次の問いに答えよ．

(1)${(x-3y+2z)}^7$の展開式における$x^4y^2z$の項の係数を求めよ．
(2)$a$を定数とし，$0<a<1$とする．不等式
\[ \log_a (a-x-y)>\log_ax+\log_ay \]
が表す領域を図示せよ．
(3)$n$は$3$以上の自然数とする．数学的帰納法によって，次の不等式を証明せよ．
\[ 2^n>\frac{1}{2}n^2+n \]

次の問いに答えよ．

(1)${(x-3y+2z)}^7$の展開式における$x^4y^2z$の項の係数を求めよ．
(2)$a$は正の定数で，$a \neq 1$とする．不等式
\[ \log_a (a-x-y)>\log_ax+\log_ay \]
が表す領域を図示せよ．
(3)$n$は$3$以上の自然数とする．数学的帰納法によって，次の不等式を証明せよ．
\[ 2^n>\frac{1}{2}n^2+n \]

$xy$平面において，曲線$C:x^2+y^2=1 (x \geqq 0,\ y \geqq 0)$，および直線$\ell:y=(\tan \theta)x$を考える．ただし，$\theta$は$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$をみたす定数とする．$S_1,\ S_2,\ S_3$を次によって定める．

$S_1:$ $y$軸，曲線$C$，直線$\ell$で囲まれた部分の面積
$S_2:$ $x$軸，曲線$C$，直線$x=\cos \theta$で囲まれた部分の面積
$S_3:$ $x$軸，直線$\ell$，直線$x=\cos \theta$で囲まれた部分の面積

次の問いに答えよ．

(1)$S_1$および$S_2$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$S_1=S_2$となる$\theta$が存在することを示せ．
(3)$S_1=S_2=S_3$となる$\theta$は存在しないことを示せ．

$n$を自然数とし，曲線$\displaystyle y=n \sin \frac{x}{n}$と円$x^2+y^2=1$の第$1$象限における交点の座標を$(p_n,\ q_n)$とする．

(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle n \sin \frac{x}{n}<x$が成り立つことを示せ．
(2)不等式$\displaystyle p_n>\frac{1}{\sqrt{2}}$が成り立つことを示せ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$のとき，不等式
\[ (*) \quad \left( n \sin \frac{1}{n} \right) x \leqq n \sin \frac{x}{n} \]
が成り立つことを利用して，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．

(i) 不等式$\displaystyle p_n \leqq \frac{1}{\sqrt{1+n^2 \sin^2 \displaystyle\frac{1}{n}}}$が成り立つことを示せ．
(ii) $x$軸，直線$x=p_n$，および曲線$\displaystyle y=n \sin \frac{x}{n} (0 \leqq x \leqq p_n)$で囲まれた領域の面積を$S_n$とするとき，$S_n$を$p_n$を用いて表せ．また，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．

(4)$0 \leqq x \leqq 1$のとき，$(3)$の不等式$(*)$が成り立つことを示せ．

$m$を実数とする．方程式
\[ mx^2-my^2+(1-m^2)xy+5(1+m^2)y-25m=0 \cdots\cdots (*) \]
を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$xy$平面において，方程式$(*)$が表す図形は$2$直線であることを示せ．
(2)$(1)$で求めた$2$直線は$m$の値にかかわらず，それぞれ定点を通る．これらの定点を求めよ．
(3)$m$が$-1 \leqq m \leqq 3$の範囲を動くとき，$(1)$で求めた$2$直線の交点の軌跡を図示せよ．

座標平面上の楕円$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{9}=1$を$C$とし，点$\mathrm{P}(\alpha,\ \beta)$を$\alpha>0$，$\beta>0$を満たす$C$上の点とする．点$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とおく．

(1)$\ell$の方程式を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{QR}$の長さの$2$乗を$\alpha$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{QR}$の長さの最小値を求めよ．

座標平面上の楕円$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{9}=1$を$C$とし，点$\mathrm{P}(\alpha,\ \beta)$を$\alpha>0$，$\beta>0$を満たす$C$上の点とする．点$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とおく．

(1)$\ell$の方程式を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{QR}$の長さの$2$乗を$\alpha$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{QR}$の長さの最小値を求めよ．

$n$を自然数とし，曲線$\displaystyle y=n \sin \frac{x}{n}$と円$x^2+y^2=1$の第$1$象限における交点の座標を$(p_n,\ q_n)$とする．

(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle n \sin \frac{x}{n}<x$が成り立つことを示せ．
(2)不等式$\displaystyle p_n>\frac{1}{\sqrt{2}}$が成り立つことを示せ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$のとき，不等式
\[ (*) \quad \left( n \sin \frac{1}{n} \right) x \leqq n \sin \frac{x}{n} \]
が成り立つことを利用して，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．

(i) 不等式$\displaystyle p_n \leqq \frac{1}{\sqrt{1+n^2 \sin^2 \displaystyle\frac{1}{n}}}$が成り立つことを示せ．
(ii) $x$軸，直線$x=p_n$，および曲線$\displaystyle y=n \sin \frac{x}{n} (0 \leqq x \leqq p_n)$で囲まれた領域の面積を$S_n$とするとき，$S_n$を$p_n$を用いて表せ．また，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．

(4)$0 \leqq x \leqq 1$のとき，$(3)$の不等式$(*)$が成り立つことを示せ．

方程式$x^2+y^2+2kx-4ky+10k-20=0$の表す図形$C$を考える．ただし，$k$は実数とする．次の問いに答えよ．

(1)図形$C$は円であることを示せ．
(2)図形$C$は$k$がどのような値であっても定点を通る．その定点の座標を求めよ．
(3)図形$C$で囲まれる部分の面積の最小値を求めよ．
(4)図形$C$と直線$y=x-2$の共有点の個数を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle |x+1|<\frac{1}{2},\ |y-2|<\frac{1}{3}$のとき
\[ |-8x^3+12xy+3y^2+4|<10 \]
を示せ．
次の$3$題$(2)$～$(4)$から$1$題選択して解答せよ．
(2)$12$個のサイコロを同時に投げたとき，$1$の目がちょうど$n$個出る確率を$P_n$とする．$P_n$は$n=2$のとき最大になることを示せ．
(3)$a$を正の整数とし，$p,\ q$を素数とする．このとき，$2$次方程式
\[ ax^2-px+q=0 \]
の$2$解が整数となるような組$(a,\ p,\ q)$をすべて求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$上に，異なる$2$点$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$を，$\mathrm{BXYC}$の順に並ぶように選ぶ．$\mathrm{X}$を通り$\mathrm{AB}$に平行な直線と，$\mathrm{Y}$を通り$\mathrm{AC}$に平行な直線との交点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{Z}$とする．このとき
\[ \frac{\mathrm{CY}}{\mathrm{BX}}=\frac{\mathrm{YZ}}{\mathrm{XZ}} \]
となることを示せ．