岐阜大学
2012年 理系 第4問
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数列$\{x_n\}$を
\[ x_1=1,\ x_{n+1}=x_n+x_n(1-\log x_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定めることにする．$e$を自然対数の底として，以下の問に答えよ．
(1) 実数$x$が$0<x<e$のとき，$\displaystyle \frac{1}{e}(e-x) < 1-\log x < \frac{1}{x}(e-x)$となることを示せ．
(2) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，$1 \leqq x_n < e$であることを示せ．
(3) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，$\displaystyle e-x_{n+1}< \left(1-\frac{1}{e} \right) (e-x_n)$であることを示せ．
(4) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=e$であることを示せ．
(1) 実数$x$が$0<x<e$のとき，$\displaystyle \frac{1}{e}(e-x) < 1-\log x < \frac{1}{x}(e-x)$となることを示せ．
(2) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，$1 \leqq x_n < e$であることを示せ．
(3) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，$\displaystyle e-x_{n+1}< \left(1-\frac{1}{e} \right) (e-x_n)$であることを示せ．
(4) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=e$であることを示せ．
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