$2$次方程式$x^2-x-1=0$の解を$\alpha,\ \beta \ \ (\alpha>\beta)$とし， \[ \left( \begin{array}{c} a_n \\ b_n \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} \displaystyle\frac{\sqrt{5}}{5} & -\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{5} \\ 1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \alpha^n \\ \beta^n \end{array} \right) \] によって数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$を定義する．ただし，$n$は自然数である．次の各問に答えなさい．
(1) 次の各問に答えなさい．
(ⅰ) $\alpha,\ \beta$の値を求めなさい．
(ⅱ) $a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めなさい．
(ⅲ) $b_1,\ b_2,\ b_3$の値を求めなさい．
(2) ベクトル$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q},\ \overrightarrow{r}$をそれぞれ$\overrightarrow{p}=(a_1,\ b_1)$，$\overrightarrow{q}=(a_2,\ b_2)$，$\overrightarrow{r}=(a_3,\ b_3)$と定義する．
(ⅰ) $\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q},\ \overrightarrow{r}$の大きさ$|\overrightarrow{p}|$，$|\overrightarrow{q}|$，$|\overrightarrow{r}|$を求めなさい．
(ⅱ) $\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$のなす角$\theta$について，$\cos \theta$，$\sin \theta$，$\tan \theta$を求めなさい．
(ⅲ) $\overrightarrow{q}$と$\overrightarrow{r}$のなす角$\theta$について，$\cos 2\theta$，$\sin 2\theta$，$\tan 2\theta$を求めなさい．
(3) 自然数$n$について，$a_{n+1} \geqq a_n$，$b_{n+1} \geqq b_n$がそれぞれ成り立つ．
(ⅰ) $\displaystyle \log_{10}a_n \leqq \frac{1}{3}$を満たす$n$をすべて求めなさい．
(ⅱ) $\displaystyle \log_{10}b_n \leqq \frac{1}{3}$を満たす$n$をすべて求めなさい．
(ⅲ) $\log_{10}(a_nb_n) \leqq 1$を満たす$n$をすべて求めなさい．