「y^2」について
タグ「y^2」の検索結果
(8ページ目:全631問中71問~80問を表示)![千葉工業大学](./img/univ/chibakougyou.png)
次の各問に答えよ.
(1)三角形$\mathrm{OAB}$において,$\mathrm{OA}=9$,$\mathrm{OB}=7$,内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=57$である.$\mathrm{AB}=[ア]$であり,頂点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線を$\mathrm{OP}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[イ]}{[ウ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}} \]
である.$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{Q}$とすると,$\displaystyle \mathrm{AQ}=\frac{[エ]}{[オ]}$であり,$\displaystyle \mathrm{PQ}=\frac{[カキ]}{[ク]}$である.
(2)$xy$平面上に円$K:x^2+y^2-4x-2y+4=0$と直線$\ell:y=ax+a+1$がある.$\ell$は定数$a$の値によらず,点$\mathrm{P}([ケコ],\ [サ])$を通る.
$a=0$のとき,$\ell$と$K$との$2$つの交点を$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$とすると,$\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB}=[シ]$である.
また,$\ell$が$K$と$2$点$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$で交わり,$\mathrm{PC}:\mathrm{PD}=2:3$であるとき,
\[ \mathrm{CD}=\frac{[ス] \sqrt{[セ]}}{[ソ]} \]
であり,$\displaystyle a=\pm \frac{\sqrt{[タ]}}{[チ]}$である.
(1)三角形$\mathrm{OAB}$において,$\mathrm{OA}=9$,$\mathrm{OB}=7$,内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=57$である.$\mathrm{AB}=[ア]$であり,頂点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線を$\mathrm{OP}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[イ]}{[ウ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}} \]
である.$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{Q}$とすると,$\displaystyle \mathrm{AQ}=\frac{[エ]}{[オ]}$であり,$\displaystyle \mathrm{PQ}=\frac{[カキ]}{[ク]}$である.
(2)$xy$平面上に円$K:x^2+y^2-4x-2y+4=0$と直線$\ell:y=ax+a+1$がある.$\ell$は定数$a$の値によらず,点$\mathrm{P}([ケコ],\ [サ])$を通る.
$a=0$のとき,$\ell$と$K$との$2$つの交点を$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$とすると,$\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB}=[シ]$である.
また,$\ell$が$K$と$2$点$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$で交わり,$\mathrm{PC}:\mathrm{PD}=2:3$であるとき,
\[ \mathrm{CD}=\frac{[ス] \sqrt{[セ]}}{[ソ]} \]
であり,$\displaystyle a=\pm \frac{\sqrt{[タ]}}{[チ]}$である.
![東京薬科大学](./img/univ/tokyoyakka.png)
次の問に答えよ.ただし,$*$については$+,\ -$の$1$つが入る.
(1)$x^2+5x+1=0$のとき,$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[$*$ア]$であり,$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[イウ]$である.
(2)$\displaystyle \frac{3}{2}\pi<\theta<2 \pi$かつ$\displaystyle \tan \theta=-\frac{12}{5}$のとき,$\displaystyle \cos \theta=\frac{[$*$エ]}{[オカ]}$,$\displaystyle \sin \theta=\frac{[$*$キク]}{[オカ]}$である.
(3)点$(4,\ 2)$を通り,傾きが$m$の直線$\ell$が,円$C:x^2+y^2=4$に接するとき,$\displaystyle m=[ケ]$,$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である.
(4)容器$\mathrm{A}$には質量パーセント濃度$3 \, \%$の食塩水が$200 \, \mathrm{g}$,容器$\mathrm{B}$には質量パーセント濃度$10 \, \%$の食塩水が$300 \, \mathrm{g}$入っている.今,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$それぞれから同量ずつ食塩水を取り出し,$\mathrm{A}$から取り出したものを$\mathrm{B}$へ,$\mathrm{B}$から取り出したものを$\mathrm{A}$へ入れたところ,$2$つの容器$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$内の食塩水の質量パーセント濃度が等しくなった.このとき,容器$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$それぞれから取り出した食塩水の量は$[シスセ] \, \mathrm{g}$である.ただし,質量パーセント濃度とは溶液(本問の場合,食塩水)の質量に対する溶質(本問の場合,食塩)の質量の割合を百分率($\%$)で表したものである.
(1)$x^2+5x+1=0$のとき,$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[$*$ア]$であり,$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[イウ]$である.
(2)$\displaystyle \frac{3}{2}\pi<\theta<2 \pi$かつ$\displaystyle \tan \theta=-\frac{12}{5}$のとき,$\displaystyle \cos \theta=\frac{[$*$エ]}{[オカ]}$,$\displaystyle \sin \theta=\frac{[$*$キク]}{[オカ]}$である.
(3)点$(4,\ 2)$を通り,傾きが$m$の直線$\ell$が,円$C:x^2+y^2=4$に接するとき,$\displaystyle m=[ケ]$,$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である.
(4)容器$\mathrm{A}$には質量パーセント濃度$3 \, \%$の食塩水が$200 \, \mathrm{g}$,容器$\mathrm{B}$には質量パーセント濃度$10 \, \%$の食塩水が$300 \, \mathrm{g}$入っている.今,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$それぞれから同量ずつ食塩水を取り出し,$\mathrm{A}$から取り出したものを$\mathrm{B}$へ,$\mathrm{B}$から取り出したものを$\mathrm{A}$へ入れたところ,$2$つの容器$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$内の食塩水の質量パーセント濃度が等しくなった.このとき,容器$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$それぞれから取り出した食塩水の量は$[シスセ] \, \mathrm{g}$である.ただし,質量パーセント濃度とは溶液(本問の場合,食塩水)の質量に対する溶質(本問の場合,食塩)の質量の割合を百分率($\%$)で表したものである.
![東洋大学](./img/univ/toyo.png)
次の各問に答えよ.
(1)整式$(a+b-7)^3-(a-b+7)^3$を因数分解すると,
\[ 2(b-[ア])([イ]a^2+b^2-[ウエ]b+[オカ]) \]
となる.
(2)$\log_2 x+\log_2 y=4$のとき,$x^2+y^2$の最小値は$[キク]$で,そのときの$x,\ y$の値は$x=[ケ]$,$y=[コ]$である.
(3)各辺の長さが$\mathrm{AB}=10$,$\mathrm{BC}=8$,$\mathrm{CA}=6$である$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$,$\angle \mathrm{A}$の外角の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の延長との交点を$\mathrm{E}$とする.このとき,線分$\mathrm{DE}$の長さは$[サシ]$である.
(4)$k$を定数とするとき,方程式$x^3+3x^2-9x-k=0$が異なる$3$個の実数解をもつための必要十分条件は$-[ス]<k<[セソ]$である.
(1)整式$(a+b-7)^3-(a-b+7)^3$を因数分解すると,
\[ 2(b-[ア])([イ]a^2+b^2-[ウエ]b+[オカ]) \]
となる.
(2)$\log_2 x+\log_2 y=4$のとき,$x^2+y^2$の最小値は$[キク]$で,そのときの$x,\ y$の値は$x=[ケ]$,$y=[コ]$である.
(3)各辺の長さが$\mathrm{AB}=10$,$\mathrm{BC}=8$,$\mathrm{CA}=6$である$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$,$\angle \mathrm{A}$の外角の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の延長との交点を$\mathrm{E}$とする.このとき,線分$\mathrm{DE}$の長さは$[サシ]$である.
(4)$k$を定数とするとき,方程式$x^3+3x^2-9x-k=0$が異なる$3$個の実数解をもつための必要十分条件は$-[ス]<k<[セソ]$である.
![広島経済大学](./img/univ/hiroshimakeizai.png)
次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ.
(1)$\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{6}+\sqrt{7}}$の分母を有理化すると,$\displaystyle \frac{[$1$]+\sqrt{[$2$]}-\sqrt{[$3$]}}{[$4$]}$となる.
(2)$4x^2+11xy+6y^2+18x+11y-10$を因数分解すると,
\[ (x+[$5$]y+[$6$])([$7$]x+[$8$]y-[$9$]) \]
となる.
(3)$2700$の正の約数の個数は$[$10$]$個である.
(4)次の問いに答えよ.
(i) $101011_{(2)}$を$10$進法で表すと$[$11$]$である.
(ii) $0.2101_{(3)}$を$10$進法で表すと$\displaystyle \frac{[$12$]}{[$13$]}$である.
(1)$\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{6}+\sqrt{7}}$の分母を有理化すると,$\displaystyle \frac{[$1$]+\sqrt{[$2$]}-\sqrt{[$3$]}}{[$4$]}$となる.
(2)$4x^2+11xy+6y^2+18x+11y-10$を因数分解すると,
\[ (x+[$5$]y+[$6$])([$7$]x+[$8$]y-[$9$]) \]
となる.
(3)$2700$の正の約数の個数は$[$10$]$個である.
(4)次の問いに答えよ.
(i) $101011_{(2)}$を$10$進法で表すと$[$11$]$である.
(ii) $0.2101_{(3)}$を$10$進法で表すと$\displaystyle \frac{[$12$]}{[$13$]}$である.
![金沢工業大学](./img/univ/kanazawakougyou.png)
次の問いに答えよ.
(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$,$\displaystyle y=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$のとき,$x^2+y^2-xy=[アイ]$である.
(2)$\displaystyle 1+\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{x}}}=\frac{[ウ]x+[エ]}{[オ]x+[カ]}$である.
(3)$k$を定数とする.$2$次方程式$x^2+(3k+1)x+2k^2+2k-1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とし,$\beta-\alpha=2$とする.このとき,$k=[キ]$であり,$\alpha=[クケ]$,$\beta=[コサ]$である.
(4)不等式$|2x^2+x-2|>1$の解は$\displaystyle x<\frac{[シス]}{[セ]}$,$\displaystyle [ソタ]<x<\frac{[チ]}{[ツ]}$,$[テ]<x$である.
(5)等式$720x=y^3$を満たす正の整数$x,\ y$の組のうち,$x$が最小であるものは$x=[アイウ]$,$y=[エオ]$である.
(6)点$(1,\ 2)$に関して点$(2,\ -1)$と対称な点の座標は$([カ],\ [キ])$である.また,直線$2x-y-1=0$に関して,点$(2,\ -1)$と対称な点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[クケ]}{[コ]},\ \frac{[サ]}{[シ]} \right)$である.
(7)$a,\ b$を定数とし,$a>0$とする.関数$y=ax^2-6ax+b (1 \leqq x \leqq 4)$の最大値が$5$,最小値が$-2$であるとき,$\displaystyle a=\frac{[ス]}{[セ]}$,$\displaystyle b=\frac{[ソタ]}{[チ]}$である.
(8)$2$個のさいころを同時に投げるとき,出る目の差の絶対値が$2$である確率は$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テ]}$である.
(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$,$\displaystyle y=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$のとき,$x^2+y^2-xy=[アイ]$である.
(2)$\displaystyle 1+\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{x}}}=\frac{[ウ]x+[エ]}{[オ]x+[カ]}$である.
(3)$k$を定数とする.$2$次方程式$x^2+(3k+1)x+2k^2+2k-1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とし,$\beta-\alpha=2$とする.このとき,$k=[キ]$であり,$\alpha=[クケ]$,$\beta=[コサ]$である.
(4)不等式$|2x^2+x-2|>1$の解は$\displaystyle x<\frac{[シス]}{[セ]}$,$\displaystyle [ソタ]<x<\frac{[チ]}{[ツ]}$,$[テ]<x$である.
(5)等式$720x=y^3$を満たす正の整数$x,\ y$の組のうち,$x$が最小であるものは$x=[アイウ]$,$y=[エオ]$である.
(6)点$(1,\ 2)$に関して点$(2,\ -1)$と対称な点の座標は$([カ],\ [キ])$である.また,直線$2x-y-1=0$に関して,点$(2,\ -1)$と対称な点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[クケ]}{[コ]},\ \frac{[サ]}{[シ]} \right)$である.
(7)$a,\ b$を定数とし,$a>0$とする.関数$y=ax^2-6ax+b (1 \leqq x \leqq 4)$の最大値が$5$,最小値が$-2$であるとき,$\displaystyle a=\frac{[ス]}{[セ]}$,$\displaystyle b=\frac{[ソタ]}{[チ]}$である.
(8)$2$個のさいころを同時に投げるとき,出る目の差の絶対値が$2$である確率は$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テ]}$である.
![天使大学](./img/univ/tenshi.png)
次の問いに答えなさい.
(1)次の式を展開しなさい.
$(x+y)(x^2+xy+y^2)(x-y)^2(x^2+y^2)$
$=\mkakko{$\mathrm{a}$}x^7+\mkakko{$\mathrm{b}$} \mkakko{$\mathrm{c}$}x^4y^3+\mkakko{$\mathrm{d}$} \mkakko{$\mathrm{e}$}x^3y^4+\mkakko{$\mathrm{f}$}y^7$
(2)$360$の正の約数の個数とその総和を求めなさい.
約数の個数は$\mkakko{$\mathrm{g}$} \mkakko{$\mathrm{h}$}$個,約数の総和は$\mkakko{$\mathrm{i}$} \mkakko{$\mathrm{j}$} \mkakko{$\mathrm{k}$} \mkakko{$\mathrm{l}$}$である.
(3)実数$x$と$y$が$x<0<y$を満たすとき,次の式を簡単にしなさい.
$\sqrt{x^2-4xy+4y^2}+|3x-5y|=\mkakko{$\mathrm{m}$} \mkakko{$\mathrm{n}$}x+\mkakko{$\mathrm{o}$}y$
(4)$2,\ 3,\ A,\ 6,\ B$という値からなるデータがある.平均値が$5$,分散の値が$6$であるとき$A$と$B$の値を求めなさい.
$(A,\ B)=(\mkakko{$\mathrm{p}$},\ \mkakko{$\mathrm{q}$})$または$(\mkakko{$\mathrm{r}$},\ \mkakko{$\mathrm{s}$})$.ただし$\mkakko{$\mathrm{p}$}<\mkakko{$\mathrm{r}$}$である.
(1)次の式を展開しなさい.
$(x+y)(x^2+xy+y^2)(x-y)^2(x^2+y^2)$
$=\mkakko{$\mathrm{a}$}x^7+\mkakko{$\mathrm{b}$} \mkakko{$\mathrm{c}$}x^4y^3+\mkakko{$\mathrm{d}$} \mkakko{$\mathrm{e}$}x^3y^4+\mkakko{$\mathrm{f}$}y^7$
(2)$360$の正の約数の個数とその総和を求めなさい.
約数の個数は$\mkakko{$\mathrm{g}$} \mkakko{$\mathrm{h}$}$個,約数の総和は$\mkakko{$\mathrm{i}$} \mkakko{$\mathrm{j}$} \mkakko{$\mathrm{k}$} \mkakko{$\mathrm{l}$}$である.
(3)実数$x$と$y$が$x<0<y$を満たすとき,次の式を簡単にしなさい.
$\sqrt{x^2-4xy+4y^2}+|3x-5y|=\mkakko{$\mathrm{m}$} \mkakko{$\mathrm{n}$}x+\mkakko{$\mathrm{o}$}y$
(4)$2,\ 3,\ A,\ 6,\ B$という値からなるデータがある.平均値が$5$,分散の値が$6$であるとき$A$と$B$の値を求めなさい.
$(A,\ B)=(\mkakko{$\mathrm{p}$},\ \mkakko{$\mathrm{q}$})$または$(\mkakko{$\mathrm{r}$},\ \mkakko{$\mathrm{s}$})$.ただし$\mkakko{$\mathrm{p}$}<\mkakko{$\mathrm{r}$}$である.
![近畿大学](./img/univ/kinki.png)
座標平面において,次の式で与えられる$2$つの円$C$,$C^\prime$を考える.
$C:x^2+y^2=13$
$C^\prime:x^2+y^2-8x+14y+13=0$
$2$つの円の$2$つの共通接線は,点$([アイ],\ [ウ])$で交わり,共通接線$\ell_1,\ \ell_2$の方程式は,それぞれ
$\ell_1:[エ]x+[オ]y=13$
$\ell_2:[カキ]x+y=[クケコ]$
である.
(1)円$C^\prime$と直線$\ell_1$の共有点の座標は$([サ],\ [シス])$である.
(2)$2$つの円の異なる$2$つの交点と$\ell_1$上の点$\mathrm{P}$が同一直線上にあるとき,点$\mathrm{P}$の座標は$([セ],\ [ソ])$である.
(3)円$C$,$C^\prime$の中心をそれぞれ$\mathrm{O}$,$\mathrm{O}^\prime$とする.$\ell_1$上の点$\mathrm{Q}$に対し,$\mathrm{OQ}+\mathrm{O}^\prime \mathrm{Q}$が最小となるとき,$\mathrm{Q}$の座標は
\[ \left( [タ],\ \displaystyle\frac{[チ]}{[ツ]} \right) \]
である.
$C:x^2+y^2=13$
$C^\prime:x^2+y^2-8x+14y+13=0$
$2$つの円の$2$つの共通接線は,点$([アイ],\ [ウ])$で交わり,共通接線$\ell_1,\ \ell_2$の方程式は,それぞれ
$\ell_1:[エ]x+[オ]y=13$
$\ell_2:[カキ]x+y=[クケコ]$
である.
(1)円$C^\prime$と直線$\ell_1$の共有点の座標は$([サ],\ [シス])$である.
(2)$2$つの円の異なる$2$つの交点と$\ell_1$上の点$\mathrm{P}$が同一直線上にあるとき,点$\mathrm{P}$の座標は$([セ],\ [ソ])$である.
(3)円$C$,$C^\prime$の中心をそれぞれ$\mathrm{O}$,$\mathrm{O}^\prime$とする.$\ell_1$上の点$\mathrm{Q}$に対し,$\mathrm{OQ}+\mathrm{O}^\prime \mathrm{Q}$が最小となるとき,$\mathrm{Q}$の座標は
\[ \left( [タ],\ \displaystyle\frac{[チ]}{[ツ]} \right) \]
である.
![名城大学](./img/univ/meijou.png)
次の$[ ]$にあてはまる答えを記入せよ.
(1)$100$未満の自然数で,$3$または$4$または$5$で割り切れる数は$[ア]$個,$3$または$4$で割り切れ$5$では割り切れない数は$[イ]$個である.
(2)\begin{mawarikomi}{45mm}{
(図は省略)
}
右図において,点$\mathrm{I}$を$\triangle \mathrm{ABC}$の内心,点$\mathrm{D}$を直線$\mathrm{AI}$と辺$\mathrm{BC}$の交点とし,$\mathrm{AB}=3$,$\mathrm{BC}=4$,$\mathrm{CA}=6$とする.このとき,$\mathrm{BD}=[ウ]$であり,$\displaystyle \frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{ID}}=[エ]$である.
\end{mawarikomi}
(3)整数$a$を$3$進数${122}_{(3)}$で割ったときの商と余りは,それぞれ${212}_{(3)}$と${102}_{(3)}$である.このとき,$a$を$3$進法で表すと${[オ]}_{(3)}$であり,$a$と$5$進数${410}_{(5)}$の和を$5$進法で表すと${[カ]}_{(5)}$である.
(4)不等式$2 |x-a|<x+1$について考える.$a=5$のとき,この不等式を満たす整数$x$は$[キ]$個である.また,この不等式を満たす整数$x$が$5$個あるとき,整数$a$の値は$[ク]$である.
(5)$\displaystyle -\frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$で$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{2}$のとき,$\sin 2\theta=[ケ]$,$\cos 2\theta=[コ]$である.
(6)$a,\ b$は自然数で,$a^5 b^2$が$20$桁の数であり,かつ,$\displaystyle \frac{a^5}{b^2}$の整数部分が$10$桁であるとする.このとき,$a,\ b$の桁数をそれぞれ$m,\ n$とすると,$m=[サ]$,$n=[シ]$である.
(7)円$x^2+y^2-2(x+y)+1=0$と直線$y+2x=k$が共有点をもつとき,$k$の最大値は$[ス]$である.また,この円と直線$y=ax-3a$が共有点をもつとき,$a$の最小値は$[セ]$である.
(1)$100$未満の自然数で,$3$または$4$または$5$で割り切れる数は$[ア]$個,$3$または$4$で割り切れ$5$では割り切れない数は$[イ]$個である.
(2)\begin{mawarikomi}{45mm}{
(図は省略)
}
右図において,点$\mathrm{I}$を$\triangle \mathrm{ABC}$の内心,点$\mathrm{D}$を直線$\mathrm{AI}$と辺$\mathrm{BC}$の交点とし,$\mathrm{AB}=3$,$\mathrm{BC}=4$,$\mathrm{CA}=6$とする.このとき,$\mathrm{BD}=[ウ]$であり,$\displaystyle \frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{ID}}=[エ]$である.
\end{mawarikomi}
(3)整数$a$を$3$進数${122}_{(3)}$で割ったときの商と余りは,それぞれ${212}_{(3)}$と${102}_{(3)}$である.このとき,$a$を$3$進法で表すと${[オ]}_{(3)}$であり,$a$と$5$進数${410}_{(5)}$の和を$5$進法で表すと${[カ]}_{(5)}$である.
(4)不等式$2 |x-a|<x+1$について考える.$a=5$のとき,この不等式を満たす整数$x$は$[キ]$個である.また,この不等式を満たす整数$x$が$5$個あるとき,整数$a$の値は$[ク]$である.
(5)$\displaystyle -\frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$で$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{2}$のとき,$\sin 2\theta=[ケ]$,$\cos 2\theta=[コ]$である.
(6)$a,\ b$は自然数で,$a^5 b^2$が$20$桁の数であり,かつ,$\displaystyle \frac{a^5}{b^2}$の整数部分が$10$桁であるとする.このとき,$a,\ b$の桁数をそれぞれ$m,\ n$とすると,$m=[サ]$,$n=[シ]$である.
(7)円$x^2+y^2-2(x+y)+1=0$と直線$y+2x=k$が共有点をもつとき,$k$の最大値は$[ス]$である.また,この円と直線$y=ax-3a$が共有点をもつとき,$a$の最小値は$[セ]$である.
![大阪市立大学](./img/univ/osakashiritsu.png)
$x,\ y$を整数とするとき,次の問いに答えよ.
(1)$x^2+y^2$が$3$で割り切れるとき,$x$と$y$はともに$3$の倍数であることを示せ.
(2)$x^2+y^2$が$27$で割り切れるとき,$x$と$y$はともに$9$の倍数であることを示せ.
(3)$n$を正の整数とする.$x^2+y^2$が$3^{2n-1}$で割り切れるとき,$x$と$y$はともに$3^n$の倍数であることを示せ.
(1)$x^2+y^2$が$3$で割り切れるとき,$x$と$y$はともに$3$の倍数であることを示せ.
(2)$x^2+y^2$が$27$で割り切れるとき,$x$と$y$はともに$9$の倍数であることを示せ.
(3)$n$を正の整数とする.$x^2+y^2$が$3^{2n-1}$で割り切れるとき,$x$と$y$はともに$3^n$の倍数であることを示せ.
![大阪市立大学](./img/univ/osakashiritsu.png)
次の問いに答えよ.
(1)$0$以上の整数$n$に対し,$\displaystyle C_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \, dx$とおくとき,$\displaystyle C_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}C_n$を示せ.ただし,$\cos^0 x=1$と定める.
(2)座標空間内で,連立不等式
\[ x^2+y^2 \leqq 1,\quad z+2x^2-x^4 \leqq 1,\quad x \geqq 0,\quad y \geqq 0,\quad z \geqq 0 \]
の表す領域の体積を求めよ.
(1)$0$以上の整数$n$に対し,$\displaystyle C_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \, dx$とおくとき,$\displaystyle C_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}C_n$を示せ.ただし,$\cos^0 x=1$と定める.
(2)座標空間内で,連立不等式
\[ x^2+y^2 \leqq 1,\quad z+2x^2-x^4 \leqq 1,\quad x \geqq 0,\quad y \geqq 0,\quad z \geqq 0 \]
の表す領域の体積を求めよ.