$2$つの関数$f(x)=x^3+x^2-5x$，$g(x)=x^3-2x^2+ax+b$について，曲線$y=f(x)$を$C_1$，曲線$y=g(x)$を$C_2$とする．ただし，$a,\ b$は定数である．

関数$f(x)$が極大となるときの$x$の値を$k$とし，点$(k,\ g(k))$における曲線$C_2$の接線の傾きは$-18$であるとする．
さらに，$2$つの曲線$C_1$，$C_2$はいずれもある$1$点$\mathrm{P}$を通り，点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線と点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線が一致しているとき，次の問いに答えよ．

(1)$k$の値を求めよ．
(2)$a,\ b$の値をそれぞれ求めよ．
(3)直線$x=k$と$y$軸，および$2$曲線$C_1$，$C_2$によって囲まれた部分の面積を求めよ．

関数$f(x)=x^3+a_1x^2+a_2x+a_3$について，次の問に答えよ．ただし，$a_1$，$a_2$，$a_3$は負の実数とする．

(1)$f^\prime(x)=0$は正の実数解と負の実数解を$1$つずつもつことを示せ．
$f^\prime(x)=0$の正の実数解を$\alpha$，負の実数解を$\beta$とおくとき，$-\alpha<\beta$を示せ．
(2)$f(x)=0$の正の実数解は，ただ$1$つであることを示せ．
(3)$f(x)+f(-x)<0$を示せ．
(4)$f(x)=0$の正の実数解を$p$とおく．$x \leqq -p$のとき，$f(x)<0$を示せ．
(5)$b_1,\ b_2,\ b_3,\ b_4$を負の実数とする．関数$g(x)=x^4+b_1x^3+b_2x^2+b_3x+b_4$に対し，$g(x)=0$の正の実数解は，ただ$1$つであることを示せ．$x<0$のとき，$g(x)-g(-x)>0$を示せ．$g(x)=0$の正の実数解を$q$とおく．$x \leqq -q$のとき，$g(x)>0$を示せ．

関数$f(x)=x^3+a_1x^2+a_2x+a_3$について，次の問に答えよ．ただし，$a_1$，$a_2$，$a_3$は負の実数とする．

(1)$f^\prime(x)=0$は正の実数解と負の実数解を$1$つずつもつことを示せ．
$f^\prime(x)=0$の正の実数解を$\alpha$，負の実数解を$\beta$とおくとき，$-\alpha<\beta$を示せ．
(2)$f(x)=0$の正の実数解は，ただ$1$つであることを示せ．
(3)$f(x)+f(-x)<0$を示せ．
(4)$f(x)=0$の正の実数解を$p$とおく．$x \leqq -p$のとき，$f(x)<0$を示せ．

次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)次の関数を微分せよ．
\[ (ⅰ) y=\sin (\cos x) \qquad (ⅱ) y=\frac{e^{2x}}{x+1} \]
(2)次の定積分の値を求めよ．

(i) $\displaystyle \int_0^\pi |\sin x \cos x| \, dx$

(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^3+2x^2-3}{x^2-1} \, dx$

(iii) $\displaystyle \int_0^1 \left( \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}+\sqrt{\frac{3}{4-3x^2}} \right) \, dx$

\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_1^2 x^3 \log x \, dx$

次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)次の関数を微分せよ．
\[ (ⅰ) y=\sin (\cos x) \qquad (ⅱ) y=\frac{e^{2x}}{x+1} \]
(2)次の定積分の値を求めよ．

(i) $\displaystyle \int_0^\pi |\sin x \cos x| \, dx$

(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^3+2x^2-3}{x^2-1} \, dx$

(iii) $\displaystyle \int_0^1 \left( \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}+\sqrt{\frac{3}{4-3x^2}} \right) \, dx$

\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_1^2 x^3 \log x \, dx$

次の問いに答えなさい．

(1)$3$次方程式$x^3+px+q=0$の$3$つの解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とする．

(i) $p,\ q$を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を用いて表しなさい．
(ii) $\alpha^2 \beta^2+\alpha^2 \gamma^2+\beta^2 \gamma^2$を$p,\ q$を用いて表しなさい．

(2)次の式を因数分解しなさい．
\[ x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y) \]

次の$2$つの曲線のどちらにも接する直線の方程式$y=ax+b$を求めなさい．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y=-2x^3+3 \\
y=-2x^3-1
\end{array} \right. \]

$a$は実数であるとする．$x$の関数$f(x)$を，
\[ f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{a-1}{2}x^2-ax+2 \]
により定義する．
\[ I=\int_0^6 |f^\prime(x)| \, dx \]
が最小になるような$a$の値と，そのときの$I$の値を求めよ．

関数$f(x)$が
\[ f(x)=3x^2-\int_0^1 |f(t)| \, dt \]
をみたすとき，次の問に答えよ．

(1)方程式$4x^3-6x^2+1=0$を$\displaystyle x=\frac{1}{u}$とおくことにより解け．
(2)$\displaystyle \int_0^1 |f(t)| \, dt=3a^2$とおくとき，$a$の値を求めよ．ただし，$a \geqq 0$とする．

実数$a,\ b$に対し，$f(x)=x^3-3ax+b$とおく．$-1 \leqq x \leqq 1$における$|f(x)|$の最大値を$M$とする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$a>0$のとき，$f(x)$の極値を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$b \geqq 0$のとき，$M$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$a,\ b$が実数全体を動くとき，$M$のとりうる値の範囲を求めよ．