中心の座標が$(1,\ 1)$，半径が$2 \sqrt{2}$である座標平面上の円を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$に対して$t=x+y$とおく．

(1)$\mathrm{P}(x,\ y)$が$C$上を動くとき$t$が取り得る値の範囲は$[$1$][$2$] \leqq t \leqq [$3$][$4$]$である．特に$t=0$のとき，$x^2+y^2=[$5$]$が成り立つ．
(2)$\mathrm{P}(x,\ y)$が$C$上を動くとき，$xy$の値は$t=[$6$]$のとき最小値$\displaystyle \frac{[$7$][$8$]}{[$9$]}$をとる．
(3)$\mathrm{P}(x,\ y)$が$C$上を動くとき，$x^3+y^3$の値は$t=[$10$]+\sqrt{[$11$][$12$]}$のとき最大になる．

次の各問いに答えよ．

(1)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=1+\sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}=2$，また$\angle \mathrm{DAB}={60}^\circ$である．四角形$\mathrm{ABCD}$の対角線の交点を$\mathrm{P}$，$\angle \mathrm{BCD}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{BD}$と$\mathrm{CQ}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，以下の各問いに答えよ．なお数値の分母は有理化すること．

(i) 辺$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(ii) $\angle \mathrm{ABD}$の大きさを求めよ．
(iii) 辺$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．
\mon[$\tokeishi$] 三角形$\mathrm{PQR}$の内接円の半径を求めよ．

(2)自然数$n$に対して，$n$を$3$で割った余りを$a_n$，$n^2$を$3$で割った余りを$b_n$とするとき，以下の各問いに答えよ．

(i) $\displaystyle \sum_{n=1}^{2016} (a_n+b_n)$の値を求めよ．
(ii) $\displaystyle \sum_{n=1}^m (a_{n+2}+b_{n+1}+2a_n)=2016$を満たす自然数$m$の値を求めよ．

(3)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に，次のような双曲線$C$と直線$\ell_k$（$k$は実数の定数）が与えられているとき，以下の各問いに答えよ．
\[ C:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=-1 \qquad \ell_k:3x-4y+k=0 \]

(i) $C$と$\ell_k$が接するような$k$の値を求めよ．
(ii) $C$上の点と直線$\ell_0:3x-4y=0$の距離の最小値を求めよ．

次の$[　]$にあてはまる最も適当な数または式を記入しなさい．

(1)円$x^2+y^2-6x+12y+25=0$を$C_1$とし，中心が原点で，円$C_1$に外接する円を$C_2$とする．このとき円$C_2$の半径は$[ケ]$である．また$2$つの円$C_1$，$C_2$の共有点の座標は$[コ]$である．
(2)不等式$3^{2x}+1<3^{x+2}+3^{x-2}$を解くと，$[サ]<x<[シ]$である．
(3)自然数$n$に対して$m \leqq \log_2 n<m+1$を満たす整数$m$を$a_n$で表すことにする．このとき$a_{2016}=[ス]$である．また，自然数$k$に対して$a_n=k$を満たす$n$は全部で$[セ]$個あり，そのような$n$のうちで最大のものは$n=[ソ]$である．さらに$\displaystyle \sum_{n=1}^{2016}a_n=[タ]$である．
（ヒント：$2^{10}=1024$）

球面$S:x^2-8x+y^2-4y+z^2+6z+20=0$は点$\mathrm{A}([$24$],\ [$25$],\ [$26$])$で$xy$平面と接し，球面$S$と$zx$平面との交わりは中心$\mathrm{B}([$27$],\ [$28$],\ [$29$][$30$])$，半径$\sqrt{[$31$]}$の円である．

球面$S$の中心を$\mathrm{C}$，線分$\mathrm{AB}$を$\sqrt{3}:2$に外分する点を$\mathrm{P}$とすると，$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( [$32$],\ [$33$]+[$34$] \sqrt{[$35$]},\ [$36$]+[$37$] \sqrt{[$38$]} \right) \]
であり，$\displaystyle \angle \mathrm{ACP}=\frac{[$39$]}{[$40$]} \pi$（ただし$0 \leqq \angle \mathrm{ACP} \leqq \pi$）である．また，三角形$\mathrm{BPC}$の辺および内部が球面$S$と交わってできる図形は，長さ$\displaystyle \frac{[$41$]}{[$42$]} \pi$の円弧である．

平面上の点$\mathrm{P}(s,\ t)$が楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$上を動くとき，$\displaystyle \frac{t-2}{s-4}$の最大値を求めよ．また，最大値を与える$s,\ t$を求めよ．

不等式
\[ x^2+y^2-2x-2y+1 \leqq 0 \]
の表す領域を$A$とし，不等式
\[ \log_{10}(y-1)-2 \log_{10}|x-1| \geqq 0 \]
で表される領域を$B$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$A$を図示せよ．
(2)$B$を図示せよ．
(3)点$(x,\ y)$が$A$と$B$の共通部分$A \cap B$を動くとき，$x+y$の最大値および最小値を求めよ．

$\displaystyle x=\frac{5-\sqrt{21}}{2},\ y=\frac{5+\sqrt{21}}{2}$のとき，次の式の値を求めよ．

(1)$x^2+y^2$
(2)$\sqrt{x}-\sqrt{y}$

点$\mathrm{A}(8,\ 6)$を中心とし半径が$r$の円と円$C:x^2+y^2=4$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わっているとき，次の問いに答えよ．ただし，点$\mathrm{P}$の$x$座標は点$\mathrm{Q}$の$x$座標より小さいとする．

(1)$r$の値の範囲を求めよ．
(2)直線$\mathrm{AP}$が円$C$の接線であるとき，$r$の値と点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

$n$を自然数とする．$xy$平面において，$2$つの放物線$y=nx^2$，$x=(n+1)y^2$で囲まれた部分の面積を$S_n$とする．

(1)$S_n$を求めよ．
(2)無限級数$S_1+S_2+\cdots +S_n+\cdots$の和を求めよ．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{2}{\sqrt{5}+1},\ y=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$のとき，$x^2+y^2=[ア]$，$x^2-y^2=[イ]$である．

(2)関数$y=-2x^2+6x-5 (0 \leqq x \leqq 2)$の最大値は$[ウ]$，最小値は$[エ]$である．
(3)円$C_1:x^2+y^2=1$上の点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$と点$\mathrm{A}(3,\ 0)$の中点$\mathrm{Q}$の座標は$[オ]$である．これより，$\mathrm{P}$が$C_1$上をもれなく動くとき，$\mathrm{Q}$の描く軌跡は円であり，その方程式は$[カ]$である．
(4)放物線$C_2:y=x^2-2x$と直線$\ell:y=x$がある．$C_2$と$x$軸によって囲まれる部分の面積は$[キ]$であり，$C_2$と$\ell$によって囲まれる部分の面積は$[ク]$である．