$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=4$，$\angle \mathrm{A}={60}^\circ$とします．辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$を$\mathrm{AD}=\mathrm{CE}$となるようにとります．ただし，点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$は頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とは異なるものとします．次の問いに答えなさい．
(1) $\mathrm{BC}$の長さを求めなさい．
(2) $\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$を求めなさい．
(3) $\mathrm{DE}$の長さが$2 \sqrt{2}$となるとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．
(4) 四角形$\mathrm{DBCE}$の面積が最小となる$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．また，そのときの四角形$\mathrm{DBCE}$の面積を求めなさい．