曲線$C:y=x^3-12x$とその上の点$\mathrm{A}(1,\ -11)$がある．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$を通る曲線$C$の接線$2$本を求めよ．
(2)曲線$y=x^3+px^2+qx+r$と直線$y=mx+n$が異なる$3$点で交わるとき，その交点の$x$座標を左から$a,\ b,\ c$とする．曲線と直線の囲む部分の左側，右側の面積をそれぞれ$S$，$S^\prime$とするとき，
\[ S-S^\prime=\frac{1}{6}(c-a)^3 \left( b-\frac{a+c}{2} \right) \]
を示せ．
(3)点$\mathrm{A}$を通り，$(1)$で求めた$2$直線の傾きの間の値を傾きとしてもつ直線$\ell$と曲線$C$の囲む$2$つの部分の面積が等しい．このとき，直線$\ell$を求めよ．ここで，$(2)$から$\displaystyle b=\frac{a+c}{2}$のとき，$S=S^\prime$となることに注意せよ．

次の各問に答えよ．

(1)整式$(a+b-7)^3-(a-b+7)^3$を因数分解すると，
\[ 2(b-[ア])([イ]a^2+b^2-[ウエ]b+[オカ]) \]
となる．
(2)$\log_2 x+\log_2 y=4$のとき，$x^2+y^2$の最小値は$[キク]$で，そのときの$x,\ y$の値は$x=[ケ]$，$y=[コ]$である．
(3)各辺の長さが$\mathrm{AB}=10$，$\mathrm{BC}=8$，$\mathrm{CA}=6$である$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$，$\angle \mathrm{A}$の外角の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の延長との交点を$\mathrm{E}$とする．このとき，線分$\mathrm{DE}$の長さは$[サシ]$である．
(4)$k$を定数とするとき，方程式$x^3+3x^2-9x-k=0$が異なる$3$個の実数解をもつための必要十分条件は$-[ス]<k<[セソ]$である．

$a$を実数とする．$3$次方程式$\displaystyle x^3+ax+\frac{5}{2}=0$の$3$つの解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とするとき，$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$の値を$a$を用いて表すと$[　]$である．また，複素平面上の$3$点$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{B}(\beta)$，$\mathrm{C}(\gamma)$に対し，$\triangle \mathrm{ABC}$が直角二等辺三角形であるとき，$a$の値を求めると，$a=[　]$である．

$3$次方程式$x^3+3x^2+3x-7=0$の$3$つの解のうち，実数解を$\alpha$とし，他の$2$つの解を$\beta,\ \gamma$とする．複素平面上の点を$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{B}(\beta)$，$\mathrm{C}(\gamma)$とするとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$の長さは$[　]$であり，$\angle \mathrm{BAC}$の大きさは$[　]$である．

関数$f(x)=x^3+ax^2-bx+c$は，$x=1$のとき極小値$2$をとり，$x=-3$のとき極大値をとる．このとき，$a=[ナ]$，$b=[ニ]$，$c=[ヌ]$であり，極大値は$[ネ][ノ]$である．

$p$を素数とするとき，以下の命題を証明しなさい．

(1)$a,\ b,\ c$を整数とするとき，$a^3+pb^3+p^2c^3-p^3abc=0$ならば，$a$は$p$の倍数である．
(2)$a,\ b,\ c$を整数とするとき，$a^3+pb^3+p^2c^3-p^3abc=0$ならば，$a,\ b,\ c$はどれも$p$の倍数である．
(3)$a,\ b,\ c$を整数とするとき，$a^3+pb^3+p^2c^3-p^3abc=0$ならば，$a=b=c=0$である．
(4)$x,\ y,\ z$を有理数とするとき，$x^3+py^3+p^2z^3-p^3xyz=0$ならば，$x=y=z=0$である．

次の各問に答えよ．

(1)不等式$x^2-x-5<|2x-1|$を解け．
(2)和が$22$，最小公倍数が$60$となる$2$つの自然数を求めよ．
(3)関数$y=4 \sin^2 x-4 \cos x-3 (0 \leqq x \leqq \pi)$の最大値を求めよ．またそのときの$x$の値を求めよ．
(4)空間の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{B}(2,\ 3,\ 1)$，$\mathrm{C}(0,\ 1,\ 2)$を考える．点$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(5)$3$次方程式$x^3+x^2-2x+1=0$の$3$つの解を$a_1,\ a_2,\ a_3$とするとき，${a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2$の値を求めよ．

次の$[　]$をうめよ．

(1)$4$次方程式$x^4-x^3+ax^2+bx+2=0$が$1$と$-2$を解にもつとき，係数$a,\ b$の値を求めると$(a,\ b)=[　]$である．また，この方程式の他の解を求めると，$[　]$である．
(2)袋の中に$1$から$13$までの数が$1$つずつ書かれた$13$個の玉が入っている．この袋の中から，$2$個の玉を同時にとり出す．このとき，とり出した玉に書かれた$2$つの数の和が偶数になる確率は$[　]$である．また，とり出した玉に書かれた数がどちらも$10$以下であったとき，数の和が偶数である条件付き確率は$[　]$である．
(3)$3$点$\mathrm{A}(1,\ -1,\ 1)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ -1)$，$\mathrm{C}(4,\ -5,\ 1)$がある．$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めると$\cos \theta=[　]$である．また，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[　]$である．

$3$次関数$f(x)$は$x=0$で極大値$1$をとり，$x=1$で極小値$0$をとる．

(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$は$f^\prime(x)=ax(x-[ア])$（$a$は定数）と表せる．

(2)$(1)$より$\displaystyle f(x)=\frac{[イ]}{[ウ]}ax^3-\frac{[エ]}{[オ]}ax^2+b$（$b$は定数）と表せる．

(3)$(2)$と$f(x)$の極大値と極小値に関する条件から，$a=[カ]$，$b=[キ]$となる．よって，$f(x)=[ク]x^3-[ケ]x^2+[コ]$である．

(4)曲線$y=f(x)$と$x$軸の共有点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[サシ]}{[ス]}$，$[セ]$である．

(5)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[ソタ]}{[チツ]}$である．

$4$次方程式
\[ x^4+2x^3+3x^2+2x+2=0 \quad \cdots\cdots (*) \]
について，次の問いに答えなさい．ただし，虚数単位を$i$とする．

(1)$x=i$が$(*)$の解であることを示しなさい．
(2)$(*)$のすべての解を求めなさい．