$[ツ]$の解答は解答群の中から最も適当なものを$1$つ選べ．

区間$\displaystyle \frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{2}{3} \pi$を定義域とする関数$f(\theta)=2 \sin^2 \theta+4 \sin \theta \cos \theta+4 \cos^2 \theta$について，以下の問いに答えよ．

(1)$f(\theta)$は次の形に変形できる．
\[ f(\theta)=\sqrt{[ア]} \sin (2\theta+\alpha)+[イ] \]
ただし，$\alpha$は$\displaystyle \tan \alpha=\frac{[ウ]}{[エ]}$を満たし，$\displaystyle \tan \frac{\alpha}{2}=\sqrt{[オ]}-[カ]$が成り立つ．
(2)$f(\theta)$は，$\displaystyle \theta=\frac{[キ]}{[ク]} \pi$のとき最小値$\displaystyle [ケ] \sqrt{[コ]}+\frac{[サ]}{[シ]}$をとり，
\[ \tan \theta=\frac{\sqrt{[ス]}-[セ]}{[ソ]} \]
を満たす$\theta$において最大値$\sqrt{[タ]}+[チ]$をとる．
(3)$k$を正の定数とすると，方程式$\displaystyle x^2+xy+\frac{1}{2}y^2=k$で表される図形は$[ツ]$である．この曲線と，
\[ x^2+y^2=4,\quad -1 \leqq x \leqq \sqrt{3},\quad y>0 \]
で表わされる弧が接するように$k$を定めると，$2$つの曲線の共通接線の傾きは$\displaystyle \frac{-\sqrt{[テ]}-[ト]}{[ナ]}$となる．

$[ツ]$の解答群
\[ ① \text{円} \qquad ② \text{放物線} \qquad ③ \text{楕円} \qquad ④ \text{双曲線} \]

次の問について，答えを$[　]$に記入せよ．

(1)$x=3+\sqrt{5}$，$y=3-\sqrt{5}$のとき，$4x^2+3xy+4y^2=[ア]$，$\displaystyle \frac{y}{x}+\frac{x}{y}=[イ]$である．
(2)関数$f(x)=-x^2+8x+c (2 \leqq x \leqq 5)$の最小値が$1$のとき，$c=[ウ]$である．また，そのときの$f(x)$の最大値は$[エ]$である．
(3)放物線$C_1:y=(x-p)^2+q$が放物線$C_2:y=-x^2$に接するとき，$p,\ q$の満たす条件は$[オ]$である．これより，$p$がすべての実数値をとって変わるとき，$C_1$の頂点が描く軌跡は放物線であり，その方程式は$[カ]$である．
(4)放物線$C:y=x^2+x$と直線$\ell_1:y=-x$との$2$つの交点のうち，原点ではない交点の$x$座標を$x_0$とすると，$x_0=[キ]$である．$C$と$\ell_1$によって囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C$，$\ell_1$および直線$\ell_2:x=-4$によって囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$S_1+S_2=[ク]$である．

次の空欄$[$19$]$～$[$37$]$にあてはまる数字を入れよ．

$xy$平面上に，双曲線$x^2-y^2=1$がある．この双曲線と直線$y=ax+3$が点$\mathrm{P}$で接している．ただし$a>0$とする．このとき，

(1)$a=\sqrt{[$19$][$20$]}$

$\mathrm{P}$の座標は$\displaystyle \left( -\frac{\sqrt{[$21$][$22$]}}{[$23$]},\ -\frac{[$24$]}{[$25$]} \right)$である．

(2)この双曲線上に点$\mathrm{Q}(s,\ t)$がある．線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とすると，$\mathrm{M}$の座標は
\[ \left( \frac{s}{2}-\frac{\sqrt{[$26$][$27$]}}{[$28$]},\ \frac{t}{2}-\frac{[$29$]}{[$30$]} \right) \]
と表すことができる．また，$\mathrm{M}$の軌跡は双曲線$\displaystyle x^2-y^2=\frac{[$31$]}{[$32$]}$を

$x$軸方向に$\displaystyle -\frac{\sqrt{[$33$][$34$]}}{[$35$]}$，$y$軸方向に$\displaystyle -\frac{[$36$]}{[$37$]}$だけ平行移動して得られる双曲線である．

次の問いに答えよ．

(1)$a$を実数とする．実数$x$に対して，$[x]$は$x$以下の最大の整数を表す．方程式
\[ \left[ \frac{1}{2}x \right]=x-a \]
が$0 \leqq x<4$の範囲に異なる$2$つの実数解をもつような$a$の範囲は$[ア] \leqq a<[イ]$である．
(2)$\displaystyle \frac{1}{4-\sqrt{11}}$を小数で表すとき，小数第$1$位の数字は$[ウ]$である．
(3)${(x^2+\sqrt{2}y)}^6$の展開式における$x^8y^2$の係数は$[エ]$である．
(4)$k$を実数とする．$2$つの$2$次方程式
\[ x^2-(k-1)x+k+2=0,\quad x^2-(k+1)x+k^2-5=0 \]
が，どちらも$2$つの異なる実数解をもつような$k$の範囲は
\[ \frac{[オ]}{[カ]}<k<[キ] \]
であり，少なくともどちらか一方が$2$つの異なる実数解をもつような$k$の範囲は
\[ k<[ク] \quad \text{または} \quad [ケ]<k \]
である．

座標空間の原点$\mathrm{O}$を通りベクトル$(1,\ \sqrt{3},\ 2 \sqrt{3})$に平行な直線を$\ell$とし，点$\mathrm{A}$の座標を$(\sqrt{3}+3,\ 3 \sqrt{3}+3,\ 6-2 \sqrt{3})$とする．このとき，$\mathrm{O}$を頂点とする円錐$C$は，底面の中心$\mathrm{H}$が$\ell$上にあり，底面の円周が$\mathrm{A}$を通るとする．

(1)$\displaystyle \angle \mathrm{AOH}=\frac{[コ]}{[サ]}\pi$である．ただし，$0 \leqq \angle \mathrm{AOH}<\pi$とする．
(2)$\mathrm{H}$の座標は
\[ \left( \sqrt{[シ]},\ [ス],\ [セ] \right) \]
である．
(3)点$(\sqrt{3},\ y,\ z)$が$C$の底面上（境界を含む）にあるとき，常に
\[ y+[ソ]z+[タ]=0 \]
が成り立つ．
(4)点$(\sqrt{3},\ y,\ z)$が$C$の側面上（境界を含む）にあるとき，常に
\[ [チ]y^2+[ツ]yz+[テ]z^2+[ト]y+[ナ]z+21=0 \]
が成り立つ．また，このときの$z$の最大値は
\[ [ニ]+\frac{[ヌ]}{[ネ]} \sqrt{[ノ]} \]
である．

座標平面上に放物線$\displaystyle y=x^2+\frac{1}{16}$と円$x^2+y^2-3y+1=0$がある．このとき，次の問に答えよ．

(1)円の中心の座標と半径を求めよ．
(2)円の中心と円周上の点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ \frac{1}{2} \right)$を通る直線の傾きを求めよ．
(3)円周上の点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ \frac{1}{2} \right)$における円の接線の方程式を求めよ．
(4)$(3)$で求めた接線と放物線のすべての交点の座標を求めよ．
(5)$(3)$で求めた接線と放物線で囲まれた部分の面積を求めよ．

$2$次関数$f(x)$は，$\displaystyle \int_y^{y+2} f(x) \, dx=2y^2+4y+2$を満たすとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$を
\[ \int_1^{n+1} f(x) \, dx=\sum_{k=1}^n a_k \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
となるように定める．数列$\{a_n\}$の一般項を$n$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた数列$\{a_n\}$について，
\[ \sum_{k=1}^m ka_k \quad (m=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を$m$を用いて表せ．ただし因数分解された形で解答すること．
(4)$(2)$で求めた数列$\{a_n\}$について，
\[ \sum_{k=1}^m \frac{1}{a_k} \quad (m=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を$m$を用いて表せ．

次の空欄$[ア]$～$[ス]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$x^2-y^2-z^2+2yz$を因数分解すると，$[ア]$となる．
(2)$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=\frac{1}{2}$のとき，$\sin \theta \cos \theta$の値は$[イ]$である．
(3)$3$次方程式$4x^3-23x+39=0$の解は，$x=[ウ]$，$[エ]$，$[オ]$である．
(4)関数$f(x)=4^x+4^{-x}-3(2^x+2^{-x})+2$の最小値は$[カ]$である．
(5)数列$1,\ 3,\ 6,\ 10,\ 15,\ 21,\ \cdots$の第$n$項を$n$の式で表すと$[キ]$である．
(6)$\displaystyle \frac{1}{2} \log_5 27,\ \log_{125}9,\ \log_5 \sqrt[4]{27}$のうち最大のものは$[ク]$であり，最小のものは$[ケ]$である．
(7)$2$次方程式$x^2+px+q=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$\alpha-\beta=-4$，$\alpha^3-\beta^3=-28$であるとき，$p=[コ]$または$[サ]$，$q=[シ]$である．
(8)$1$個のさいころを$2$回続けて投げるとき，$1$回目に出た目より大きい目が$2$回目に出る確率は$[ス]$である．

次の空欄$[ア]$～$[サ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$(\log_3 x)(\log_3 9x)-6 \log_9 x-6=0$を満たす$x$の値をすべて求めると，$[ア]$である．
(2)座標平面上に点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(3,\ 7)$，$\mathrm{C}(-1,\ 5)$がある．このとき，点$\mathrm{C}$を通り直線$\mathrm{AB}$と直交する直線の方程式は$y=[イ]$である．
(3)実数$x$が方程式$(1+i)x^2-(5+i)x+6-2i=0$を満たすとき，$x=[ウ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(4)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．$\tan \theta=\sqrt{7}$のとき，$\sin \theta=[エ]$である．
(5)$3$つのさいころを同時に投げたとき，出た目の最小値が$5$となる確率は$[オ]$である．
(6)整式$P(x)=x^3+ax^2+bx+c$は$x^2-3x+2$で割ったときの余りが$-2x+7$であり，関数$y=P(x)$は$x=1$で極値をとる．このとき，$a=[カ]$，$b=[キ]$，$c=[ク]$である．
(7)$|\overrightarrow{a}|=2$，$|\overrightarrow{b}|=3$，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{5}$のとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ケ]$である．
(8)直線$y=2x+k$が円$x^2-2x+y^2=0$と共有点をもつとき，$[コ] \leqq k \leqq [サ]$である．

$xy$平面上に，円$C:x^2+y^2=1$，$C$上に点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$，および$C$の外に点$\displaystyle \mathrm{B} \left( \frac{3 \sqrt{5}}{5},\ -\frac{\sqrt{5}}{5} \right)$をとる．次の問に答えよ．

(1)$\mathrm{A}$における接線の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{B}$から$C$に引いた接線の傾きを求めよ．
(3)$\mathrm{B}$から$C$に引いた$2$本の接線の接点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$の方程式を求めよ．