中心の座標が$(1,\ 1)$，半径が$2 \sqrt{2}$である座標平面上の円を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$に対して$t=x+y$とおく．

(1)$\mathrm{P}(x,\ y)$が$C$上を動くとき$t$が取り得る値の範囲は$[$1$][$2$] \leqq t \leqq [$3$][$4$]$である．特に$t=0$のとき，$x^2+y^2=[$5$]$が成り立つ．
(2)$\mathrm{P}(x,\ y)$が$C$上を動くとき，$xy$の値は$t=[$6$]$のとき最小値$\displaystyle \frac{[$7$][$8$]}{[$9$]}$をとる．
(3)$\mathrm{P}(x,\ y)$が$C$上を動くとき，$x^3+y^3$の値は$t=[$10$]+\sqrt{[$11$][$12$]}$のとき最大になる．

$m$を自然数とし，整数$x,\ y$は$x^3+y^3=m$を満たすとする．

(1)$0<x^2-xy+y^2 \leqq m$が成り立つことを示せ．

(2)$\displaystyle y^2 \leqq \frac{4}{3}m$が成り立つことを示せ．

(3)$x^3+y^3=19$を満たす整数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．ただし，$(2)$の結果を利用してもよい．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$，$\displaystyle y=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$のとき，$x^2+y^2-xy=[アイ]$である．

(2)$\displaystyle 1+\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{x}}}=\frac{[ウ]x+[エ]}{[オ]x+[カ]}$である．
(3)$k$を定数とする．$2$次方程式$x^2+(3k+1)x+2k^2+2k-1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とし，$\beta-\alpha=2$とする．このとき，$k=[キ]$であり，$\alpha=[クケ]$，$\beta=[コサ]$である．
(4)不等式$|2x^2+x-2|>1$の解は$\displaystyle x<\frac{[シス]}{[セ]}$，$\displaystyle [ソタ]<x<\frac{[チ]}{[ツ]}$，$[テ]<x$である．
(5)等式$720x=y^3$を満たす正の整数$x,\ y$の組のうち，$x$が最小であるものは$x=[アイウ]$，$y=[エオ]$である．
(6)点$(1,\ 2)$に関して点$(2,\ -1)$と対称な点の座標は$([カ],\ [キ])$である．また，直線$2x-y-1=0$に関して，点$(2,\ -1)$と対称な点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[クケ]}{[コ]},\ \frac{[サ]}{[シ]} \right)$である．
(7)$a,\ b$を定数とし，$a>0$とする．関数$y=ax^2-6ax+b (1 \leqq x \leqq 4)$の最大値が$5$，最小値が$-2$であるとき，$\displaystyle a=\frac{[ス]}{[セ]}$，$\displaystyle b=\frac{[ソタ]}{[チ]}$である．
(8)$2$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の差の絶対値が$2$である確率は$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テ]}$である．

次の問いに答えなさい．

(1)次の式を展開しなさい．

$(x+y)(x^2+xy+y^2)(x-y)^2(x^2+y^2)$
$=\mkakko{$\mathrm{a}$}x^7+\mkakko{$\mathrm{b}$} \mkakko{$\mathrm{c}$}x^4y^3+\mkakko{$\mathrm{d}$} \mkakko{$\mathrm{e}$}x^3y^4+\mkakko{$\mathrm{f}$}y^7$

(2)$360$の正の約数の個数とその総和を求めなさい．

約数の個数は$\mkakko{$\mathrm{g}$} \mkakko{$\mathrm{h}$}$個，約数の総和は$\mkakko{$\mathrm{i}$} \mkakko{$\mathrm{j}$} \mkakko{$\mathrm{k}$} \mkakko{$\mathrm{l}$}$である．

(3)実数$x$と$y$が$x<0<y$を満たすとき，次の式を簡単にしなさい．

$\sqrt{x^2-4xy+4y^2}+|3x-5y|=\mkakko{$\mathrm{m}$} \mkakko{$\mathrm{n}$}x+\mkakko{$\mathrm{o}$}y$

(4)$2,\ 3,\ A,\ 6,\ B$という値からなるデータがある．平均値が$5$，分散の値が$6$であるとき$A$と$B$の値を求めなさい．

$(A,\ B)=(\mkakko{$\mathrm{p}$},\ \mkakko{$\mathrm{q}$})$または$(\mkakko{$\mathrm{r}$},\ \mkakko{$\mathrm{s}$})$．ただし$\mkakko{$\mathrm{p}$}<\mkakko{$\mathrm{r}$}$である．

次の問いに答えなさい．

(1)$3$次方程式$x^3+px+q=0$の$3$つの解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とする．

(i) $p,\ q$を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を用いて表しなさい．
(ii) $\alpha^2 \beta^2+\alpha^2 \gamma^2+\beta^2 \gamma^2$を$p,\ q$を用いて表しなさい．

(2)次の式を因数分解しなさい．
\[ x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y) \]

次の問に答えよ．

(1)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，方程式$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$を解け．
(2)$a$を実数とする．$x$の$4$次方程式$(x^2+ax+1)(x^2+x+a)=0$が異なる$2$つの実数解と異なる$2$つの虚数解をもつような$a$の範囲を求めよ．
(3)$x^3+2yx^2-y^2x-2y^3$を因数分解せよ．

次の式を因数分解せよ．

(1)$x^4-6x^2+5$
(2)$2xyz+x^2y+xy^2+x+y+2z$
(3)$x^3-x^2-xy-y^3-y^2$

以下の$[　]$にあてはまる式または数値を記入せよ．

(1)$8x^3-27y^3$を因数分解すると$[ア]$である．
(2)関数$f(x)=x^2-4x+5 (-1 \leqq x \leqq 3)$の最大値は$[イ]$，最小値は$[ウ]$である．
(3)$\displaystyle \frac{3+i}{1-2i}$を$a+bi$の形にすると，$a=[エ]$，$b=[オ]$である．ただし，$a,\ b$は実数とし，$i$は虚数単位とする．
(4)不等式$\log_3 (1-x) \leqq \log_{\frac{1}{3}} (2x+1)$を満たす$x$の値の範囲は$[カ]$である．
(5)日曜日から土曜日までのうち$3$つの曜日を選び，毎週それらの曜日に出勤することとする．出勤する曜日の選び方は全部で$[キ]$通りある．また，$2$日は連続して出勤するが，$3$日は連続して出勤しないような曜日の選び方は$[ク]$通りある．

実数$x,\ y$に関する連立方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^3+3y=4 \\
3x+y^3=4
\end{array} \right. \cdots\cdots (*) \]
について，次の各問に答えよ．

(1)$(x,\ y)$が連立方程式$(*)$の解であるとき，$x^3+y^3+3x+3y$の値および$x^3-y^3-3x+3y$の値を求めよ．
(2)連立方程式$(*)$の解$(x,\ y)$で$x=y$となるものをすべて求めよ．
(3)連立方程式$(*)$の解$(x,\ y)$で$x \neq y$となるものに対して
\[ X=x+y,\quad Y=xy \]
とおく．このとき$X,\ Y$の値を求めよ．
(4)連立方程式$(*)$の解$(x,\ y)$は全部でいくつあるか．

以下の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2},\ y=\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2}$のとき，$x^2+y^2$の値を求めよ．
(2)$x$の整式$f(x)$を$x^2-x-6$で割った余りが$3ax+15$で，$f(x)$を$x^2-7x+12$で割った余りが$5x-3$であるとき，定数$a$の値を求めよ．
(3)${(2x-3y)}^5$の展開式における，$x^2y^3$の係数を求めよ．