次の設問に答えなさい．

(1)次の計算をしなさい．
\[ (8a^3b^2)(2a^2b)^2 \left( -\frac{1}{4}ab^2 \right)^3 \]
(2)次の$(ⅰ)$～$(ⅲ)$の場合について，それぞれ$x$を求めなさい．ただし，${0}^\circ \leqq x \leqq {90}^\circ$とします．

(i) $\sin {58}^\circ=\cos x$
(ii) $\cos {169}^\circ=-\cos x$
(iii) $\displaystyle \tan {64}^\circ=\frac{1}{\tan x}$

(3)$0<x<y$のとき，次の式を簡単にしなさい．
\[ \sqrt{x^2-2xy+y^2}+\sqrt{x^2-4xy+4y^2} \]

以下の文中の$[　]$の中にいれるべき数または式を求めよ．

(1)$x+y=\sqrt{3}$，$x^2+y^2=5$のとき，$x^3+y^3$は$[　]$であり，$\displaystyle \frac{y}{x^2}+\frac{x}{y^2}$は$[　]$である．
(2)次の問いに答えよ．

(i) $\sin 1$，$\sin 2$，$\sin 3$，$\sin 4$のなかで，負となるものは$[　]$である．また，正となるものの最小値は$[　]$であり，最大値は$[　]$である．
(ii) $A,\ B (A \neq B)$がいずれも鋭角のとき，次の$3$つの数の最小値は$[　]$，最大値は$[　]$である．
\[ \sin \frac{A+B}{2},\quad \sin \frac{A}{2}+\sin \frac{B}{2},\quad \frac{\sin A+\sin B}{2} \]

$a,\ b$は$a < b$をみたす実数とする．$f(x),\ g(x)$は閉区間$[ \; a,\ b \; ]$で定義された連続関数で，$g(x) \leqq f(x)$をみたすとする．座標平面上，不等式$a \leqq x \leqq b,\ g(x) \leqq y \leqq f(x)$をみたす点$(x,\ y)$全体からなる図形をAとする．Aの面積$S$が正のとき，Aの重心の$y$座標は，
\[ \frac{1}{S} \int_a^b \frac{\{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2}{2} \, dx \]
で与えられる．この事実を用いて，次の問いに答えよ．

(1)$r$は$0 < r < 1$をみたす実数とする．不等式$r^2 \leqq x^2 + y^2 \leqq 1,\ y \geqq 0$をみたす点$(x,\ y)$全体からなる図形をBとおく．Bの重心の$y$座標$Y(r)$を$r$を用いて表せ．
(2)$t$は正の実数とする．不等式$-1 \leqq x \leqq 1,\ \sqrt{1-x^2} -t \leqq y \leqq \sqrt{1-x^2}$をみたす点$(x,\ y)$全体からなる図形をCとおく．Cの重心の$y$座標$Z(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)(1)で得られた$Y(r)$と(2)で得られた$Z(t)$について，$\displaystyle \lim_{r \to 1-0}Y(r)$と$\displaystyle \lim_{t \to +0}Z(t)$の大小を比較せよ．

整式$P=4x^4y+4x^2y^3+4x^3y^2+4xy^4$を因数分解しなさい．また，$\displaystyle x=\frac{3+\sqrt{5}}{2},\ y=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$のとき，$P$の値を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)方程式$2^x=3^{1-x}$を解け．
(2)$\cos 2\theta-3\cos \theta+2=0$を満たす$\theta$の値を求めよ．ただし，$0 \leqq \theta < 2\pi$である．
(3)$x^2-xy+y^2=1$のとき，$x+y$のとり得る値の範囲を求めよ．

$2$次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \alpha & \displaystyle \frac{4}{3}\cos \beta \\
\displaystyle \frac{3}{4}\sin \alpha & \sin \beta
\end{array} \right)$が表す$1$次変換が座標平面における楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{3^2}=1$をそれ自身に移すとする．このとき次の問いに答えよ．

(1)$\alpha$を$\beta$の式で表せ．
(2)$A^3=E$(単位行列)となる行列$A$をすべて求めよ．

座標平面上に円$C:x^2+y^2-8x+2y+7=0$と点A$(0,\ 1)$がある．円$C$の中心をB，半径を$r$とする．また点Aを通り，傾き$m$の直線を$\ell$とする．次の各問に答えよ．

(1)点Bの座標と$r$を求めよ．
(2)直線$\ell$が円$C$と共有点を持つとき，$m$の取り得る値の範囲を求めよ．
(3)点Bを通り，傾き3の直線と直線$\ell$との交点をPとする．点Pが円$C$の円周または内部に含まれるとき，$m$の取り得る値の範囲を求めよ．
(4)(3)のとき，線分APの両端を除いた部分と円$C$との共有点をQとする．AQの長さの最大値と最小値を求めよ．

$k$を正の実数とし，$xy$平面上の$2$曲線
\[ C_1:y=-x^3+kx,\quad C_2:x^2+y^2=k \]
を考える．

(1)$C_1$と$C_2$の共有点の個数を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$が$4$つの共有点を持つとする．$x \geqq 0,\ y \geqq 0$の範囲において，$C_1$と$C_2$で囲まれた$2$つの部分の面積をそれぞれ求めよ．

$(1)$の問いに答えよ．また，$(2)$から$(6)$までの空欄をうめよ．

(1)次の積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．

(i) $\displaystyle \int_1^e x \log x \, dx=[　]$
(ii) $\displaystyle \int \sin^3 x \cos x \, dx=[　]$

(2)$y=\sqrt[5]{2x-1}$のとき，$\displaystyle \frac{dy}{dx}=[　]$である．
(3)方程式$2^{x^2-1}4^{x+2}=8^{x+3}$の解は$x=[　]$である．
(4)方程式$\log_3(x-5)=2-\log_3(x+3)$の解は$x=[　]$である．
(5)2直線$y=3x$と$\displaystyle y=\frac{x}{3}$のなす角を$\theta$とするとき，$\tan \theta=[　]$である．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(6)座標平面上で次の連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
|x|+|y| \leqq 2 \\
x^2+y^2 \geqq 2
\end{array}
\right. \]
の表す領域の面積は[　]である．

楕円$\displaystyle O:\frac{x^2}{3}+y^2=1$，直線$\ell:y=x-\alpha (\alpha>0)$，直線$m_t:y=-x+t$がある．楕円$O$と直線$\ell$が接しているとき，次の問いに答えよ．

(1)$\alpha$の値を求めよ．また，楕円$O$と直線$m_t$が$2$個の共有点をもつように，$t$の値の範囲を定めよ．
(2)直線$\ell$と直線$m_t$の交点を点$\mathrm{H}$とするとき，点$\mathrm{A}(0,\ -2)$と点$\mathrm{H}$との距離$s$を$t$を用いて表せ．また，楕円$O$と直線$m_t$が$2$個の共有点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をもつとき，$(\mathrm{PH})^2-(\mathrm{QH})^2$を$t$を用いて表せ．ただし，$\mathrm{PH}>\mathrm{QH}$とする．
(3)楕円$O$を直線$\ell$のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．