$a,\ b$は，$0<b<a$を満たす実数とする．曲線$y=e^x$上の点$(0,\ 1)$における接線$\ell_1$の方程式を$y=f(x)$，点$(a,\ e^a)$における接線$\ell_2$の方程式を$y=g(x)$とおく．また，$\ell_1$と$\ell_2$の交点の$x$座標を$p(a)$とする．連立不等式
\[ 0 \leqq x \leqq b,\quad f(x) \leqq y \leqq e^x \]
の表す領域の面積を$S_1$，連立不等式
\[ b \leqq x \leqq a,\quad g(x) \leqq y \leqq e^x \]
の表す領域の面積を$S_2$とし，$R=e^{-b}S_2$とおく．このとき，次の問いに答えよ．必要ならば，すべての自然数$k$に対して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^ke^{-x}=0$が成り立つことを用いてよい．

(1)$p(a)$を求めよ．
(2)$S_1$と$S_2$を求めよ．
(3)$t=a-b$とする．$R$を$t$のみの関数として表せ．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty} (a-p(a))$を求めよ．
(5)$b=p(a)$とする．このとき，極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{e^x-2}{e^x+2}$について，以下の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)極限$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)$をそれぞれ求めよ．
(2)導関数$f^\prime(x)$および第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$を$C$とするとき，$C$の変曲点の座標を求めよ．
(4)曲線$C$の変曲点における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(5)曲線$C$，$y$軸および接線$\ell$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$のとき，$\tan x=t$とおく．$\cos 2x$と$\displaystyle \frac{dx}{dt}$を$t$で表せ．

(2)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan x}{2-\cos 2x} \, dx$を求めよ．

(3)関数$\displaystyle y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$の逆関数を求めよ．

(4)$\displaystyle x=\frac{e^t-e^{-t}}{2}$とおくことにより，$\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$のとき，$\tan x=t$とおく．$\cos 2x$と$\displaystyle \frac{dx}{dt}$を$t$で表せ．

(2)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan x}{2-\cos 2x} \, dx$を求めよ．

(3)関数$\displaystyle y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$の逆関数を求めよ．

(4)$\displaystyle x=\frac{e^t-e^{-t}}{2}$とおくことにより，$\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)すべての実数$x$に対して
\[ f(x)=\sin \pi x+\int_0^1 tf(t) \, dt \]
が成り立つような関数$f(x)$を求めよ．
(2)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{\theta \to 0} \frac{\theta^3}{\tan \theta-\sin \theta} \]
(3)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} \]
(4)関数$f(x)=|x| (e^x+a)$は$x=0$において微分可能であるとする．このとき，定数$a$の値を求めよ．

関数$f(x)=e^{\sin x}(\sin 2x-2 \cos x)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx$の値を求めよ．

(2)$0 \leqq x<2\pi$における$f(x)$の最大値を求めよ．
(3)$x \geqq 0$のとき$(x^2+2x-2)e^x \geqq f(x)$が成り立つことを示せ．

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

(1)$1$から$13$までの整数が$1$つずつ書かれた$13$枚のカードの中から$3$枚を選ぶとき，偶数が書かれたカードが$2$枚以上含まれる選び方は$[あ]$通りであり，$11$以上の数が書かれたカードが少なくとも$1$枚含まれる選び方は$[い]$通りである．
(2)$\alpha=2+\sqrt{5}$とするとき，$\alpha$を解とし，整数を係数とする$2$次方程式$x^2+a_1x+b_1=0$を求めると$a_1=[う]$，$b_1=[え]$である．また自然数$n$に対して，$\alpha^n$を解とし，整数を係数とする$2$次方程式を$x^2+a_nx+b_n=0$とすると，$b_n=[お]$であり，$a_n^2+a_{2n}=[か]$である．
(3)実数$m$に対して
\[ A(m)=\int_0^1 x(e^x-m)^2 \, dx \]
とおくと，関数$A(m)$は$m=[き]$のとき最小値$[く]$をとる．

次の問いに答えなさい．

(1)次の連立不等式を解きなさい．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2+2x>1 \\
|x-1| \leqq 1
\end{array} \right. \]
(2)無限級数
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \sin \frac{n\pi}{2}=\frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{2}+\frac{1}{2^2} \sin \frac{2\pi}{2}+\frac{1}{2^3} \sin \frac{3\pi}{2}+\cdots \]
の和を求めなさい．
(3)関数$f(x)=e^x \cos x$の導関数$f^\prime(x)$を求めなさい．また，実数$\alpha,\ \beta$を使って，$f^\prime(x)=\alpha e^x \cos (x+\beta)$の形に表しなさい．ただし，$\alpha>0$，$0 \leqq \beta<2\pi$とする．

数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\int_0^1 |nx-1| e^x \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．次の各問に答えよ．

(1)$a_1,\ a_2$を求めよ．
(2)$a_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n}$を求めよ．

正の実数$a$に対して$\displaystyle f(a)=\int_{-a}^a \frac{e^x}{e^{2x}+3e^x+2} \, dx$とおく．

(1)$f(a)$を求めよ．
(2)極限$\displaystyle \lim_{a \to \infty} f(a)$を求めよ．