タグ「x^2」の検索結果

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三重大学 国立 三重大学 2016年 第4問
以下の問いに答えよ.

(1)$\displaystyle y=xe^{-\frac{1}{2}x^2} (-2 \leqq x \leqq 2)$の増減および極値を調べ,このグラフの概形をかけ.

(2)$\displaystyle \int_0^1 xe^{-\frac{1}{2}x^2} \, dx$を求めよ.
東北大学 国立 東北大学 2016年 第2問
放物線$\displaystyle C:y=-\frac{1}{2}x^2$を考える.以下の問いに答えよ.

(1)関数$y=-2 |x|+k$のグラフが放物線$C$と共有点をもつような実数$k$の範囲を求めよ.
(2)$a,\ b$を実数とする.関数$y=-2 |x-a|+b$のグラフが放物線$C$と共有点をちょうど$4$個もつような点$(a,\ b)$全体のなす領域$D$を$xy$平面に図示せよ.
(3)$(2)$で求めた領域$D$の面積を求めよ.
岐阜大学 国立 岐阜大学 2016年 第2問
$\alpha,\ \beta,\ a,\ b,\ c,\ d$を実数とする.以下の問に答えよ.

(1)「すべての実数$x$について$x^2+\alpha x+\beta>0$である」が成り立つための$\alpha,\ \beta$に関する条件を求めよ.
(2)「すべての実数$y$について$ay+b<0$である」が成り立つための$a,\ b$に関する条件を求めよ.
(3)「すべての実数$x,\ y$について$x^2+4xy+4y^2+5x+cy+d>0$である」が成り立つための$c,\ d$に関する条件を求めよ.
岐阜大学 国立 岐阜大学 2016年 第4問
数列$\{r_n\}$を初項$r_1=1$,公差$1$の等差数列とする.また,数列$\{a_n\}$を次の式で定める.
\[ a_n={r_n}^2+\frac{1}{4} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
以下の問に答えよ.

(1)一般項$a_n$を求めよ.
(2)円$C_n:x^2+(y-a_n)^2={r_n}^2$と放物線$P:y=x^2$の共有点の座標を求めよ.
(3)円$C_n$と円$C_{n+1}$の共有点$(x_n,\ y_n)$の座標を求めよ.
(4)円$C_1,\ C_2,\ C_3$と放物線$P$の概形を描け.
岐阜大学 国立 岐阜大学 2016年 第2問
$\alpha,\ \beta,\ a,\ b,\ c,\ d$を実数とする.以下の問に答えよ.

(1)「すべての実数$x$について$x^2+\alpha x+\beta>0$である」が成り立つための$\alpha,\ \beta$に関する条件を求めよ.
(2)「すべての実数$y$について$ay+b<0$である」が成り立つための$a,\ b$に関する条件を求めよ.
(3)「すべての実数$x,\ y$について$x^2+4xy+4y^2+5x+cy+d>0$である」が成り立つための$c,\ d$に関する条件を求めよ.
岐阜大学 国立 岐阜大学 2016年 第4問
$n$を正の整数とする.$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k \cdot 2^k}$とおく.以下の問に答えよ.ただし,$\log$は自然対数を表す.

(1)$\displaystyle 1+x+x^2+\cdots +x^{n-1}=\frac{1}{1-x}-\frac{x^n}{1-x}$を数学的帰納法を用いて証明せよ.ただし,$x \neq 1$とする.

(2)$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} (1+x+x^2+\cdots +x^{n-1}) \, dx=\log 2-\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1-x} \, dx$を示せ.

(3)$\displaystyle S_n=\log 2-\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1-x} \, dx$を示せ.

(4)$\displaystyle 0 \leqq \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1-x} \, dx \leqq \frac{1}{2^n} \log 2$を示せ.

(5)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n=\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 2^2}+\frac{1}{3 \cdot 2^3}+\cdots$の値を求めよ.
富山大学 国立 富山大学 2016年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$の値を求めよ.

(2)$3$以上の整数$n$に対して,不等式
\[ \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^n}} \, dx<\frac{\pi}{6} \]
が成り立つことを示せ.
室蘭工業大学 国立 室蘭工業大学 2016年 第1問
$a,\ b,\ c$を定数とし,$a \neq 0$とする.関数$f(x)$を
\[ f(x)=ax^2+bx+c \]
と定める.放物線$y=f(x)$の頂点の$x$座標を$x=1$とする.また,放物線$y=f(x)$と直線$y=x$の交点の$x$座標を$x=2$と$x=-3$とする.

(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ.
(2)放物線$y=f(x)$と関数$y=|x|$のグラフの交点をすべて求めよ.
(3)放物線$y=f(x)$と関数$y=|x|$のグラフで囲まれた図形の面積$S$を求めよ.
愛知教育大学 国立 愛知教育大学 2016年 第4問
$xy$平面において,点$(0,\ 2)$を中心とする半径$2$の円を$C$とする.また,放物線$y=ax^2$を$P$とする.ただし,$a$は正の実数とする.

(1)円$C$と放物線$P$との共有点が円$C$の円周の長さを$3$等分するとき,$a$の値を求めよ.
(2)$a$の値を$(1)$で求めたものとする.このとき,円$C$と放物線$P$により囲まれてできる図形のうち,点$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ \frac{3}{2} \right)$を内部に含む図形の面積を求めよ.
静岡大学 国立 静岡大学 2016年 第2問
楕円$\displaystyle \frac{x^2}{9}+y^2=1$を$C$とする.また,座標平面上の点$\mathrm{P}(v,\ w)$を通り,単位ベクトル$\overrightarrow{u}=(\alpha,\ \beta)$を方向ベクトルにもつ直線$\ell$の媒介変数$t$による表示を
\[ x=v+\alpha t,\quad y=w+\beta t \]
とする.直線$\ell$は$t=t_1,\ t_2$において楕円$C$とそれぞれ共有点$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$をもつとする.ただし,$\alpha>0$,$t_1 \leqq t_2$とする.このとき,次の各問に答えよ.

(1)$t_1+t_2$と$t_1t_2$を$v,\ w,\ \alpha,\ \beta$を用いてそれぞれ表せ.
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{PQ|}} \cdot |\overrightarrow{\mathrm{PR|}}$を$v,\ w,\ \alpha,\ \beta$を用いて表せ.
(3)$\alpha=\beta$のとき,$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{QR|}}=\frac{6}{5}$となる点$\mathrm{P}$の軌跡を座標平面上に図示せよ.
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「x^2」とは・・・

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