「x^3」について
タグ「x^3」の検索結果
（54ページ目：全824問中531問～540問を表示）
私立 立教大学 2012年 第2問関数$f(x)=x^3+x^2-16x+3$が定める座標平面上の曲線を$C$とする．この曲線が$y$軸と交わる点を$\mathrm{P}$とし，$f(x)$は$x=a$において極小値をとるとする．$x=a$に対応する曲線上の点を$\mathrm{Q}(a,\ f(a))$とする．このとき，次の問(1)～(3)に答えよ．
(1)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{R}$を$\mathrm{R}(0,\ f(a))$で定める．$\triangle \mathrm{PQR}$を$y$軸を中心にして回転させて得られる円錐$\mathrm{M}$とそれに内接する円柱$\mathrm{N}$を考える．円柱$\mathrm{N}$の底面は，円柱$\mathrm{M}$の底面に含まれており，半径が$r$であるとき，この円柱$\mathrm{N}$の体積$V$を$r$の式で表せ．
(3)円柱$\mathrm{N}$の体積$V$が最大となるような$r$とそのときの体積を求めよ．
(1)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{R}$を$\mathrm{R}(0,\ f(a))$で定める．$\triangle \mathrm{PQR}$を$y$軸を中心にして回転させて得られる円錐$\mathrm{M}$とそれに内接する円柱$\mathrm{N}$を考える．円柱$\mathrm{N}$の底面は，円柱$\mathrm{M}$の底面に含まれており，半径が$r$であるとき，この円柱$\mathrm{N}$の体積$V$を$r$の式で表せ．
(3)円柱$\mathrm{N}$の体積$V$が最大となるような$r$とそのときの体積を求めよ．
私立 立教大学 2012年 第3問曲線$y=x^3-x$を$C_1$とし，放物線$y=x^2+ax+b$を$C_2$とする．また，放物線$C_2$の頂点の座標は$(t,\ -t^2)$である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)=x^3-x$の極値を求めよ．
(2)$a$を$t$で表せ．
(3)曲線$C_1$と放物線$C_2$が異なる共有点をちょうど$2$個もつ$t$の値が$2$つある．それらの値$t_1,\ t_2 (t_1<t_2)$を求めよ．
(4)$t=t_1$のとき，曲線$C_1$と放物線$C_2$によって囲まれた領域の面積を求めよ．
(1)関数$f(x)=x^3-x$の極値を求めよ．
(2)$a$を$t$で表せ．
(3)曲線$C_1$と放物線$C_2$が異なる共有点をちょうど$2$個もつ$t$の値が$2$つある．それらの値$t_1,\ t_2 (t_1<t_2)$を求めよ．
(4)$t=t_1$のとき，曲線$C_1$と放物線$C_2$によって囲まれた領域の面積を求めよ．
私立 立教大学 2012年 第1問次の空欄ア～ケに当てはまる数または式を記入せよ．
(1)$\sqrt{2} \div \sqrt[4]{4} \times \sqrt[12]{32} \div \sqrt[6]{2}=2^a$とすると$a=[ア]$である．
(2)座標空間に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 3,\ 5)$，$\mathrm{C}(x,\ y,\ z)$がある．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$およびベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と垂直である．このとき，$(x,\ y,\ z)=[イ]$である．ただし，$x>0$，$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=1$とする．
(3)$i$を虚数単位として，複素数$x=\sqrt{3}+\sqrt{7}i$を考える．$x$と共役な複素数を$\overline{x}$とするとき，$x^3+\overline{x}^3$の値は$[ウ]$である．
(4)$\log_2x+\log_4y=1$のとき，$x^2+y$の最小値は$[エ]$である．
(5)$4$つの数字$0,\ 1,\ 2,\ 6$から，$18$で割り切れる$4$桁の数を作るとすると$[オ]$通りできる．ただし，同じ数字は$2$度以上使わないものとする．
(6)$\cos 75^\circ$の値は$[カ]$である．
(7)$\displaystyle \left( x^3-\frac{1}{2} \right)^{10}$の展開式における$x^{15}$の係数は$[キ]$である．
(8)三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とする．$\angle \mathrm{OAC}=40^\circ$，$\angle \mathrm{OCB}=25^\circ$のとき，$\angle \mathrm{AOC}=[ク]$であり，$\angle \mathrm{ABO}=[ケ]$である．
(1)$\sqrt{2} \div \sqrt[4]{4} \times \sqrt[12]{32} \div \sqrt[6]{2}=2^a$とすると$a=[ア]$である．
(2)座標空間に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 3,\ 5)$，$\mathrm{C}(x,\ y,\ z)$がある．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$およびベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と垂直である．このとき，$(x,\ y,\ z)=[イ]$である．ただし，$x>0$，$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=1$とする．
(3)$i$を虚数単位として，複素数$x=\sqrt{3}+\sqrt{7}i$を考える．$x$と共役な複素数を$\overline{x}$とするとき，$x^3+\overline{x}^3$の値は$[ウ]$である．
(4)$\log_2x+\log_4y=1$のとき，$x^2+y$の最小値は$[エ]$である．
(5)$4$つの数字$0,\ 1,\ 2,\ 6$から，$18$で割り切れる$4$桁の数を作るとすると$[オ]$通りできる．ただし，同じ数字は$2$度以上使わないものとする．
(6)$\cos 75^\circ$の値は$[カ]$である．
(7)$\displaystyle \left( x^3-\frac{1}{2} \right)^{10}$の展開式における$x^{15}$の係数は$[キ]$である．
(8)三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とする．$\angle \mathrm{OAC}=40^\circ$，$\angle \mathrm{OCB}=25^\circ$のとき，$\angle \mathrm{AOC}=[ク]$であり，$\angle \mathrm{ABO}=[ケ]$である．
私立 東京理科大学 2012年 第3問$3$次方程式$x^3-6x^2+ax+a=0$が異なる$3$つの実数解$u,\ v,\ w$をもち，
\[ (u-1)^3+(v-2)^3+(w-3)^2=0 \]
が成り立っているとする．ただし$a$は実数とする．このとき$u,\ v,\ w$の間に成り立つ関係式と$a$の値は次の$3$通りである．
(1)$\displaystyle w=[ノ],\ u+v=[ハ],\ a=\frac{[ヒフ]}{[ヘ]}$
(2)$\displaystyle v=[ホ],\ u+w=[マ],\ a=\frac{[ミム]}{[メ]}$
(3)$\displaystyle u=[モ],\ v+w=[ヤ],\ a=\frac{[ユ]}{[ヨ]}$
ただし，必要ならば，一般に$3$次方程式$ax^3+bx^2+cx+d=0$の$3$つの解を$\alpha$，$\beta$，$\gamma$とすると，
\[ \alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a},\quad \alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a} \]
が成り立つことを用いてもよい．
\[ (u-1)^3+(v-2)^3+(w-3)^2=0 \]
が成り立っているとする．ただし$a$は実数とする．このとき$u,\ v,\ w$の間に成り立つ関係式と$a$の値は次の$3$通りである．
(1)$\displaystyle w=[ノ],\ u+v=[ハ],\ a=\frac{[ヒフ]}{[ヘ]}$
(2)$\displaystyle v=[ホ],\ u+w=[マ],\ a=\frac{[ミム]}{[メ]}$
(3)$\displaystyle u=[モ],\ v+w=[ヤ],\ a=\frac{[ユ]}{[ヨ]}$
ただし，必要ならば，一般に$3$次方程式$ax^3+bx^2+cx+d=0$の$3$つの解を$\alpha$，$\beta$，$\gamma$とすると，
\[ \alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a},\quad \alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a} \]
が成り立つことを用いてもよい．
私立 自治医科大学 2012年 第22問関数$f(x)=x^3-9x^2+3x$は，$x=a$で極大値をとり，$x=b$で極小値をとるものとする（$a,\ b$は実数）．$(a+b)$の値を求めよ．
私立 自治医科大学 2012年 第23問曲線$y=x^3+6x^2+6x-2$において，傾きが$6$となる接線は$2$つ存在する．$2$つの接線を$y=6x+a$，$y=6x+b$と表記するとき，$\displaystyle \frac{a+b}{4}$の値を求めよ．
私立 自治医科大学 2012年 第24問$2$つの曲線$C_1:f(x)=x^3+3x^2$，$C_2:g(x)=x^3+3x^2+c$（$c>0$，$c$は実数定数）について考える．点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$における$C_1$の接線と点$\mathrm{Q}(q,\ g(q))$における$C_2$の接線が一致するとき（$p \neq q$），$c=-A(p+1)^3$と表記される．$A$の値を求めよ．
私立 北海学園大学 2012年 第4問$2$つの関数$f(x)=2x^3+6x^2+k$と$g(x)=4x^2+1$がある．曲線$y=f(x)$と放物線$y=g(x)$は，ともに異なる$2$点$\mathrm{A}(0,\ a)$，$\mathrm{B}(b,\ c)$を通る．ただし，$k,\ a,\ b,\ c$は定数とする．
(1)$k,\ a,\ b,\ c$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$f(x)$の極値を求めよ．
(3)放物線$y=g(x)$と直線$\mathrm{AB}$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(1)$k,\ a,\ b,\ c$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$f(x)$の極値を求めよ．
(3)放物線$y=g(x)$と直線$\mathrm{AB}$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
私立 北海学園大学 2012年 第5問関数$f(x)=x^4+2x^3+ax^2+b$は$x=-2$で極値をとり，$f(-1)=5$を満たす．ただし，$a$と$b$は定数とする．
(1)$a$と$b$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$f(x)$の定義域を$-3 \leqq x \leqq 1$とするとき，$f(x)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$，$x$軸，および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(1)$a$と$b$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$f(x)$の定義域を$-3 \leqq x \leqq 1$とするとき，$f(x)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$，$x$軸，および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
私立 北海学園大学 2012年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$3$次関数$f(x)=ax^3+bx^2-5$の導関数$f^\prime(x)$が，$f^\prime(1)=1$と$f^\prime(2)=20$を満たすとき，定数$a$と$b$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$a$は正の実数で，$b=32a^3$とする．$x=\log_2b$，$y=\log_2a$とおくとき，$y$を$x$を用いて表せ．
(3)座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(1,\ 4)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$からの距離の$2$乗の和$\mathrm{AP}^2+\mathrm{BP}^2$が$18$である点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．
(1)$3$次関数$f(x)=ax^3+bx^2-5$の導関数$f^\prime(x)$が，$f^\prime(1)=1$と$f^\prime(2)=20$を満たすとき，定数$a$と$b$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$a$は正の実数で，$b=32a^3$とする．$x=\log_2b$，$y=\log_2a$とおくとき，$y$を$x$を用いて表せ．
(3)座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(1,\ 4)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$からの距離の$2$乗の和$\mathrm{AP}^2+\mathrm{BP}^2$が$18$である点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．