$2$つの物体$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が平面上をそれぞれ一定の速度$u,\ v$（$\mathrm{km}/$時）で$\mathrm{A}$は真東に，$\mathrm{B}$は真北に移動している．最初，$2$つの物体間の距離は$10 \, \mathrm{km}$であった．$1$時間後，その距離は$4 \, \mathrm{km}$となり，さらに$1$時間後は$12 \, \mathrm{km}$となった．$x$軸，$y$軸の正の方向をそれぞれ真東，真北として座標軸をとるとき，以下の問に答えよ．
(1) $x$軸，$y$軸上に，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の初期の位置をそれぞれ$(x,\ 0)$，$(0,\ y)$（単位は$\mathrm{km}$）として，最初，$1$時間後，$2$時間後の$\mathrm{AB}$間の距離の$2$乗を表す関係式を$x,\ y,\ u,\ v$を用いて表せ．
(2) $3$時間後の両物体間の距離を$Z$とし，$Z^2$を表す関係式を$x,\ y,\ u,\ v$を用いて表せ．
(3) $3$時間後の両物体間の距離を求めよ．
(4) 両物体が平面上で衝突しないことを示せ．