次の問いに答えよ．
(1) $\triangle \mathrm{OAB}$に対し， \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}},\quad s \geqq 0,\quad t \geqq 0 \] とする．また，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S$とする．
(ⅰ) $1 \leqq s+t \leqq 3$のとき，点$\mathrm{P}$の存在しうる領域の面積は$S$の$\fbox{ア}$倍である．
(ⅱ) $1 \leqq s+2t \leqq 3$のとき，点$\mathrm{P}$の存在しうる領域の面積は$S$の$\fbox{イ}$倍である．
(2) $(\sqrt{2})^n$は$n$が奇数のとき無理数である．より一般に，$2$以上の整数$k$に対し，$(\sqrt[k]{2})^n$は$n$が$k$の倍数でないとき無理数である．したがって，$2$以上の整数$k$に対し， \[ \left( \sqrt{2}x+\sqrt[k]{2} \right)^{100} \] を展開して得られる$x$の多項式において，
(ⅰ) $x^{100}$の係数は$2$の$\fbox{ウ}$乗，
(ⅱ) $n=0,\ 1,\ \cdots,\ 100$に対し，$x^n$の係数が整数となるような$n$の個数は
$k=2$のとき$\fbox{エ}$個
$k=3$のとき$\fbox{オ}$個
$k=5$のとき$\fbox{カ}$個
$k=7$のとき$\fbox{キ}$個
$k=51$のとき$\fbox{ク}$個
である．