「x^3」について
タグ「x^3」の検索結果
(6ページ目:全824問中51問~60問を表示)![早稲田大学](./img/univ/waseda.png)
$x,\ y$を正の整数とする.
(1)$17x-36y=1$となる最小の$x$は$[ア]$である.
(2)$17x^3-36y=1$となる最小の$x$は$[イ]$である.
(1)$17x-36y=1$となる最小の$x$は$[ア]$である.
(2)$17x^3-36y=1$となる最小の$x$は$[イ]$である.
![早稲田大学](./img/univ/waseda.png)
$[ア]$~$[エ]$にあてはまる数または式を記入せよ.
(1)$2^{100}$を$2016$で割った余りは$[ア]$である.
(2)$a,\ b$を正の整数とする.方程式
\[ 2x^3-ax^2+bx+3=0 \]
が,$1$以上の有理数の解を持つような$a$の最小値は$[イ]$である.
(3)正$2016$角形$P$がある.頂点がすべて$P$の頂点であるような正多角形は全部で$[ウ]$個ある.ただし,頂点の異なる正多角形は異なるものとする.
(4)$\displaystyle \left( \sum_{k=1}^{2016} k \sin \frac{(2k-1) \pi}{2016} \right) \sin \frac{\pi}{2016}=[エ]$
(1)$2^{100}$を$2016$で割った余りは$[ア]$である.
(2)$a,\ b$を正の整数とする.方程式
\[ 2x^3-ax^2+bx+3=0 \]
が,$1$以上の有理数の解を持つような$a$の最小値は$[イ]$である.
(3)正$2016$角形$P$がある.頂点がすべて$P$の頂点であるような正多角形は全部で$[ウ]$個ある.ただし,頂点の異なる正多角形は異なるものとする.
(4)$\displaystyle \left( \sum_{k=1}^{2016} k \sin \frac{(2k-1) \pi}{2016} \right) \sin \frac{\pi}{2016}=[エ]$
![立教大学](./img/univ/rikkyo.png)
次の空欄$[ア]$~$[ク]$に当てはまる数または式を記入せよ.
(1)赤と青の$2$色を両方とも必ず用いて,正四面体の各面を塗り分ける場合の数は$[ア]$通りである.ただし,回転して一致する場合は同じものとみなす.
(2)$n$を$1 \leqq n \leqq 16$を満たす整数とする.$5n$を$17$で割ったときの余りが$1$となるとき,$n=[イ]$である.
(3)$A=\log_4 120-\log_4 6-\log_4 10$を計算すると,$A=[ウ]$である.
(4)$k$を実数とし,$2$次方程式$x^2+kx-1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする.$2$次方程式$x^2-(k+4)x+1=0$が$2$つの解$\alpha^2$と$\beta^2$を持つとき,$k$の値をすべて求めると,$k=[エ]$である.
(5)$a,\ b$を実数とする.$x$の$2$次式$f(x)$が,$x^2 f^\prime(x)-f(x)=x^3+ax^2+bx$を満たすとき,$a+b=[オ]$である.
(6)三角形$\mathrm{ABC}$の辺の長さがそれぞれ$\mathrm{AB}=2$,$\mathrm{BC}=3$,$\mathrm{CA}=4$のとき,三角形$\mathrm{ABC}$に内接する円の半径は$[カ]$である.
(7)$\displaystyle 0 \leqq \theta<\frac{\pi}{2}$において,$\tan \theta=2$が成り立つとき,$\cos \theta=[キ]$である.
(8)曲線$y=x^3-x^2+x+1$と曲線$y=x^3-2x^2+5x-2$で囲まれた図形の面積は$[ク]$である.
(1)赤と青の$2$色を両方とも必ず用いて,正四面体の各面を塗り分ける場合の数は$[ア]$通りである.ただし,回転して一致する場合は同じものとみなす.
(2)$n$を$1 \leqq n \leqq 16$を満たす整数とする.$5n$を$17$で割ったときの余りが$1$となるとき,$n=[イ]$である.
(3)$A=\log_4 120-\log_4 6-\log_4 10$を計算すると,$A=[ウ]$である.
(4)$k$を実数とし,$2$次方程式$x^2+kx-1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする.$2$次方程式$x^2-(k+4)x+1=0$が$2$つの解$\alpha^2$と$\beta^2$を持つとき,$k$の値をすべて求めると,$k=[エ]$である.
(5)$a,\ b$を実数とする.$x$の$2$次式$f(x)$が,$x^2 f^\prime(x)-f(x)=x^3+ax^2+bx$を満たすとき,$a+b=[オ]$である.
(6)三角形$\mathrm{ABC}$の辺の長さがそれぞれ$\mathrm{AB}=2$,$\mathrm{BC}=3$,$\mathrm{CA}=4$のとき,三角形$\mathrm{ABC}$に内接する円の半径は$[カ]$である.
(7)$\displaystyle 0 \leqq \theta<\frac{\pi}{2}$において,$\tan \theta=2$が成り立つとき,$\cos \theta=[キ]$である.
(8)曲線$y=x^3-x^2+x+1$と曲線$y=x^3-2x^2+5x-2$で囲まれた図形の面積は$[ク]$である.
![同志社大学](./img/univ/doshisha.png)
次の$[ ]$に適する数または式を記入せよ.
(1)$0<\theta<\pi$とし,$t=\cos 2\theta$とおく.$\displaystyle \frac{\sin 3\theta}{\sin \theta}$と$\displaystyle \frac{\sin 5\theta}{\sin \theta}$をそれぞれ$t$を用いて表すと$[ア]$と$[イ]$となる.$\sin 5\theta=0$となる$\theta$のうち,$0<\theta<\pi$において最小のものの値は$[ウ]$である.したがって,$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{5}$の値は$[エ]$である.
(2)$1$から$5$までの異なる整数が$1$つずつ書いてある$5$枚のカードを左から右へ順に並べたとき,カードに書かれた整数を左から$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$とおく.並べ方は全部で$[オ]$通りである.そのうち$a_1<a_2<a_3$かつ$a_3>a_4>a_5$となる並べ方は$[カ]$通りである.また,$a_1 \neq 1$かつ$a_2 \neq 2$となる並べ方は$[キ]$通りである.
(3)$4$次関数$y=3x^4-8x^3$は,$x=[ク]$のとき最小値$[ケ]$をとる.また直線$\ell$がこの$4$次関数が表す曲線と$2$点で接するとき,$2$つの接点のうち$x$座標が大きい方の$x$座標の値は$[コ]$である.
(1)$0<\theta<\pi$とし,$t=\cos 2\theta$とおく.$\displaystyle \frac{\sin 3\theta}{\sin \theta}$と$\displaystyle \frac{\sin 5\theta}{\sin \theta}$をそれぞれ$t$を用いて表すと$[ア]$と$[イ]$となる.$\sin 5\theta=0$となる$\theta$のうち,$0<\theta<\pi$において最小のものの値は$[ウ]$である.したがって,$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{5}$の値は$[エ]$である.
(2)$1$から$5$までの異なる整数が$1$つずつ書いてある$5$枚のカードを左から右へ順に並べたとき,カードに書かれた整数を左から$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$とおく.並べ方は全部で$[オ]$通りである.そのうち$a_1<a_2<a_3$かつ$a_3>a_4>a_5$となる並べ方は$[カ]$通りである.また,$a_1 \neq 1$かつ$a_2 \neq 2$となる並べ方は$[キ]$通りである.
(3)$4$次関数$y=3x^4-8x^3$は,$x=[ク]$のとき最小値$[ケ]$をとる.また直線$\ell$がこの$4$次関数が表す曲線と$2$点で接するとき,$2$つの接点のうち$x$座標が大きい方の$x$座標の値は$[コ]$である.
![星薬科大学](./img/univ/hoshiyakka.png)
$i$を虚数単位,$k$を実数とするとき,$3$次方程式$\displaystyle 2x^3-(6k+3i)x^2-\frac{4}{3}x-9+2i=0$が$2$つの異なる実数解をもつための必要十分条件は$\displaystyle k=-\frac{[$24$]}{[$25$]}$であり,その$2$つの実数解は$\displaystyle x=\pm \frac{\sqrt{[$26$]}}{[$27$]}$である.
![星薬科大学](./img/univ/hoshiyakka.png)
$x$の$3$次式$f(x)$が等式
\[ 4f(x)-xf^\prime(x)=3x^3-4x^2-6x+4 \]
を満たすとき,次の問に答えよ.
(1)このとき,$f(x)=[$37$]x^3-[$38$]x^2-[$39$]x+[$40$]$である.
(2)曲線$y=f(x)$を$C$とし,$C$上の点$(0,\ [$40$])$で$C$と接する接線を$\ell$とするとき,$\ell$の方程式は$y=-[$41$]x+[$42$]$であり,この$\ell$は,点$(0,\ [$40$])$以外の$C$上の点$\displaystyle \left( \frac{[$43$]}{[$44$]},\ -\frac{[$45$]}{[$46$]} \right)$において$C$と交わる.
(3)$C$と$\ell$とで囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[$47$]}{[$48$][$49$]}$である.
\[ 4f(x)-xf^\prime(x)=3x^3-4x^2-6x+4 \]
を満たすとき,次の問に答えよ.
(1)このとき,$f(x)=[$37$]x^3-[$38$]x^2-[$39$]x+[$40$]$である.
(2)曲線$y=f(x)$を$C$とし,$C$上の点$(0,\ [$40$])$で$C$と接する接線を$\ell$とするとき,$\ell$の方程式は$y=-[$41$]x+[$42$]$であり,この$\ell$は,点$(0,\ [$40$])$以外の$C$上の点$\displaystyle \left( \frac{[$43$]}{[$44$]},\ -\frac{[$45$]}{[$46$]} \right)$において$C$と交わる.
(3)$C$と$\ell$とで囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[$47$]}{[$48$][$49$]}$である.
![学習院大学](./img/univ/gakushuin.png)
曲線$C:y=x^3-x$上に,原点とは異なる点$\mathrm{P}$がある.$\mathrm{P}$での$C$の接線を$\ell$とし,$\ell$と$C$の交点で$\mathrm{P}$以外のものを$\mathrm{Q}$とする.さらに,原点を通り$\ell$に平行な直線を$m$とする.
(1)$m$と$C$は相異なる$3$点で交わることを示せ.
(2)$m$と$C$の原点以外の交点を$\mathrm{R}$,$\mathrm{S}$とするとき,$\displaystyle \frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{RS}}$を求めよ.
(1)$m$と$C$は相異なる$3$点で交わることを示せ.
(2)$m$と$C$の原点以外の交点を$\mathrm{R}$,$\mathrm{S}$とするとき,$\displaystyle \frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{RS}}$を求めよ.
![愛知工業大学](./img/univ/aichikougyou.png)
次の$[ ]$を適当に補え.$(6)$,$(7)$は選択問題である.
(1)$a$を定数とする.不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす$x$の範囲は$[ア]$である.また,不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす整数$x$が$x=2$だけであるような$a$の範囲は$[イ]$である.
(2)数列$\{a_n\}$は関係式
\[ a_1=3,\quad a_{n+1}-a_n=2(3^n-n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたすとする.このとき,$a_4=[ウ]$であり,$a_n=[エ]$である.
(3)$\displaystyle \log_2(4-x)+\log_4(x-1)=\frac{1}{2}$をみたす$x$は$x=[オ]$である.
(4)$a$を定数とし,$f(x)=x^3-3x^2-9x+a$とする.区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最小値が$5$であるとき,$a=[カ]$である.またこのとき,区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最大値は$[キ]$である.
(5)$\displaystyle z=\frac{1+i}{\sqrt{3}+i}$とする.$z^n$が実数となる最小の自然数$n$は$n=[ク]$であり,このとき,$z^n=[ケ]$である.ただし,$i$は虚数単位である.
(6)$1$枚の硬貨を投げ,表が出たときは白球$1$個を壺に入れ,裏が出たときは黒球$1$個を壺に入れる.硬貨を$3$回投げて壺に$3$個の球が入っている.
(i) 壺に白球$1$個と黒球$2$個が入っている確率は$[コ]$である.
(ii) 壺の中から$2$個の球を同時に取り出したとき,それが白球$1$個と黒球$1$個である確率は$[サ]$である.
(7)等式$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{5}{y}=1$をみたす自然数$x,\ y$の組は$(x,\ y)=[シ]$である.
(1)$a$を定数とする.不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす$x$の範囲は$[ア]$である.また,不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす整数$x$が$x=2$だけであるような$a$の範囲は$[イ]$である.
(2)数列$\{a_n\}$は関係式
\[ a_1=3,\quad a_{n+1}-a_n=2(3^n-n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたすとする.このとき,$a_4=[ウ]$であり,$a_n=[エ]$である.
(3)$\displaystyle \log_2(4-x)+\log_4(x-1)=\frac{1}{2}$をみたす$x$は$x=[オ]$である.
(4)$a$を定数とし,$f(x)=x^3-3x^2-9x+a$とする.区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最小値が$5$であるとき,$a=[カ]$である.またこのとき,区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最大値は$[キ]$である.
(5)$\displaystyle z=\frac{1+i}{\sqrt{3}+i}$とする.$z^n$が実数となる最小の自然数$n$は$n=[ク]$であり,このとき,$z^n=[ケ]$である.ただし,$i$は虚数単位である.
(6)$1$枚の硬貨を投げ,表が出たときは白球$1$個を壺に入れ,裏が出たときは黒球$1$個を壺に入れる.硬貨を$3$回投げて壺に$3$個の球が入っている.
(i) 壺に白球$1$個と黒球$2$個が入っている確率は$[コ]$である.
(ii) 壺の中から$2$個の球を同時に取り出したとき,それが白球$1$個と黒球$1$個である確率は$[サ]$である.
(7)等式$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{5}{y}=1$をみたす自然数$x,\ y$の組は$(x,\ y)=[シ]$である.
![名城大学](./img/univ/meijou.png)
$f(x)=2x^3+(a-1)x^2-a+1$($a$は$a \neq 1$を満たす実数)とするとき,次の問に答えよ.
(1)$y=f(x)$のグラフは$a$の値によらず$2$定点を通ることを示し,その座標を求めよ.
(2)$f(x)$の極大値を与える$x$の値$m$を求めよ.
(3)$a$が$a \neq 1$を満たす実数全体を動く.$(2)$の$m$に対し,点$(m,\ f(m))$の軌跡を$xy$平面上に図示せよ.
(1)$y=f(x)$のグラフは$a$の値によらず$2$定点を通ることを示し,その座標を求めよ.
(2)$f(x)$の極大値を与える$x$の値$m$を求めよ.
(3)$a$が$a \neq 1$を満たす実数全体を動く.$(2)$の$m$に対し,点$(m,\ f(m))$の軌跡を$xy$平面上に図示せよ.
![立教大学](./img/univ/rikkyo.png)
次の空欄$[ア]$~$[シ]$に当てはまる数または式を記入せよ.
(1)$2$つの自然数$m,\ n$で等式$m^2-n^2=15$を満たすのは,
\[ (m,\ n)=([ア],\ [イ]) \quad \text{と} \quad (m,\ n)=([ウ],\ [エ]) \]
である.
(2)方程式$x^3-(3+a)x^2+(2+3a)x-2a=0$の異なる実数解が$2$個であるときの実数$a$の値をすべて挙げると$[オ]$である.
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で$4 \cos \theta-\sin \theta=1$が成り立つとき,$\tan \theta$の値は$[カ]$である.
(4)実数$x$に関する不等式$2^{2x}-2^{x+1}-48<0$を解くと$x<[キ]$である.
(5)$\sqrt{3},\ \sqrt[3]{5},\ \sqrt[4]{7},\ \sqrt[6]{19}$のうち,最小のものは$[ク]$である.
(6)大中小の$3$個のさいころを同時に$1$回投げるとき,出た目の和が$7$になる場合の数は$[ケ]$通りある.
(7)食品$\mathrm{X}$,$\mathrm{Y}$がある.食品$\mathrm{X}$は$100 \, \mathrm{g}$あたり$80$円で,栄養素$\mathrm{a}$を$4 \, \mathrm{mg}$,栄養素$\mathrm{b}$を$20 \, \mathrm{mg}$含む.食品$\mathrm{Y}$は$100 \, \mathrm{g}$あたり$60$円で,栄養素$\mathrm{a}$を$2 \, \mathrm{mg}$,栄養素$\mathrm{b}$を$60 \, \mathrm{mg}$含む.栄養素$\mathrm{a}$を$8 \, \mathrm{mg}$以上,栄養素$\mathrm{b}$を$80 \, \mathrm{mg}$以上になるように食品$\mathrm{X}$,$\mathrm{Y}$を混合するとき,費用を最小にするには食品$\mathrm{X}$を$[コ] \, \mathrm{g}$と食品$\mathrm{Y}$を$[サ] \, \mathrm{g}$混ぜればよい.
(8)$\displaystyle S=\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{6 \cdot 7 \cdot 8}$とするとき,$S$の値は$[シ]$である.
(1)$2$つの自然数$m,\ n$で等式$m^2-n^2=15$を満たすのは,
\[ (m,\ n)=([ア],\ [イ]) \quad \text{と} \quad (m,\ n)=([ウ],\ [エ]) \]
である.
(2)方程式$x^3-(3+a)x^2+(2+3a)x-2a=0$の異なる実数解が$2$個であるときの実数$a$の値をすべて挙げると$[オ]$である.
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で$4 \cos \theta-\sin \theta=1$が成り立つとき,$\tan \theta$の値は$[カ]$である.
(4)実数$x$に関する不等式$2^{2x}-2^{x+1}-48<0$を解くと$x<[キ]$である.
(5)$\sqrt{3},\ \sqrt[3]{5},\ \sqrt[4]{7},\ \sqrt[6]{19}$のうち,最小のものは$[ク]$である.
(6)大中小の$3$個のさいころを同時に$1$回投げるとき,出た目の和が$7$になる場合の数は$[ケ]$通りある.
(7)食品$\mathrm{X}$,$\mathrm{Y}$がある.食品$\mathrm{X}$は$100 \, \mathrm{g}$あたり$80$円で,栄養素$\mathrm{a}$を$4 \, \mathrm{mg}$,栄養素$\mathrm{b}$を$20 \, \mathrm{mg}$含む.食品$\mathrm{Y}$は$100 \, \mathrm{g}$あたり$60$円で,栄養素$\mathrm{a}$を$2 \, \mathrm{mg}$,栄養素$\mathrm{b}$を$60 \, \mathrm{mg}$含む.栄養素$\mathrm{a}$を$8 \, \mathrm{mg}$以上,栄養素$\mathrm{b}$を$80 \, \mathrm{mg}$以上になるように食品$\mathrm{X}$,$\mathrm{Y}$を混合するとき,費用を最小にするには食品$\mathrm{X}$を$[コ] \, \mathrm{g}$と食品$\mathrm{Y}$を$[サ] \, \mathrm{g}$混ぜればよい.
(8)$\displaystyle S=\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{6 \cdot 7 \cdot 8}$とするとき,$S$の値は$[シ]$である.