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私立 西南学院大学 2013年 第5問直線$y=x$と放物線$C:y=x^2-x$で囲まれる領域の面積を$S$とする．以下の問に答えよ．
(1)直線$y=ax$（ただし$a>-1$）と$C$で囲まれる領域の面積が$\displaystyle \frac{S}{2}$となるとき，$a$の値を求めよ．
(2)直線$y=ax$（ただし$a>-1$）と$C$で囲まれる領域の面積を$\displaystyle \frac{S}{k}$とする．$a$が負となるような最小の自然数$k$を求めよ．
(3)原点を通る$9$本の直線が$S$を$10$等分するとき，それらの直線の傾きを大きい方から$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{9}$とする．このとき，$a_7$を求めよ．
(1)直線$y=ax$（ただし$a>-1$）と$C$で囲まれる領域の面積が$\displaystyle \frac{S}{2}$となるとき，$a$の値を求めよ．
(2)直線$y=ax$（ただし$a>-1$）と$C$で囲まれる領域の面積を$\displaystyle \frac{S}{k}$とする．$a$が負となるような最小の自然数$k$を求めよ．
(3)原点を通る$9$本の直線が$S$を$10$等分するとき，それらの直線の傾きを大きい方から$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{9}$とする．このとき，$a_7$を求めよ．
私立 西南学院大学 2013年 第5問以下の問に答えよ．
(1)$y=x^2-4x+2$で表されるグラフを$G$とする．$G$と直線$y=x-2$の共有点の座標を求めよ．また，$G$と直線$y=-x+2$の共有点の座標を求めよ．
(2)次の連立不等式の表す領域を図示せよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \leqq 2 \\
y \geqq x^2-4x+2 \\
(x+y-2)(x-y-2) \geqq 0
\end{array} \right. \]
(3)$(2)$の表す領域の面積を求めよ．
(1)$y=x^2-4x+2$で表されるグラフを$G$とする．$G$と直線$y=x-2$の共有点の座標を求めよ．また，$G$と直線$y=-x+2$の共有点の座標を求めよ．
(2)次の連立不等式の表す領域を図示せよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \leqq 2 \\
y \geqq x^2-4x+2 \\
(x+y-2)(x-y-2) \geqq 0
\end{array} \right. \]
(3)$(2)$の表す領域の面積を求めよ．
私立 学習院大学 2013年 第4問次の問いに答えよ．
(1)$x>0$のとき，$1+2 \sin x<x+e^x$が成り立つことを示せ．
(2)$x \geqq 0$の範囲にあって，$2$つの曲線$y=1+2 \sin x,\ y=x+e^x$と直線$x=\pi$とで囲まれる領域を$x$軸のまわりに$1$回転して得られる立体の体積を求めよ．
(1)$x>0$のとき，$1+2 \sin x<x+e^x$が成り立つことを示せ．
(2)$x \geqq 0$の範囲にあって，$2$つの曲線$y=1+2 \sin x,\ y=x+e^x$と直線$x=\pi$とで囲まれる領域を$x$軸のまわりに$1$回転して得られる立体の体積を求めよ．
私立 京都産業大学 2013年 第2問以下の$[ ]$にあてはまる式または数値を入れよ．
$xy$平面を考える．大小$2$個のさいころを投げて，大のさいころの目の数を$x$座標，小のさいころの目の数を$y$座標とする点を$\mathrm{P}$とする．もう一度，大小$2$個のさいころを投げて，大のさいころの目の数を$x$座標，小のさいころの目の数を$y$座標とする点を$\mathrm{Q}$とする．
(1)点$\mathrm{P}$が直線$\ell:y=x$上にある確率は$[ア]$である．
(2)点$\mathrm{P}$が不等式$y>x$で表される領域にある確率は$[イ]$である．
(3)点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が異なる確率は$[ウ]$である．
(4)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がどちらも直線$\ell:y=x$上になく，かつ線分$\mathrm{PQ}$が$\ell$と共有点をもつ確率は$[エ]$である．
(5)線分$\mathrm{PQ}$の長さが$1$である確率は$[オ]$である．
$xy$平面を考える．大小$2$個のさいころを投げて，大のさいころの目の数を$x$座標，小のさいころの目の数を$y$座標とする点を$\mathrm{P}$とする．もう一度，大小$2$個のさいころを投げて，大のさいころの目の数を$x$座標，小のさいころの目の数を$y$座標とする点を$\mathrm{Q}$とする．
(1)点$\mathrm{P}$が直線$\ell:y=x$上にある確率は$[ア]$である．
(2)点$\mathrm{P}$が不等式$y>x$で表される領域にある確率は$[イ]$である．
(3)点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が異なる確率は$[ウ]$である．
(4)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がどちらも直線$\ell:y=x$上になく，かつ線分$\mathrm{PQ}$が$\ell$と共有点をもつ確率は$[エ]$である．
(5)線分$\mathrm{PQ}$の長さが$1$である確率は$[オ]$である．
私立 学習院大学 2013年 第4問$3$つの実数$x,\ y,\ 12-x^2$を$3$辺の長さとする三角形が描けるような点$\mathrm{P}(x,\ y)$が存在する領域を平面上に図示せよ．また，その領域の面積を求めよ．
私立 津田塾大学 2013年 第3問関数$y=|(x+1)(x-2)|$のグラフと直線$y=ax+b$が$4$個の異なる共有点をもつとする．このとき，点$\mathrm{P}(a,\ b)$の存在する領域を図示し，その面積を求めよ．
私立 北里大学 2013年 第1問次の$[ ]$にあてはまる答を記せ．ただし，$(5)$において，必要ならば$\log_{10}2=0.3010$を用いてよい．
(1)$\mathrm{OA}:\mathrm{OB}=1:3$である三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OM}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{N}$とし，$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを$\theta$とする．
(i) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{NA}}$を表すと，$\overrightarrow{\mathrm{NA}}=[ ] \overrightarrow{a}-[ ] \overrightarrow{b}$である．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{ON}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NA}}$が垂直であるとき，$\cos \theta$の値は$[ ]$である．
(2)$(x+2y+3z)^6$の展開式における$x^4y^2$の係数は$[ ]$であり，$x^3y^2z$の係数は$[ ]$である．
(3)点$(x,\ y)$が不等式$x^2+y^2 \leqq 4$の表す領域を動くとする．このとき，$3x+y$は，$x=[ ]$，$y=[ ]$において最大値$[ ]$をとり，$x=[ ]$，$y=[ ]$において最小値$[ ]$をとる．
(4)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$つの袋があり，$\mathrm{A}$には赤球$2$個と白球$2$個，$\mathrm{B}$には白球$1$個と青球$3$個，さらに，$\mathrm{C}$には赤球$2$個と白球$1$個と青球$1$個が入っている．いま，$\mathrm{A}$から$1$個の球を取り出し，$\mathrm{B}$から$1$個の球を取り出し，$\mathrm{C}$から$1$個の球を取り出す．
(i) 取り出した$3$個の球の色が$1$種類となる確率は$[ ]$である．
(ii) 取り出した$3$個の球の色が$2$種類となる確率は$[ ]$である．
(iii) 取り出した$3$個の球の色が$3$種類となる確率は$[ ]$である．
(5)条件$a_1=5$，$a_{n+1}=2a_n-3$によって定まる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[ ]$で与えられる．この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とおくとき，$S_8$の値は$[ ]$であり，不等式$\displaystyle \frac{S_n}{3}>n+16666$を満たす正の整数$n$のうちで最小のものは$[ ]$である．
(1)$\mathrm{OA}:\mathrm{OB}=1:3$である三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OM}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{N}$とし，$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを$\theta$とする．
(i) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{NA}}$を表すと，$\overrightarrow{\mathrm{NA}}=[ ] \overrightarrow{a}-[ ] \overrightarrow{b}$である．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{ON}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NA}}$が垂直であるとき，$\cos \theta$の値は$[ ]$である．
(2)$(x+2y+3z)^6$の展開式における$x^4y^2$の係数は$[ ]$であり，$x^3y^2z$の係数は$[ ]$である．
(3)点$(x,\ y)$が不等式$x^2+y^2 \leqq 4$の表す領域を動くとする．このとき，$3x+y$は，$x=[ ]$，$y=[ ]$において最大値$[ ]$をとり，$x=[ ]$，$y=[ ]$において最小値$[ ]$をとる．
(4)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$つの袋があり，$\mathrm{A}$には赤球$2$個と白球$2$個，$\mathrm{B}$には白球$1$個と青球$3$個，さらに，$\mathrm{C}$には赤球$2$個と白球$1$個と青球$1$個が入っている．いま，$\mathrm{A}$から$1$個の球を取り出し，$\mathrm{B}$から$1$個の球を取り出し，$\mathrm{C}$から$1$個の球を取り出す．
(i) 取り出した$3$個の球の色が$1$種類となる確率は$[ ]$である．
(ii) 取り出した$3$個の球の色が$2$種類となる確率は$[ ]$である．
(iii) 取り出した$3$個の球の色が$3$種類となる確率は$[ ]$である．
(5)条件$a_1=5$，$a_{n+1}=2a_n-3$によって定まる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[ ]$で与えられる．この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とおくとき，$S_8$の値は$[ ]$であり，不等式$\displaystyle \frac{S_n}{3}>n+16666$を満たす正の整数$n$のうちで最小のものは$[ ]$である．
私立 東京電機大学 2013年 第4問次の各問に答えよ．
(1)関数$y=2 \cos^2 x-\sin x-1 (0 \leqq x \leqq 2\pi)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)袋の中に赤玉$3$個，白玉$4$個，青玉$5$個が入っている．この袋から$2$個の玉を同時に取り出すとき，異なる色の玉を取り出す確率を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$が，$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+3 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められるとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_ka_{k+1}}$を求めよ．
(4)$2$つの放物線$y=-x^2+8x$と$y=-3x^2+18x$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(5)点$(x,\ y)$が領域$3x+y \geqq 5$を動くとき，$x^2+y$の最小値を求めよ．
(1)関数$y=2 \cos^2 x-\sin x-1 (0 \leqq x \leqq 2\pi)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)袋の中に赤玉$3$個，白玉$4$個，青玉$5$個が入っている．この袋から$2$個の玉を同時に取り出すとき，異なる色の玉を取り出す確率を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$が，$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+3 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められるとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_ka_{k+1}}$を求めよ．
(4)$2$つの放物線$y=-x^2+8x$と$y=-3x^2+18x$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(5)点$(x,\ y)$が領域$3x+y \geqq 5$を動くとき，$x^2+y$の最小値を求めよ．
私立 北里大学 2013年 第3問次の文中の$[ア]$～$[ホ]$にあてはまる最も適切な数を答えなさい．
点$\mathrm{A}$の座標を$(4,\ 0)$，点$\mathrm{B}$の座標を$(0,\ 3)$とし，点$\mathrm{A}$，点$\mathrm{B}$を通る直線$L$と点$\mathrm{A}$で接する半径$r$の円を考える．このような円は，直線$L$より上の領域と下の領域にそれぞれ存在する．直線$L$より上の領域に存在する円を$C_1$，下の領域に存在する円を$C_2$とする．また，点$\mathrm{B}$を通る円$C_1$へのもう$1$本の接線が円と接する点を$\mathrm{P}_1$，同じく，点$\mathrm{B}$を通る円$C_2$へのもう$1$本の接線が円と接する点を$\mathrm{P}_2$とする．
（図は省略）
(1)円の半径$r$が線分$\mathrm{AB}$の長さ$R$と等しいとする．
円$C_1$の中心の座標は$([ア],\ [イ])$，円$C_2$の中心の座標は$([ウ],\ [エ])$である．
また，点$\mathrm{P}_1$の座標は$([オ],\ [カ])$，点$\mathrm{P}_2$の座標は$([キ],\ [ク])$である．
(2)円の半径$r$が線分$\mathrm{AB}$の長さ$R$の$2$倍であるとする．
円$C_1$の中心の座標は$([ケ][コ],\ [サ])$，円$C_2$の中心の座標は$([シ],\ [ス])$である．
点$\mathrm{B}$と円$C_1$の中心を通る直線は，線分$\mathrm{AP}_1$を垂直二等分する．その交点を$\mathrm{Q}_1$とする．同様に，点$\mathrm{B}$と円$C_2$の中心を通る直線は，線分$\mathrm{AP}_2$を垂直二等分する．その交点を$\mathrm{Q}_2$とする．
点$\mathrm{B}$と円$C_1$の中心を通る直線の式は$\displaystyle y=\frac{[セ]}{[ソ]}x+[タ]$であり，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}_1$を通る直線の式は，$\displaystyle y=-\frac{[ソ]}{[セ]}x+[チ]$と表すことができる．
同様に，点$\mathrm{B}$と円$C_2$の中心を通る直線の式は$\displaystyle y=\frac{[ツ][テ]}{[ト]}x+[タ]$であり，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}_2$を通る直線の式は，$\displaystyle y=-\frac{[ト]}{[ツ][テ]}x+\frac{[ナ]}{[ニ][ヌ]}$と表すことができる．
点$\mathrm{Q}_2$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ネ]}{[ノ]},\ \frac{[ハ]}{[ノ]} \right)$，点$\mathrm{P}_2$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ヒ][フ]}{[ヘ]},\ \frac{[ホ]}{[ヘ]} \right)$となる．
点$\mathrm{A}$の座標を$(4,\ 0)$，点$\mathrm{B}$の座標を$(0,\ 3)$とし，点$\mathrm{A}$，点$\mathrm{B}$を通る直線$L$と点$\mathrm{A}$で接する半径$r$の円を考える．このような円は，直線$L$より上の領域と下の領域にそれぞれ存在する．直線$L$より上の領域に存在する円を$C_1$，下の領域に存在する円を$C_2$とする．また，点$\mathrm{B}$を通る円$C_1$へのもう$1$本の接線が円と接する点を$\mathrm{P}_1$，同じく，点$\mathrm{B}$を通る円$C_2$へのもう$1$本の接線が円と接する点を$\mathrm{P}_2$とする．
（図は省略）
(1)円の半径$r$が線分$\mathrm{AB}$の長さ$R$と等しいとする．
円$C_1$の中心の座標は$([ア],\ [イ])$，円$C_2$の中心の座標は$([ウ],\ [エ])$である．
また，点$\mathrm{P}_1$の座標は$([オ],\ [カ])$，点$\mathrm{P}_2$の座標は$([キ],\ [ク])$である．
(2)円の半径$r$が線分$\mathrm{AB}$の長さ$R$の$2$倍であるとする．
円$C_1$の中心の座標は$([ケ][コ],\ [サ])$，円$C_2$の中心の座標は$([シ],\ [ス])$である．
点$\mathrm{B}$と円$C_1$の中心を通る直線は，線分$\mathrm{AP}_1$を垂直二等分する．その交点を$\mathrm{Q}_1$とする．同様に，点$\mathrm{B}$と円$C_2$の中心を通る直線は，線分$\mathrm{AP}_2$を垂直二等分する．その交点を$\mathrm{Q}_2$とする．
点$\mathrm{B}$と円$C_1$の中心を通る直線の式は$\displaystyle y=\frac{[セ]}{[ソ]}x+[タ]$であり，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}_1$を通る直線の式は，$\displaystyle y=-\frac{[ソ]}{[セ]}x+[チ]$と表すことができる．
同様に，点$\mathrm{B}$と円$C_2$の中心を通る直線の式は$\displaystyle y=\frac{[ツ][テ]}{[ト]}x+[タ]$であり，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}_2$を通る直線の式は，$\displaystyle y=-\frac{[ト]}{[ツ][テ]}x+\frac{[ナ]}{[ニ][ヌ]}$と表すことができる．
点$\mathrm{Q}_2$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ネ]}{[ノ]},\ \frac{[ハ]}{[ノ]} \right)$，点$\mathrm{P}_2$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ヒ][フ]}{[ヘ]},\ \frac{[ホ]}{[ヘ]} \right)$となる．
私立 吉備国際大学 2013年 第2問水平面に高さ$10 \, \mathrm{m}$の線分$\mathrm{AB}$が垂直に立っている（点$\mathrm{A}$が水平面上）．
(1)水平面上の点$\mathrm{P}$から$\mathrm{B}$を見上げる角度が${30}^\circ$のとき，$\mathrm{AP}$を求めよ．
(2)水平面上の点$\mathrm{Q}$から$\mathrm{B}$を見上げる角度が${30}^\circ$以上${60}^\circ$以下であるとき，$\mathrm{Q}$の存在する領域の面積を求めよ．
(3)水平面上$1 \, \mathrm{m}$の高さの点$\mathrm{R}$から$\mathrm{B}$を見上げる角度が${30}^\circ$以上${60}^\circ$以下であるとき，$\mathrm{R}$の存在する領域の面積を求めよ．
(1)水平面上の点$\mathrm{P}$から$\mathrm{B}$を見上げる角度が${30}^\circ$のとき，$\mathrm{AP}$を求めよ．
(2)水平面上の点$\mathrm{Q}$から$\mathrm{B}$を見上げる角度が${30}^\circ$以上${60}^\circ$以下であるとき，$\mathrm{Q}$の存在する領域の面積を求めよ．
(3)水平面上$1 \, \mathrm{m}$の高さの点$\mathrm{R}$から$\mathrm{B}$を見上げる角度が${30}^\circ$以上${60}^\circ$以下であるとき，$\mathrm{R}$の存在する領域の面積を求めよ．