ある薬品$30 \mathrm{g}$を純水$70 \mathrm{g}$に溶かした溶液が入ったビーカー$\mathrm{A}$と純水$100 \mathrm{g}$が入ったビーカー$\mathrm{B}$がある．今，次のような手順を繰り返して行うとする．
[$\maruichi$] ビーカー$\mathrm{B}$の溶液のうち$50 \mathrm{g}$をビーカー$\mathrm{A}$に入れ，その後ビーカー$\mathrm{A}$の溶液をよくかき混ぜる． [$\maruni$] できあがったビーカー$\mathrm{A}$の溶液のうち$50 \mathrm{g}$をビーカー$\mathrm{B}$に戻し，その後ビーカー$\mathrm{B}$の溶液をよくかき混ぜる．

(1) この手順を$1$回行った後のビーカー$\mathrm{A}$の溶液に含まれる薬品の重さを$a_1$，ビーカー$\mathrm{B}$の溶液に含まれる薬品の重さを$b_1$とする．$a_1,\ b_1$の値を求めよ．
(2) この手順を$n$回（$n \geqq 2$）行った後のビーカー$\mathrm{A}$の溶液に含まれる薬品の重さを$a_n$，ビーカー$\mathrm{B}$の溶液に含まれる薬品の重さを$b_n$とする．$a_n$を$a_{n-1},\ b_{n-1}$で表せ．また，$b_n$を$a_{n-1},\ b_{n-1}$で表せ．
(3) $c_n=a_n+b_n$と置くとき，$c_n$の値を求めよ．
(4) $d_n=a_n-b_n$と置くとき，$d_n$を$n$の式で表せ．
(5) ビーカー$\mathrm{A}$の溶液に含まれる薬品とビーカー$\mathrm{B}$の溶液に含まれる薬品の重さの差が$0.1 \mathrm{g}$以下になるのは，この手順を何回繰り返した後か． $a_n,\ b_n$を$n$の式で表せ．