タグ「領域」の検索結果

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京都大学 国立 京都大学 2016年 第1問
$xy$平面内の領域
\[ x^2+y^2 \leqq 2,\quad |x| \leqq 1 \]
で,曲線$C:y=x^3+x^2-x$の上側にある部分の面積を求めよ.
東京大学 国立 東京大学 2016年 第3問
座標平面上の$2$つの放物線

$A:y=x^2$
$B:y=-x^2+px+q$

が点$(-1,\ 1)$で接している.ここで,$p$と$q$は実数である.さらに,$t$を正の実数とし,放物線$B$を$x$軸の正の向きに$2t$,$y$軸の正の向きに$t$だけ平行移動して得られる放物線を$C$とする.

(1)$p$と$q$の値を求めよ.
(2)放物線$A$と$C$が囲む領域の面積を$S(t)$とする.ただし,$A$と$C$が領域を囲まないときは$S(t)=0$と定める.$S(t)$を求めよ.
(3)$t>0$における$S(t)$の最大値を求めよ.
神戸大学 国立 神戸大学 2016年 第2問
$a$を正の定数とし,$f(x)=|x^2+2ax+a|$とおく.以下の問に答えよ.

(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ.
(2)$a=2$とする.すべての実数$x$に対して$f(x) \geqq 2x+b$が成り立つような実数$b$の取りうる値の範囲を求めよ.
(3)$\displaystyle 0<a \leqq \frac{3}{2}$とする.すべての実数$x$に対して$f(x) \geqq 2x+b$が成り立つような実数$b$の取りうる値の範囲を$a$を用いて表せ.また,その条件をみたす点$(a,\ b)$の領域を$ab$平面上に図示せよ.
九州大学 国立 九州大学 2016年 第1問
座標平面上の曲線$C_1,\ C_2$をそれぞれ

$C_1:y=\log x \quad (x>0)$
$C_2:y=(x-1)(x-a)$

とする.ただし,$a$は実数である.$n$を自然数とするとき,曲線$C_1$,$C_2$が$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$で交わり,$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の$x$座標はそれぞれ$1,\ n+1$となっている.また,曲線$C_1$と直線$\mathrm{PQ}$で囲まれた領域の面積を$S_n$,曲線$C_2$と直線$\mathrm{PQ}$で囲まれた領域の面積を$T_n$とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)$a$を$n$の式で表し,$a>1$を示せ.
(2)$S_n$と$T_n$をそれぞれ$n$の式で表せ.

(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n \log T_n}$を求めよ.
金沢大学 国立 金沢大学 2016年 第1問
数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$は
\[ \left\{ \begin{array}{l}
a_1=b_1=2, \phantom{\displaystyle\frac{[ ]}{[ ]}} \\
\displaystyle a_{n+1}=\frac{\sqrt{2}}{4}a_n-\frac{\sqrt{6}}{4}b_n,\quad b_{n+1}=\frac{\sqrt{6}}{4}a_n+\frac{\sqrt{2}}{4}b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \phantom{\displaystyle\frac{[ ]}{[ ]}}
\end{array} \right. \]
を満たすものとする.$a_n$を実部とし$b_n$を虚部とする複素数を$z_n$で表すとき,次の問いに答えよ.

(1)$z_{n+1}=wz_n$を満たす複素数$w$と,その絶対値$|w|$を求めよ.
(2)複素数平面上で,点$z_{n+1}$は点$z_n$をどのように移動した点であるかを答えよ.
(3)数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の一般項を求めよ.
(4)複素数平面上の$3$点$0,\ z_n,\ z_{n+1}$を頂点とする三角形の周と内部を黒く塗りつぶしてできる図形を$T_n$とする.このとき,複素数平面上で$T_1,\ T_2,\ \cdots,\ T_n,\ \cdots$によって黒く塗りつぶされる領域の面積を求めよ.
東北大学 国立 東北大学 2016年 第2問
放物線$\displaystyle C:y=-\frac{1}{2}x^2$を考える.以下の問いに答えよ.

(1)関数$y=-2 |x|+k$のグラフが放物線$C$と共有点をもつような実数$k$の範囲を求めよ.
(2)$a,\ b$を実数とする.関数$y=-2 |x-a|+b$のグラフが放物線$C$と共有点をちょうど$4$個もつような点$(a,\ b)$全体のなす領域$D$を$xy$平面に図示せよ.
(3)$(2)$で求めた領域$D$の面積を求めよ.
大阪大学 国立 大阪大学 2016年 第3問
座標平面において,原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の円と放物線$y=\sqrt{2}(x-1)^2$は,ただ$1$つの共有点$(a,\ b)$をもつとする.

(1)$a,\ b,\ r$の値をそれぞれ求めよ.
(2)連立不等式
\[ a \leqq x \leqq 1,\quad 0 \leqq y \leqq \sqrt{2}(x-1)^2,\quad x^2+y^2 \geqq r^2 \]
の表す領域を,$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
福島大学 国立 福島大学 2016年 第2問
次の問いに答えなさい.

(1)連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
y \leqq -x^2+4 \\
y \geqq -\displaystyle\frac{1}{2}x+1
\end{array} \right.$の表す領域を図示しなさい.

(2)点$(x,\ y)$が$(1)$の領域を動くとき,$x+y$のとりうる値の最大値と最小値を求めなさい.
宮城教育大学 国立 宮城教育大学 2016年 第5問
点$\mathrm{P}$は$x$座標が正または$0$の範囲で放物線$\displaystyle y=1-\frac{x^2}{2}$上を動くとする.点$\mathrm{P}$における放物線$\displaystyle y=1-\frac{x^2}{2}$の法線を$m$として,法線$m$と$x$軸とのなす角を$\displaystyle \theta \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とする.法線$m$上の点$\mathrm{Q}$は$\mathrm{PQ}=1$を満たし,不等式$\displaystyle y>1-\frac{x^2}{2}$の表す領域にあるとする.点$\mathrm{Q}$の軌跡を$C$とし,次の問いに答えよ.

(1)点$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(2)曲線$C$と$x$軸との交点の座標を求めよ.

(3)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sin \theta} \, d\theta$を$t=\cos \theta$と置換することにより求めよ.

(4)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sin^2 \theta} \, d\theta$,$\displaystyle \int \frac{1}{\sin^4 \theta} \, d\theta$を$\displaystyle t=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$と置換することにより求めよ.

(5)曲線$C$と$x$軸および$y$軸により囲まれた図形の面積を求めよ.
東京医科歯科大学 国立 東京医科歯科大学 2016年 第3問
座標平面において,実数$x$に対して,$4$点$(x,\ 0)$,$(x+1,\ 0)$,$(x+1,\ 1)$,$(x,\ 1)$を頂点とする正方形で囲まれる領域を$A_x$とし,$A_1 \cap A_x$の面積を$f(x)$とおく.ただし,$A_1 \cap A_x$が空集合あるいは線分のときは,$f(x)=0$とする.このとき以下の各問いに答えよ.

(1)$f(x)$のグラフをかけ.

(2)$\displaystyle g(x)=\int_0^1 f(x-t) \, dt$とおくとき,$\displaystyle g \left( \frac{1}{2} \right)$,$g(2)$を求めよ.

(3)$(2)$の$g(x)$について,$\displaystyle \int_0^3 xg(x) \, dx$を求めよ.
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