つぎの問いに答えなさい．

(1)$3$次方程式$x^3-6x+5=0$を解きなさい．
(2)$3$次方程式$x^3-6x+k=0$が$3$つの相異なる実数解を持つための定数$k$の値の範囲を求めなさい．

等式
\[ \frac{1}{x^3-x}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x}+\frac{c}{x+1} \]
が恒等式となるように定数$a,\ b,\ c$の値を定めよ．また，それを利用して
\[ \sum_{n=2}^{100} \frac{1}{n^3-n} \]
を求めよ．

$x^3=1$の解のうち，虚数であるものの$1$つを$\omega$とするとき，以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{1}{\omega}+\frac{1}{\omega^2}+\frac{1}{[ナ]}=-\frac{2}{3}$である．

(2)$\omega$に共役な複素数を$\overline{\omega}$とするとき，$(\overline{\omega}^4+3 \omega+1)(\omega^4+\overline{\omega}+3)=[ニ] \omega$である．
(3)$\omega+1$および$\overline{\omega}+1$を解とする$x$の$2$次方程式の$1$つは$x^2+[ヌネ]x+[ノ]=0$である．

実数$A,\ B,\ C$を係数とする$3$次方程式
\[ x^3+Ax^2-B^2x+C=0 \]
は$3$つの互いに異なる実数解$\alpha,\ \beta,\ \gamma$をもち，$\alpha \beta \gamma \neq 0$である．このとき以下の設問に答えよ．

(1)$A,\ B,\ C$を用いて$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}$を表せ．
(2)$A,\ B,\ C$を用いて$\displaystyle \frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}+\frac{1}{\gamma^2}$を表せ．

$2$次関数や$3$次関数$y=f(x)$から新しい関数$F(x)$を次のように作る．

実数$x$に対して，$f(\alpha)=f(x)$を満たす最大の$\alpha$をとり
\[ F(x)=\alpha-x \]
と定める．

例えば，$f(x)=x^2$の場合，実数$x$に対して$\alpha$の方程式$f(\alpha)=f(x)$は$\alpha^2=x^2$であり，$\alpha=\pm x$となる．したがって，その$2$つの$\alpha$のうち大きい方をとれば次を得る．

$x<0$のとき$\alpha=-x$により$F(x)=\alpha-x=-2x=2 |x|$
$x \geqq 0$のとき$\alpha=x$により$F(x)=\alpha-x=0$

以下では$f(x)=x^3-3b^2x (b>0)$に対して，上の操作で定めた関数$F(x)$を考える．

(1)$F(-b),\ F(0),\ F(b)$の値を求めよ．
(2)$F(x)=0$となる$x$の範囲を求めよ．また$F(x)>0$となる$x$の範囲を求めよ．
(3)$F(x)>0$となる$x$に対し，$f(\alpha)=f(x)$を満たす最大の$\alpha$を$x$の式で表せ．
(4)関数$y=F(x)$を求め，そのグラフの概形をかけ．また$F(x)$の最大値を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)次の$3$次式を$1$次式の積に因数分解せよ．
\[ x^3-2x^2-5x+6 \]
(2)$x$についての$2$次方程式
\[ x^2-2kx+3k-2=0 \]
が，相異なる$2$つの実数解を持つような，定数$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$x$の変域が$-1 \leqq x \leqq 2$であるときの$2$次関数
\[ y=2x^2-3x+1 \]
の最大値と最小値を求めよ．
(4)$5$個の数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$を一回ずつ使って$4$桁の数を作る．このとき$3215$以上の数はいくつあるか求めよ．
(5)$2^{1000}$は何桁の数になるか．ただし，$\log_{10}2=0.30103$とする．
(6)図のような三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}:\mathrm{CA}=5:6:4$である．このとき$\sin A:\sin B:\sin C$を整数比で表せ．

（図は省略）

$\displaystyle a=\frac{1}{1+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$，$\displaystyle b=\frac{1}{1-\sqrt{3}+\sqrt{5}}$，$\displaystyle c=\frac{1}{1+\sqrt{3}-\sqrt{5}}$，$\displaystyle d=\frac{1}{1-\sqrt{3}-\sqrt{5}}$とおく．

(1)$\displaystyle abcd=-\frac{1}{[ア][イ]}$である．
(2)$abc,\ abd,\ acd,\ bcd$の最小値は
\[ \frac{-[ウ]-[エ] \sqrt{3}-[オ] \sqrt{5}-[カ] \sqrt{15}}{[ア][イ]} \]
である．
(3)$ab+cd,\ ac+bd,\ ad+bc$の最小値は
\[ -\frac{[キ]}{[ア][イ]} \]
である．
(4)$a+b,\ a+c,\ a+d,\ b+c,\ b+d,\ c+d$の最小値は
\[ \frac{[ク][ケ]-[コ] \sqrt{3}-[サ] \sqrt{5}-[シ] \sqrt{15}}{[ア][イ]} \]
である．
(5)$(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)$
\[ =\frac{[ア][イ]x^4-[ス][セ]x^3+[ソ][タ]x^2+[チ]x-1}{[ア][イ]} \]
である．

次の問いに答えよ．

(1)$x=\sqrt{7}-\sqrt{3}$，$y=\sqrt{7}+\sqrt{3}$のとき，$\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$であり，$\displaystyle \frac{1}{x^3}-\frac{1}{y^3}=\frac{[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オ]}$である．
(2)$(9x-5)(2x+3)+10x-41=([カ]x-[キ])([ク]x+[ケ])$である．
(3)連立不等式$\displaystyle \frac{5x-7}{3}-1 \leqq x+2<\frac{4x-3}{2}$の解は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}<x \leqq [シ]$である．
(4)等式$2 |x-1|+x-7=0$を満たす実数$x$の値は$[スセ]$と$[ソ]$である．
(5)男子$4$人，女子$3$人が$1$列に並ぶとき，男女が交互に並ぶ並び方は$[タチツ]$通りである．
(6)$1$から$9$までの整数を$1$つずつ書いたカードが$9$枚ある．この中から同時に$2$枚を取り出したとき，それらの整数の積が偶数である確率は$\displaystyle \frac{[テト]}{[ナニ]}$である．
(7)$0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$とする．$\displaystyle \sin \theta=\frac{1}{5}$のとき，
\[ \sin (180^\circ-\theta)+\cos (180^\circ-\theta)+\tan (90^\circ-\theta)=\frac{[ア]+[イ] \sqrt{[ウ]}}{[エ]} \]
である．
(8)$a,\ b$を正の整数の定数とする．$2$次関数$y=2x^2+(a-2)x+3-b$のグラフが$x$軸と接するとき，$a=[オ]$，$b=[カ]$，あるいは$a=[キ]$，$b=[ク]$である．ただし，$[オ]<[キ]$である．

関数$f(x)=x^3-16x-2$について，以下の問いに答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$を$y$軸方向に$6$だけ平行移動すると曲線$y=g(x)$となる．$g(x)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$を$x$軸方向に$2$だけ平行移動すると曲線$y=h(x)$となる．$h(x)$を求めよ．
(3)$y=g(x)$のグラフと$y=h(x)$のグラフの交点の座標を求めよ．
(4)$y=g(x)$のグラフと$y=h(x)$のグラフに囲まれた部分の面積を求めよ．

$a$を実数とし，関数$f(x)=x^3+3ax^2+(3a^2-a)x$について考える．方程式$f(x)=0$の異なる実数解の個数を$k$とする．$f(0)=0$であることに注意せよ．

(1)$k=1$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$k=2$となるような$a$の値を求めよ．
(3)$k=3$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(4)$a$は$(3)$で求めた範囲にあるとする．方程式$f(x)=0$の$0$以外の実数解を$\alpha,\ \beta$とおく．ただし，$\alpha<\beta$とする．

(i) $\alpha<0$であることを示せ．
(ii) $\alpha<\beta<0$であるような$a$の値の範囲を求めよ．
(iii) $\alpha<0<\beta$であるような$a$の値の範囲を求めよ．

(5)関数$f(x)$が極大値と極小値をもつような$a$の値の範囲を求めよ．
(6)$a$が$(5)$で求めた範囲にあるとき，関数$f(x)$の極小値を$m(a)$とおく．$a$が$(5)$で求めた範囲を動くときの$m(a)$の最大値と，最大値を与える$a$の値を求めよ．