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慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2016年 第1問
次の$[ ]$にあてはまる最も適当な数または式などを記入しなさい.

(1)座標空間内の点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$,$\mathrm{B}(2,\ -1,\ -1)$,$\mathrm{C}(-1,\ -2,\ -4)$,$\mathrm{D}(3,\ 2,\ 6)$に対して,三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{M}$とし,三角形$\mathrm{ABD}$の重心を$\mathrm{N}$とする.このとき,点$\mathrm{M}$の座標は$[ア]$である.また,線分$\mathrm{MN}$を$4:3$に外分する点の座標は$[イ]$である.
(2)$\alpha=-1+2i$とする.$x=\alpha$が$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の解であるような実数の組$(a,\ b)$は$(a,\ b)=[ウ]$である.また$\alpha^5+2 \alpha^4+3 \alpha^3+4 \alpha^2+5 \alpha$の値は$[エ]$である.
(3)関数$f(x)$が$\displaystyle f(x)=2x^2+3x+\int_0^{\frac{1}{2}} f(t) \, dt$を満たすとき,$f(x)=[オ]$である.
(4)$3$個のさいころを同時に投げるとき,以下の確率を求めなさい.

(i) 出る目の最大値が$4$以下である確率は$[カ]$である.
(ii) 出る目の最大値が$4$である確率は$[キ]$である.
(iii) 出る目の最大値が$4$であるとき,少なくとも$1$個のさいころの目が$1$である確率は$[ク]$である.
徳島大学 国立 徳島大学 2012年 第1問
$\triangle \mathrm{ABC}$において,辺$\mathrm{AB}$を$4:3$に内分する点を$\mathrm{D}$,辺$\mathrm{AC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とする.また,線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とし,直線$\mathrm{AF}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{G}$とする.

(1)長さの比$\mathrm{BF}:\mathrm{FE}$を求めよ.
(2)長さの比$\mathrm{BG}:\mathrm{GC}$を求めよ.
(3)面積の比$\triangle \mathrm{EFC}: \triangle \mathrm{ABC}$を求めよ.
徳島大学 国立 徳島大学 2012年 第1問
$\triangle \mathrm{ABC}$において,辺$\mathrm{AB}$を$4:3$に内分する点を$\mathrm{D}$,辺$\mathrm{AC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とする.また,線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とし,直線$\mathrm{AF}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{G}$とする.

(1)長さの比$\mathrm{BF}:\mathrm{FE}$を求めよ.
(2)長さの比$\mathrm{BG}:\mathrm{GC}$を求めよ.
(3)面積の比$\triangle \mathrm{EFC}: \triangle \mathrm{ABC}$を求めよ.
上智大学 私立 上智大学 2012年 第1問
次の各問いに答えなさい.

(1)関数
\[ f(x) = 2\sqrt{3}\,\sin^2\frac{x}{2}-\sin x+a \quad (0 \leqq x \leqq \pi) \]
の最小値が$\sqrt{3}$であるとする.このとき,$a=[ア]$であり,$f(x)$が最小となるのは$x=\displaystyle\frac{\pi}{[イ]}$のときである.
(2) $n$を$5$以上の自然数とする.$1$以上$n$以下の自然数から互いに隣り合わない$2$つを選ぶ組合せは
\[ \frac{1}{[ウ]} \left( n- [エ]\right) \left( n- [オ] \right) \]
通りあり,どの$2$つも隣り合わない$3$つを選ぶ組合せは
\[ \frac{1}{[カ]} \left( n- [キ]\right) \left( n- [ク] \right) \left( n- [ケ] \right) \]
通りある.ただし,$[エ] < [オ], \quad [キ] < [ク] < [ケ]$とする.
(3)三角形$\mathrm{OAB}$において,辺$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{C}$,辺$\mathrm{OB}$を$4:3$に内分する点を$\mathrm{D}$とし,線分$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする.$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=s:(1-s)$,$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}=t:(1-t)$とするとき
\[ \displaystyle s=\frac{[コ]}{[サ]}, \quad t=\frac{[シ]}{[ス]} \]
である.また,$\mathrm{OP}$の延長と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OQ}} = \frac{[セ]}{[ソ]} \overrightarrow{\mathrm{OP}} \]
である.
福井大学 国立 福井大学 2010年 第1問
平面上に$\text{OA}=\text{OB}=1$である鋭角二等辺三角形OABがある.$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とし,$k=\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$とおく.点Aから辺OBに下ろした垂線とOBとの交点をMとし,Mから辺OAに下ろした垂線とOAとの交点をNとする.さらに,線分AMと線分BNの交点をPとするとき,以下の問いに答えよ.

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=s\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=t\overrightarrow{a}$を満たす実数$s,\ t$を$k$を用いて表せ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$k$を用いて表せ.
(3)Pが線分BNを$4:3$に内分するとき,$\triangle$OABは正三角形であることを示せ.
福井大学 国立 福井大学 2010年 第2問
平面上に$\text{OA}=\text{OB}=1$である鋭角二等辺三角形OABがある.$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とし,$k=\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$とおく.点Aから辺OBに下ろした垂線とOBとの交点をMとし,Mから辺OAに下ろした垂線とOAとの交点をNとする.さらに,線分AMと線分BNの交点をPとするとき,以下の問いに答えよ.

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=s\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=t\overrightarrow{a}$を満たす実数$s,\ t$を$k$を用いて表せ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$k$を用いて表せ.
(3)Pが線分BNを$4:3$に内分するとき,$\triangle$OABは正三角形であることを示せ.
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