=ra_{2n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$b_1=a,\ b_{2n}=rb_{2n-1},\ b_{2n+1}=b_{2n}+d \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
ただし，$a \neq 0$，$r \neq 0$，$r \neq 1$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) $a=3$，$d=1$，$r=2$のとき，$b_9$を求めよ．
(2) 数学的帰納法を用いて，すべての自然数$n$に対して次が成り立つことを示せ． \[ a_{2n}=ar^{n-1}+\frac{d(r^n-1)}{r-1} \]
(3) すべての自然数$n$に対して$\displaystyle b_{2n+1}-a_{2n}=\frac{2}{5}ar^n$が成り立つとき，$r$の値を求めよ．
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