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北海道薬科大学 私立 北海道薬科大学 2016年 第3問
食塩水が$100 \, \mathrm{g}$ある.これから$20 \, \mathrm{g}$を取って捨てた後に濃度が$10 \, \%$の食塩水を$20 \, \mathrm{g}$加える.食塩水の初めの濃度を$20 \, \%$として,この操作を$n$回($n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$)繰り返した後の食塩水に含まれる食塩の量を$x_n \, \mathrm{g}$とする.ただし,$\log_{10}2=0.3010$とする.

(1)$x_1$は$[アイ]$である.

(2)$\displaystyle x_{n+1}=\frac{[ウ]}{[エ]}x_n+[オ]$が成り立つ.この式を$x_{n+1}-p=q(x_n-p)$とおくと,定数$p,\ q$の値は
\[ p=[カキ],\quad q=\frac{[ク]}{[ケ]} \]
となる.これより
\[ x_n=[コサ]+[シス] \left( \frac{[セ]}{[ソ]} \right)^n \]
が得られる.
(3)食塩水の濃度を$11 \, \%$以下にするには,この操作を少なくとも$[タチ]$回繰り返す必要がある.
東京薬科大学 私立 東京薬科大学 2016年 第1問
次の問に答えよ.ただし,$*$については$+,\ -$の$1$つが入る.

(1)$x^2+5x+1=0$のとき,$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[$*$ア]$であり,$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[イウ]$である.

(2)$\displaystyle \frac{3}{2}\pi<\theta<2 \pi$かつ$\displaystyle \tan \theta=-\frac{12}{5}$のとき,$\displaystyle \cos \theta=\frac{[$*$エ]}{[オカ]}$,$\displaystyle \sin \theta=\frac{[$*$キク]}{[オカ]}$である.

(3)点$(4,\ 2)$を通り,傾きが$m$の直線$\ell$が,円$C:x^2+y^2=4$に接するとき,$\displaystyle m=[ケ]$,$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である.

(4)容器$\mathrm{A}$には質量パーセント濃度$3 \, \%$の食塩水が$200 \, \mathrm{g}$,容器$\mathrm{B}$には質量パーセント濃度$10 \, \%$の食塩水が$300 \, \mathrm{g}$入っている.今,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$それぞれから同量ずつ食塩水を取り出し,$\mathrm{A}$から取り出したものを$\mathrm{B}$へ,$\mathrm{B}$から取り出したものを$\mathrm{A}$へ入れたところ,$2$つの容器$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$内の食塩水の質量パーセント濃度が等しくなった.このとき,容器$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$それぞれから取り出した食塩水の量は$[シスセ] \, \mathrm{g}$である.ただし,質量パーセント濃度とは溶液(本問の場合,食塩水)の質量に対する溶質(本問の場合,食塩)の質量の割合を百分率($\%$)で表したものである.
京都薬科大学 私立 京都薬科大学 2013年 第3問
濃度$a \, \%$の食塩水$300 \, \mathrm{g}$が入っている容器$\mathrm{A}$と,濃度$b \, \%$の食塩水$400 \, \mathrm{g}$が入っている容器$\mathrm{B}$がある.$\mathrm{A}$より$100 \, \mathrm{g}$の食塩水をとってそれを$\mathrm{B}$に移し,よくかき混ぜた後に同量を$\mathrm{A}$に戻すとする.この操作を$n$回繰り返したときの$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の食塩水の濃度を求めたい.次の$[ ]$にあてはまる数または式を記入せよ.

(1)容器$\mathrm{A}$と容器$\mathrm{B}$に,最初にあった食塩の量の和は$[$*$] \mathrm{g}$である.
(2)$n (\geqq 1)$回の操作の後,容器$\mathrm{A}$の濃度が$x_n \, \%$,容器$\mathrm{B}$の濃度が$y_n \, \%$になっていたとする.$y_n$を$x_{n-1}$と$y_{n-1}$を用いて表すと,
\[ y_n=[ ] x_{n-1}+[ ] y_{n-1} \]
となる.また,$x_n$を$x_{n-1}$と$y_{n-1}$を用いて表すと,
\[ x_n=[ ] x_{n-1}+[ ] y_{n-1} \]
となる.
(3)食塩の量の和は一定であることに注意すると,
\[ [$* *$] x_n+[$***$] y_n=[$**$] x_{n-1}+[$***$] y_{n-1}=\cdots =[$*$] \]
(4)$(3)$で与えられた関係式を使って,数列$\{x_n\}$の漸化式をつくると,
\[ x_n=[ ] x_{n-1}+[ ] \]
となる.この漸化式を解くことによって,$x_n$を$a$と$b$および$n$を用いて表すと,
\[ x_n=[ ] \]
また,$y_n$を$a$と$b$および$n$を用いて表すと,
\[ y_n=[ ] \]
となる.
福島大学 国立 福島大学 2011年 第3問
以下の問いに答えなさい.

(1)2つの容器 A,Bがある.はじめAの容器には100gの純水が,Bの容器には濃度$s\,\%$の食塩水100gが入っている.Aの3分の1を捨て,捨てた量と同じ重さ(g)のBの食塩水をAの容器に移したのち,Aをよく混ぜる操作を考える.この操作を$k$回行った後のAの食塩水に含まれる食塩の重さ(g)を$w_k$とする$(k=1,\ 2,\ 3)$.$w_1,\ w_2,\ w_3$を$s$を用いて表しなさい.
(2)上記(1)の操作の後,A,Bの溶液を捨て,改めてAの容器には100gの純水を,Bの容器には濃度$s\,\%$の食塩水100gを入れる.自然数$n$について,Aの$n$分の1を捨て,捨てた量と同じ重さ(g)のBの食塩水をAの容器に移したのちAをよく混ぜる操作を考える.この操作を$k$回行った後のAの濃度を$a_k\ (\%)$とする$(1 \leqq k \leqq n)$.$1 \leqq k \leqq n-1$のとき,$a_{k+1}$と$a_k$との関係を$s$と$n$を用いて表しなさい.さらに$a_n$を求めなさい.
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