熊本大学
2016年 文系 第1問
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下図のように,$\triangle \mathrm{ABC}$の外部に$3$点$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$を$\triangle \mathrm{ABD}$,$\triangle \mathrm{BCE}$,$\triangle \mathrm{CAF}$がそれぞれ正三角形になるようにとる.$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$,$3$辺の長さを$\mathrm{BC}=a$,$\mathrm{CA}=b$,$\mathrm{AB}=c$とおくとき,以下の問いに答えよ.
\imgc{721_2974_2016_1}
(1) $\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおくとき,$\sin \theta$を$b,\ c,\ S$を用いて,$\cos \theta$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ.
(2) $\mathrm{DC}^2$を$a,\ b,\ c,\ S$を用いて表し,$\mathrm{DC}^2=\mathrm{EA}^2=\mathrm{FB}^2$が成り立つことを示せ.
(3) $3$つの正三角形の面積の平均を$T$とおくとき,$\mathrm{DC}^2$を$S$と$T$を用いて表せ.
(1) $\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおくとき,$\sin \theta$を$b,\ c,\ S$を用いて,$\cos \theta$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ.
(2) $\mathrm{DC}^2$を$a,\ b,\ c,\ S$を用いて表し,$\mathrm{DC}^2=\mathrm{EA}^2=\mathrm{FB}^2$が成り立つことを示せ.
(3) $3$つの正三角形の面積の平均を$T$とおくとき,$\mathrm{DC}^2$を$S$と$T$を用いて表せ.
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