次の各問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{BD}=3$のとき，辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)自然数$n$が$6$と互いに素であるとき，$n^2-1$が$6$で割り切れることを示せ．
(3)$xy$平面で次の不等式で表される領域を図示せよ．
\[ |x| \leqq y \leqq 1-|x| \]

$xyz$空間において連立不等式
\[ |x| \leqq 1,\quad |y| \leqq 1,\quad |z| \leqq 1 \]
の表す領域を$Q$とし，正の実数$r$に対して$x^2+y^2+z^2 \leqq r^2$の表す領域を$S$とする．また，$Q$と$S$のいずれか一方のみに含まれる点全体がなす領域を$R$とし，$R$の体積を$V(r)$とする．さらに

$x \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_x$
$y \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_y$
$z \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_z$

とし，

$S_x \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_1$
$S_x \cap S_y \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_2$
$S_x \cap S_y \cap S_z \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_3$

とする．ただし，$\phi$は空集合を表す．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$\displaystyle r=\frac{\sqrt{10}}{3}$のとき，$R$の$xy$平面による断面を図示せよ．
(2)$r_1,\ r_2,\ r_3$および$V(r_1)$，$V_(r_3)$を求めよ．
(3)$r \geqq r_1$のとき，$S_x$の体積を$r$を用いて表せ．
(4)$0<r \leqq r_2$において，$V(r)$が最小となる$r$の値を求めよ．

$xyz$空間において連立不等式
\[ |x| \leqq 1,\quad |y| \leqq 1,\quad |z| \leqq 1 \]
の表す領域を$Q$とし，正の実数$r$に対して$x^2+y^2+z^2 \leqq r^2$の表す領域を$S$とする．また，$Q$と$S$のいずれか一方のみに含まれる点全体がなす領域を$R$とし，$R$の体積を$V(r)$とする．さらに

$x \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_x$
$y \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_y$
$z \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_z$

とし，

$S_x \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_1$
$S_x \cap S_y \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_2$
$S_x \cap S_y \cap S_z \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_3$

とする．ただし，$\phi$は空集合を表す．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$\displaystyle r=\frac{\sqrt{10}}{3}$のとき，$R$の$xy$平面による断面を図示せよ．
(2)$r_1,\ r_2,\ r_3$および$V(r_1)$，$V_(r_3)$を求めよ．
(3)$r \geqq r_1$のとき，$S_x$の体積を$r$を用いて表せ．
(4)$0<r \leqq r_2$において，$V(r)$が最小となる$r$の値を求めよ．

$a,\ b$を実数とする．$0 \leqq x \leqq \pi$を定義域とする$2$つの関数


$\displaystyle f(x)=\left\{ \begin{array}{cl}
\displaystyle\frac{x \sin x}{1-\cos x} & (0<x \leqq \pi) \\
a & (x=0)
\end{array} \right.$

$\displaystyle g(x)=\left\{ \begin{array}{cl}
\displaystyle\frac{\sin x}{\sqrt{x}} & (0<x \leqq \pi) \\
b & (x=0)
\end{array} \right.$


を考える．$f(x),\ g(x)$はともに$x=0$で連続であるとする．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$xy$平面において，連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
0 \leqq x \leqq \pi \\
0 \leqq y \leqq f(x)g(x)
\end{array} \right. \]
の表す領域$D$を考える．$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

自然数$n$に対して関数$y=2nx-x^2$のグラフと$x$軸で囲まれた領域（境界線を含む）$R_n$を考える．以下の問いに答えなさい．

(1)領域$R_n$に含まれる格子点（$x$座標と$y$座標がともに整数である点）の数$S_n$を求めなさい．
(2)点$\mathrm{A}(0,\ 0)$，$\mathrm{B}(2n,\ 0)$，および関数$y$の頂点を結ぶ線分で囲まれた領域（境界線を含む）に含まれる格子点の数$T_n$を求めなさい．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{T_n}{S_n}$を求めなさい．

次の各問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{BD}=3$のとき，辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)自然数$n$が$6$と互いに素であるとき，$n^2-1$が$6$で割り切れることを示せ．
(3)$xy$平面で次の不等式で表される領域を図示せよ．
\[ |x| \leqq y \leqq 1-|x| \]

次の各問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{BD}=3$のとき，辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)自然数$n$が$6$と互いに素であるとき，$n^2-1$が$6$で割り切れることを示せ．
(3)$xy$平面で次の不等式で表される領域を図示せよ．
\[ |x| \leqq y \leqq 1-|x| \]

次の問いに答えよ．

(1)$2$次方程式$t^2+5t+2=0$の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^2+\beta^2$の値を求めよ．
(2)$u,\ v$を実数とする．$2$次方程式$t^2-ut+v=0$が実数解をもつとき，点$(u,\ v)$の存在範囲を図示せよ．
(3)平面上の点$(a,\ b)$が原点を中心とする半径$1$の円の内部を動くとき，点$(a+b,\ ab)$の動いてできる領域を図示せよ．

次の問いに答えよ．

(1)$2$次方程式$t^2+5t+2=0$の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^2+\beta^2$の値を求めよ．
(2)$u,\ v$を実数とする．$2$次方程式$t^2-ut+v=0$が実数解をもつとき，点$(u,\ v)$の存在範囲を図示せよ．
(3)平面上の点$(a,\ b)$が原点を中心とする半径$1$の円の内部を動くとき，点$(a+b,\ ab)$の動いてできる領域を図示せよ．

次の問いに答えよ．

(1)$3$または$7$で割り切れる$100$以下の自然数の和を求めよ．
(2)座標平面上で，不等式$(2x^2-y)(x^2+y^2-3) \leqq 0$が表す領域を図示せよ．

(3)$\left\{ \begin{array}{l}
2 \sin \alpha+2 \cos \beta=1 \\
2 \cos \alpha-2 \sin \beta=\sqrt{3}
\end{array} \right.$とする．このとき，$\alpha$と$\beta$を求めよ．ただし，$0 \leqq \alpha<2\pi$かつ$0 \leqq \beta<2\pi$とする．
(4)$1 \leqq x \leqq 25$，$26x+7y=2$を満たす整数$x,\ y$の組をすべて求めよ．