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国立 豊橋技術科学大学 2016年 第1問\begin{mawarikomi}{50mm}{（図は省略）}
$1$辺の長さが$a$の正方形$\mathrm{S}_1$に内接する円を描き，この円に内接する正方形$\mathrm{S}_2$を描いて，正方形$\mathrm{S}_1$から正方形$\mathrm{S}_2$を除いた領域$\mathrm{B}_1$を黒く塗る．次に正方形$\mathrm{S}_2$に内接する円を描き，この円に内接する正方形$\mathrm{S}_3$を描いて，正方形$\mathrm{S}_2$から正方形$\mathrm{S}_3$を除いた領域$\mathrm{W}_1$を白く塗る．同様に$m$番目の正方形$\mathrm{S}_m$の内接円に内接する正方形$\mathrm{S}_{m+1}$を描き，正方形$\mathrm{S}_m$から正方形$\mathrm{S}_{m+1}$を除いた領域を黒，白，黒，白と交互に塗ることを繰り返す．ただし，$m$は自然数であるとする．以下の問いに答えよ．
\end{mawarikomi}
(1)$\mathrm{S}_1$から$\mathrm{S}_2$を除いた黒い領域$\mathrm{B}_1$の面積を$a$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{S}_2$から$\mathrm{S}_3$を除いた白い領域$\mathrm{W}_1$の面積を$a$を用いて表せ．
(3)$1$番目の黒い領域$\mathrm{B}_1$から$n$番目の黒い領域$\mathrm{B}_n$までの面積の和を$a$と$n$を用いて表せ．ただし，$n$は自然数であるとする．
(4)黒い領域$\mathrm{B}_1$から$\mathrm{B}_n$までの面積の和において，$n \to \infty$としたときの極限$P$を$a$を用いて表せ．
(5)$1$番目の白い領域$\mathrm{W}_1$から$n$番目の白い領域$\mathrm{W}_n$までの面積の和を求め，$n \to \infty$としたときの極限$Q$を$a$を用いて表せ．次に$\displaystyle \frac{P}{Q}$の値を求めよ．
$1$辺の長さが$a$の正方形$\mathrm{S}_1$に内接する円を描き，この円に内接する正方形$\mathrm{S}_2$を描いて，正方形$\mathrm{S}_1$から正方形$\mathrm{S}_2$を除いた領域$\mathrm{B}_1$を黒く塗る．次に正方形$\mathrm{S}_2$に内接する円を描き，この円に内接する正方形$\mathrm{S}_3$を描いて，正方形$\mathrm{S}_2$から正方形$\mathrm{S}_3$を除いた領域$\mathrm{W}_1$を白く塗る．同様に$m$番目の正方形$\mathrm{S}_m$の内接円に内接する正方形$\mathrm{S}_{m+1}$を描き，正方形$\mathrm{S}_m$から正方形$\mathrm{S}_{m+1}$を除いた領域を黒，白，黒，白と交互に塗ることを繰り返す．ただし，$m$は自然数であるとする．以下の問いに答えよ．
\end{mawarikomi}
(1)$\mathrm{S}_1$から$\mathrm{S}_2$を除いた黒い領域$\mathrm{B}_1$の面積を$a$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{S}_2$から$\mathrm{S}_3$を除いた白い領域$\mathrm{W}_1$の面積を$a$を用いて表せ．
(3)$1$番目の黒い領域$\mathrm{B}_1$から$n$番目の黒い領域$\mathrm{B}_n$までの面積の和を$a$と$n$を用いて表せ．ただし，$n$は自然数であるとする．
(4)黒い領域$\mathrm{B}_1$から$\mathrm{B}_n$までの面積の和において，$n \to \infty$としたときの極限$P$を$a$を用いて表せ．
(5)$1$番目の白い領域$\mathrm{W}_1$から$n$番目の白い領域$\mathrm{W}_n$までの面積の和を求め，$n \to \infty$としたときの極限$Q$を$a$を用いて表せ．次に$\displaystyle \frac{P}{Q}$の値を求めよ．
国立 茨城大学 2016年 第2問以下の各問に答えよ．
(1)不等式$\log_x y>0$の表す領域を座標平面上に図示せよ．
(2)不等式$\log_y x<\log_x y$の表す領域を座標平面上に図示せよ．
(1)不等式$\log_x y>0$の表す領域を座標平面上に図示せよ．
(2)不等式$\log_y x<\log_x y$の表す領域を座標平面上に図示せよ．
国立 山形大学 2016年 第4問$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=2$，$\displaystyle \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{2}$とする$\triangle \mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{E}$をとり，$\mathrm{E}$から辺$\mathrm{AB}$に垂線$\mathrm{EF}$を下ろし，$\mathrm{EF}=\mathrm{AF}=x (0<x \leqq 2)$とする．また，線分$\mathrm{AF}$の$\mathrm{F}$を越える延長上に$\mathrm{AG}=2 \mathrm{AF}$となる点$\mathrm{G}$をとる．$\mathrm{EF}$，$\mathrm{FG}$を$2$辺とする正方形$\mathrm{EFGH}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の共通部分の面積を$S(x)$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$S(x)$を求めよ．
(2)$xy$平面において，連立不等式$0 \leqq y \leqq S(x)$，$\displaystyle x \geqq \frac{1}{2}$の表す領域$D$を考える．点$(1,\ 1)$を通り，$D$の面積を二等分する直線を$\ell$とする．
(i) $D$の面積を求めよ．
(ii) 直線$\ell$の方程式を求めよ．
(1)$S(x)$を求めよ．
(2)$xy$平面において，連立不等式$0 \leqq y \leqq S(x)$，$\displaystyle x \geqq \frac{1}{2}$の表す領域$D$を考える．点$(1,\ 1)$を通り，$D$の面積を二等分する直線を$\ell$とする．
(i) $D$の面積を求めよ．
(ii) 直線$\ell$の方程式を求めよ．
国立 富山大学 2016年 第3問曲線$C_1:y=x^3-x$と曲線$C_2:y=(x-\alpha)^3-(x-\alpha)+\beta$が，ちょうど$2$つの点を共有しているとする．ただし，$\alpha,\ \beta$は実数である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\alpha,\ \beta$が満たす条件を求めよ．
(2)$\alpha,\ \beta$が$(1)$の条件を満たすとき，点$(\alpha,\ \beta)$が存在する領域を図示せよ．
(1)$\alpha,\ \beta$が満たす条件を求めよ．
(2)$\alpha,\ \beta$が$(1)$の条件を満たすとき，点$(\alpha,\ \beta)$が存在する領域を図示せよ．
国立 茨城大学 2016年 第3問$n$を正の整数とする．座標平面上において，連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq x^2 \\
y \leqq x+n(n+1)
\end{array} \right. \]
の表す領域を$D$とする．次の各問に答えよ．
(1)領域$D$内の，$x$座標と$y$座標がともに整数である点のうち，$x$座標が正であるものの個数$M$を$n$を用いて表せ．
(2)領域$D$内の，$x$座標と$y$座標がともに整数である点のうち，$x$座標が負であるものの個数を$N$とする．$(1)$で求めた$M$に対して$M-N \geqq 1000$となるような最小の$n$を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq x^2 \\
y \leqq x+n(n+1)
\end{array} \right. \]
の表す領域を$D$とする．次の各問に答えよ．
(1)領域$D$内の，$x$座標と$y$座標がともに整数である点のうち，$x$座標が正であるものの個数$M$を$n$を用いて表せ．
(2)領域$D$内の，$x$座標と$y$座標がともに整数である点のうち，$x$座標が負であるものの個数を$N$とする．$(1)$で求めた$M$に対して$M-N \geqq 1000$となるような最小の$n$を求めよ．
国立 東京海洋大学 2016年 第2問連立不等式
\[ y \geqq 0,\quad x^2+y^2 \leqq 1,\quad y \geqq 6x^2-4 \]
の表す$xy$平面上の領域を$D$とするとき，次の問に答えよ．
(1)領域$D$を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき$y-x$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$D$の面積を求めよ．
\[ y \geqq 0,\quad x^2+y^2 \leqq 1,\quad y \geqq 6x^2-4 \]
の表す$xy$平面上の領域を$D$とするとき，次の問に答えよ．
(1)領域$D$を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき$y-x$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$D$の面積を求めよ．
国立 東京海洋大学 2016年 第5問$t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，$xy$平面上の$2$点$\mathrm{P}(t,\ t)$，$\mathrm{Q}(t-1,\ 1-t)$を結ぶ線分$\mathrm{PQ}$の通過する領域を$D$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$D$を図示せよ．
(2)$D$の面積を求めよ．
(1)$D$を図示せよ．
(2)$D$の面積を求めよ．
私立 早稲田大学 2016年 第1問次の問に答えよ．
(1)直線$-2x+4y+5=0$を$\ell$とする．点$\mathrm{A}(2,\ 4)$を通り，直線$\ell$に垂直な直線を$m$とし，同じく点$\mathrm{A}$を通り，$x$軸に平行な直線を$n$とする．直線$\ell$と直線$m$の交点を$\mathrm{B}$とし，直線$\ell$と直線$n$の交点を$\mathrm{C}$とするとき，次の各問いに答えよ．
(i) 点$\mathrm{B}$の座標は$([ア],\ [イ])$である．
(ii) 線分$\mathrm{AB}$の長さは$[ウ]$である．
(iii) 直線$\ell$上で線分$\mathrm{CB}$を$2:1$に外分する点を$\mathrm{D}$とし，直線$m$上で線分$\mathrm{AB}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{E}$とするとき，四角形$\mathrm{ACED}$の面積は$[エ]$である．
(2)座標平面上に定点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$と$\mathrm{B}(1,\ 0)$が与えられているとし，動点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は，それぞれ$\mathrm{A}$および$\mathrm{B}$とは一致しないところを動くものとするとき，次の各問いに答えよ．
(i) 点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$\angle \mathrm{APB}={90}^\circ$を満たすように動くとき，点$\mathrm{P}$の$y$座標の最大値は$[オ]$である．
(ii) 点$\mathrm{Q}(x,\ y)$が$\angle \mathrm{AQB}={120}^\circ$を満たすように動くとき，点$\mathrm{Q}$の$y$座標の最大値は$[カ]$であり，また，点$\mathrm{Q}$が動いてできる曲線に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を付け加えた曲線を$C$とすると，曲線$C$が囲む部分の面積は$[キ]$である．
(3)$a$を正の実数とし，$\displaystyle a \neq \frac{1}{2}$であるとする．曲線$C:y=x^2-2x$上の$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を考える．点$\mathrm{P}$の座標を$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ -\frac{3}{4} \right)$とし，点$\mathrm{Q}$の座標を$(a+1,\ a^2-1)$とする．点$\mathrm{P}$を通り$\mathrm{P}$における$C$の接線に直交する直線を$\ell$とし，点$\mathrm{Q}$を通り$\mathrm{Q}$における$C$の接線に直交する直線を$m$とする．$2$直線$\ell$と$m$の交点が曲線$C$上にあるとき，次の各問いに答えよ．
(i) $a$の値は$[ク]$である．
(ii) $2$直線$\ell$，$m$と曲線$C$とで囲まれた領域で$x \geqq 0$を満たす部分の面積は$[ケ]$である．
(1)直線$-2x+4y+5=0$を$\ell$とする．点$\mathrm{A}(2,\ 4)$を通り，直線$\ell$に垂直な直線を$m$とし，同じく点$\mathrm{A}$を通り，$x$軸に平行な直線を$n$とする．直線$\ell$と直線$m$の交点を$\mathrm{B}$とし，直線$\ell$と直線$n$の交点を$\mathrm{C}$とするとき，次の各問いに答えよ．
(i) 点$\mathrm{B}$の座標は$([ア],\ [イ])$である．
(ii) 線分$\mathrm{AB}$の長さは$[ウ]$である．
(iii) 直線$\ell$上で線分$\mathrm{CB}$を$2:1$に外分する点を$\mathrm{D}$とし，直線$m$上で線分$\mathrm{AB}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{E}$とするとき，四角形$\mathrm{ACED}$の面積は$[エ]$である．
(2)座標平面上に定点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$と$\mathrm{B}(1,\ 0)$が与えられているとし，動点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は，それぞれ$\mathrm{A}$および$\mathrm{B}$とは一致しないところを動くものとするとき，次の各問いに答えよ．
(i) 点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$\angle \mathrm{APB}={90}^\circ$を満たすように動くとき，点$\mathrm{P}$の$y$座標の最大値は$[オ]$である．
(ii) 点$\mathrm{Q}(x,\ y)$が$\angle \mathrm{AQB}={120}^\circ$を満たすように動くとき，点$\mathrm{Q}$の$y$座標の最大値は$[カ]$であり，また，点$\mathrm{Q}$が動いてできる曲線に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を付け加えた曲線を$C$とすると，曲線$C$が囲む部分の面積は$[キ]$である．
(3)$a$を正の実数とし，$\displaystyle a \neq \frac{1}{2}$であるとする．曲線$C:y=x^2-2x$上の$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を考える．点$\mathrm{P}$の座標を$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ -\frac{3}{4} \right)$とし，点$\mathrm{Q}$の座標を$(a+1,\ a^2-1)$とする．点$\mathrm{P}$を通り$\mathrm{P}$における$C$の接線に直交する直線を$\ell$とし，点$\mathrm{Q}$を通り$\mathrm{Q}$における$C$の接線に直交する直線を$m$とする．$2$直線$\ell$と$m$の交点が曲線$C$上にあるとき，次の各問いに答えよ．
(i) $a$の値は$[ク]$である．
(ii) $2$直線$\ell$，$m$と曲線$C$とで囲まれた領域で$x \geqq 0$を満たす部分の面積は$[ケ]$である．
私立 学習院大学 2016年 第4問連立不等式
\[ 2x-y-2 \geqq 0,\quad x \leqq \frac{5}{2},\quad y \geqq 1 \]
の表す領域を$D$とする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$\displaystyle \frac{y}{x^2}$の最大値と最小値を求めよ．また，それぞれの値を与える点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
\[ 2x-y-2 \geqq 0,\quad x \leqq \frac{5}{2},\quad y \geqq 1 \]
の表す領域を$D$とする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$\displaystyle \frac{y}{x^2}$の最大値と最小値を求めよ．また，それぞれの値を与える点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
私立 東北学院大学 2016年 第2問不等式
\[ x^2+y^2-2x-2y+1 \leqq 0 \]
の表す領域を$A$とし，不等式
\[ \log_{10}(y-1)-2 \log_{10}|x-1| \geqq 0 \]
で表される領域を$B$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$A$を図示せよ．
(2)$B$を図示せよ．
(3)点$(x,\ y)$が$A$と$B$の共通部分$A \cap B$を動くとき，$x+y$の最大値および最小値を求めよ．
\[ x^2+y^2-2x-2y+1 \leqq 0 \]
の表す領域を$A$とし，不等式
\[ \log_{10}(y-1)-2 \log_{10}|x-1| \geqq 0 \]
で表される領域を$B$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$A$を図示せよ．
(2)$B$を図示せよ．
(3)点$(x,\ y)$が$A$と$B$の共通部分$A \cap B$を動くとき，$x+y$の最大値および最小値を求めよ．