岐阜大学
2014年 文系 第5問
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数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=\frac{3}{4},\quad a_{n+1}=1-\frac{1}{4a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．以下の問に答えよ．
(1) $a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5,\ a_6$を求めよ．また，それより一般項$a_n$を推定せよ．
(2) 数学的帰納法により，$(1)$の一般項の推定が正しいことを証明せよ．
(3) $n$を正の整数とする．すべての実数$x$に対して，不等式 \[ a_nx^2+x+1 \geqq a_{n+1} \] が成り立つことを示せ．
(4) $n$を正の整数とする．すべての実数$x$に対して，不等式 \[ x^{2n}+x^{2n-1}+x^{2n-2}+\cdots +x^2+x+1 \geqq a_n \] が成り立つことを示せ．
(1) $a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5,\ a_6$を求めよ．また，それより一般項$a_n$を推定せよ．
(2) 数学的帰納法により，$(1)$の一般項の推定が正しいことを証明せよ．
(3) $n$を正の整数とする．すべての実数$x$に対して，不等式 \[ a_nx^2+x+1 \geqq a_{n+1} \] が成り立つことを示せ．
(4) $n$を正の整数とする．すべての実数$x$に対して，不等式 \[ x^{2n}+x^{2n-1}+x^{2n-2}+\cdots +x^2+x+1 \geqq a_n \] が成り立つことを示せ．
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