大阪市立大学
2014年 文系 第3問
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図のような三角柱$\mathrm{ABC}$-$\mathrm{DEF}$が中心$\mathrm{O}$，半径$1$の球に内接している．すなわち，三角柱の頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$はすべて，中心$\mathrm{O}$，半径$1$の球面上にある．また，三角形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{DEF}$は合同な正三角形で，四角形$\mathrm{ADEB}$，四角形$\mathrm{BEFC}$，四角形$\mathrm{CFDA}$は合同な長方形であるとする．$\angle \mathrm{AOD}=2 \alpha$，$\angle \mathrm{AOB}=2 \beta$とおく．ただし，$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle 0<\beta<\frac{\pi}{3}$とする．次の問いに答えよ．
\imgc{506_1167_2014_1}
(1) $\displaystyle \frac{\sin \beta}{\cos \alpha}$の値を求めよ．
(2) 三角柱$\mathrm{ABC}$-$\mathrm{DEF}$の体積$V$を$\alpha$を用いて表せ．
(3) $V$の最大値を求めよ．
(1) $\displaystyle \frac{\sin \beta}{\cos \alpha}$の値を求めよ．
(2) 三角柱$\mathrm{ABC}$-$\mathrm{DEF}$の体積$V$を$\alpha$を用いて表せ．
(3) $V$の最大値を求めよ．
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