$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上を動く点$\mathrm{P}$の時刻$t$における座標$\mathrm{P}(x(t),\ y(t))$が \[ \left\{ \begin{array}{l} x(t)=e^t \cos t \\ y(t)=e^t \sin t \end{array} \right. \] で与えられている．
(1) 時刻$t$における点$\mathrm{P}$の速度ベクトル$\overrightarrow{v_1}(t)=(x^\prime(t),\ y^\prime(t))$は，ある$2 \times 2$行列$A$によって \[ \left( \begin{array}{c} x^\prime(t) \\ y^\prime(t) \end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array} \right) \] と表すことができる．この行列$A$を求めよ．
(2) $\mathrm{P}$の各座標の時刻$t$による$n$次導関数を成分とするベクトルを$\overrightarrow{v_n}(t)=(x^{(n)}(t),\ y^{(n)}(t))$とおく．このとき，$n \geqq 1$に対し， \[ \left( \begin{array}{c} x^{(n)}(t) \\ y^{(n)}(t) \end{array} \right)=A^n \left( \begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array} \right) \] となることを，数学的帰納法を用いて示せ．
(3) $\overrightarrow{v_{2013}}(\pi)$を求めよ．