つぎの連立不等式の表す領域を$D$とする．
\[ x^2+y^2-1 \leqq 0,\quad 5x+5y+1 \geqq 0 \]
つぎの問いに答えなさい．

(1)領域$D$を図示しなさい．
(2)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が，この領域$D$内を動くとき，$x+\sqrt{3}y$の最大値および最小値を求めなさい．

$f(x)=x^2+x+1$とおく．曲線$y=f(x)$に原点から引いた接線の方程式を$y=mx$，$y=m^\prime x (m<m^\prime)$とおく．また，それぞれの接点の$x$座標を$c,\ c^\prime$とおく．このとき，$c<0<c^\prime$である．実数$a$に対して連立不等式
\[ y \leqq f(x),\quad y \geqq mx,\quad y \geqq m^\prime x,\quad a \leqq x \leqq a+1 \]
の表す領域の面積を$S(a)$で表す．このとき，次の問に答えよ．

(1)定数$m,\ m^\prime,\ c,\ c^\prime$を求めよ．
(2)$0<a \leqq c^\prime$のとき，$S(a)$を求めよ．
(3)$c \leqq a \leqq 0$のとき，$S(a)$を求めよ．
(4)$c \leqq a \leqq c^\prime$のとき，$S(a)$の最大値と最小値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{OAB}$に対し，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}},\quad s \geqq 0,\quad t \geqq 0 \]
とする．また，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S$とする．

(i) $1 \leqq s+t \leqq 3$のとき，点$\mathrm{P}$の存在しうる領域の面積は$S$の$[ア]$倍である．
(ii) $1 \leqq s+2t \leqq 3$のとき，点$\mathrm{P}$の存在しうる領域の面積は$S$の$[イ]$倍である．

(2)$(\sqrt{2})^n$は$n$が奇数のとき無理数である．より一般に，$2$以上の整数$k$に対し，$(\sqrt[k]{2})^n$は$n$が$k$の倍数でないとき無理数である．したがって，$2$以上の整数$k$に対し，
\[ \left( \sqrt{2}x+\sqrt[k]{2} \right)^{100} \]
を展開して得られる$x$の多項式において，

(i) $x^{100}$の係数は$2$の$[ウ]$乗，
(ii) $n=0,\ 1,\ \cdots,\ 100$に対し，$x^n$の係数が整数となるような$n$の個数は

$k=2$のとき$[エ]$個
$k=3$のとき$[オ]$個
$k=5$のとき$[カ]$個
$k=7$のとき$[キ]$個
$k=51$のとき$[ク]$個

である．

$xy$平面上で次の不等式の表す領域を$D$とする．
\[ \log_2(2y+1)-1 \leqq \log_2x \leqq 2+\log_2y \leqq \log_2x+\log_2(4-2x) \]

(1)$D$は次の不等式
\[ x \leqq [ケ]y \leqq [コ]x^2+[サ]x \]
および
\[ y \leqq [シ]x+\frac{[ス]}{[セ]} \]
により定まる領域である．

(2)$D$の面積は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ]}$である．

(3)$s<1$とし，点$(x,\ y)$が$D$上を動くとき，$y-sx$の最大値を$f(s)$とする．

(i) $[チ] \leqq s<1$のとき，$\displaystyle f(s)=[ツ]s+\frac{[テ]}{[ト]}$
(ii) $\displaystyle \frac{[ナ]}{[ニ]} \leqq s<[チ]$のとき，
\[ f(s)=\frac{[ヌ]}{[ネ]}s^2+[ノ]s+\frac{[ハ]}{[ヒ]} \]
(iii) $\displaystyle s<\frac{[ナ]}{[ニ]}$のとき，$\displaystyle f(s)=\frac{[フ]}{[ヘ]}s+\frac{[ホ]}{[マ]}$である．

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

$xy$平面上で点$\mathrm{P}$は$x$軸上に，点$\mathrm{Q}$は$y$軸上に置かれ，点$\mathrm{P}$の$x$座標と点$\mathrm{Q}$の$y$座標はそれぞれ$-2$以上$2$以下の整数であるとする．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$に対して次の操作を考える．
\begin{screen}
{\bf 操作} \\
点$\mathrm{P}$の座標が$(i,\ 0)$，点$\mathrm{Q}$の座標が$(0,\ j)$であるとき次の規則に従って$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を互いに独立に同時に処理する．

\mon[$(\mathrm{P}1)$] $-1 \leqq i \leqq 1$ならば点$\mathrm{P}$を$(i+1,\ 0)$または$(i-1,\ 0)$のどちらかに確率$\displaystyle \frac{1}{2}$ずつで移す．
\mon[$(\mathrm{P}2)$] $i=-2$ならば点$\mathrm{P}$を必ず$(-1,\ 0)$に移す．
\mon[$(\mathrm{P}3)$] $i=2$ならば点$\mathrm{P}$をそのままにしておく．
\mon[$(\mathrm{Q}1)$] $-1 \leqq j \leqq 1$ならば点$\mathrm{Q}$を$(0,\ j+1)$または$(0,\ j-1)$のどちらかに確率$\displaystyle \frac{1}{2}$ずつで移す．
\mon[$(\mathrm{Q}2)$] $j=-2$ならば点$\mathrm{Q}$を必ず$(0,\ -1)$に移す．
\mon[$(\mathrm{Q}3)$] $j=2$ならば点$\mathrm{Q}$をそのままにしておく．

\end{screen}
さて，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がともに$(0,\ 0)$に置かれている状態から始め，上の操作を$3$回繰り返し行う．

(1)$3$回の操作の後，点$\mathrm{P}$が$(1,\ 0)$に置かれている確率は$[あ]$であり，$(-1,\ 0)$に置かれている確率は$[い]$である．
(2)$xy$平面上で不等式$y>x$の表す領域を$A$，不等式$y>-x$の表す領域を$B$とする．各回の操作後に点$\mathrm{P}$が常に$A \cup B$内に置かれているという事象を$U$とし，各回の操作後に点$\mathrm{Q}$が常に$A \cup B$内に置かれているという事象を$V$とすると，事象$U \cup V$の確率は$[う]$である．
$xy$平面上で$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を結ぶ線分の長さを$\mathrm{PQ}$とする．ただし$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がともに$(0,\ 0)$に置かれている場合は$\mathrm{PQ}=0$とする．
(3)$3$回の操作を通じてちょうど$1$回だけ$\mathrm{PQ}=\sqrt{2}$となる確率は$[え]$である．
(4)$3$回の操作を通じた$\mathrm{PQ}$の最大値の期待値は$[お]$である．

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．ただし$(2)$において，適切な$t$の値が複数個ある場合は，それらをすべて記入しなさい．

放物線$y=x^2$を$C$とする．$C$上に点$\mathrm{P}(-1,\ 1)$をとり，$\mathrm{P}$における$C$の法線と$C$との交点のうち，$\mathrm{P}$と異なるものを$\mathrm{Q}$とする．また$t$を実数として，点$\mathrm{P}$をとおって傾きが$t$の直線を$\ell_1$とし，点$\mathrm{Q}$をとおって$\ell_1$と直交する直線を$\ell_2$とする．$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{R}$とする．

(1)点$\mathrm{Q}$の座標は$([あ],\ [い])$である．
(2)点$\mathrm{R}$が点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$と異なるように$t$を変化させるときの$\triangle \mathrm{PQR}$の面積の最大値は$[う]$である．また$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を最大にする$t$の値をすべて求めると$t=[え]$である．
(3)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とは異なる$C$上の点$\mathrm{T}(u,\ u^2)$を考える．$\overrightarrow{\mathrm{TP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{TQ}}<0$となるような$u$の範囲は
\[ [お]<u<[か] \]
である．
(4)点$\mathrm{R}$が，不等式$y<x^2$の表す領域に入るような$t$の範囲は
\[ [き]<t<[く] \]
である．

連立不等式
\setstretch{2}
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x+2y \leqq 2 \\
-x+2y \leqq 2 \\
x^2-y \leqq 4
\end{array} \right. \]
\setstretch{1.3}
の表す領域を$D$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$D$を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$x+y$の最大値と，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(3)点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$|x+y|$の最大値と，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．

$k$を正の定数とし，$x,\ y$を実数とする．

(1)不等式$|y| \leqq -x^2+1$の表す領域を図示せよ．
(2)$k=1$のとき，不等式$|x|+|y| \leqq k$の表す領域を図示せよ．
(3)命題「$|y| \leqq -x^2+1$ならば$|x|+|y| \leqq k$」が真であるための必要十分条件を$k$の不等式を用いて表せ．

連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2-2x+y^2 \leqq 24 \\
x+2y \geqq 3
\end{array} \right. \]
の表す領域を図示し，点$(x,\ y)$がこの領域を動くとき，$4x+3y$の最大値と最小値を求めよ．

関数$y=1-x^2$，$y=4+3x-x^2$を考える．このとき，次の問に答えなさい．

(1)不等式$0 \leqq y \leqq 1-x^2$で表される領域の面積は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$である．また，不等式
\[ y \geqq 1-x^2,\quad y \leqq 4+3x-x^2,\quad y \geqq 0 \]
で表される領域の面積は$\displaystyle \frac{[ウエ]}{[オ]}$である．
(2)曲線$y=1-x^2$上の点$\mathrm{P}(k,\ 1-k^2)$における接線を$\ell$とおく．このとき接線$\ell$が曲線$y=4+3x-x^2$と異なる$2$点で交わるような$k$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[カキ]}{[ク]}<k$である．また，このとき交点の$x$座標の値を$\alpha$，$\beta$とおくと
\[ \alpha+\beta=[ケ]+[コ]k,\quad \alpha\beta=[サシ]+k^{[ス]} \]
である．
(3)接線$\ell$と曲線$y=4+3x-x^2$で囲まれる領域の面積が$\displaystyle \frac{125}{6}$となる$k$の値は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ]}$である．