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私立 慶應義塾大学 2016年 第1問次の$[ ]$を埋めよ．
(1)$2016$の正の約数は全部で$[ア]$個あり，それらの平均は$[イ]$である．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．座標平面上に$3$点$\mathrm{P}_0(1,\ 0)$，$\mathrm{P}_1(\cos \theta,\ \sin \theta)$，$\mathrm{P}_2(\cos 2\theta,\ \sin 2\theta)$がある．$x$軸に関して，点$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_1$と対称な点をそれぞれ$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$とし，さらに，四角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の面積を$S_1(\theta)$，三角形$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_4$の面積を$S_2 (\theta)$とする．
(i) $\displaystyle S_1 \left( \frac{\pi}{3} \right)=[ウ]$である．
(ii) $\displaystyle \lim_{\theta \to +0} \frac{S_1(\theta)}{S_2(\theta)}=[エ]$である．
(iii) $S_1(\theta)$は$\cos \theta=[オ]$のとき最大値$[カ]$をとる．
(1)$2016$の正の約数は全部で$[ア]$個あり，それらの平均は$[イ]$である．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．座標平面上に$3$点$\mathrm{P}_0(1,\ 0)$，$\mathrm{P}_1(\cos \theta,\ \sin \theta)$，$\mathrm{P}_2(\cos 2\theta,\ \sin 2\theta)$がある．$x$軸に関して，点$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_1$と対称な点をそれぞれ$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$とし，さらに，四角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の面積を$S_1(\theta)$，三角形$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_4$の面積を$S_2 (\theta)$とする．
(i) $\displaystyle S_1 \left( \frac{\pi}{3} \right)=[ウ]$である．
(ii) $\displaystyle \lim_{\theta \to +0} \frac{S_1(\theta)}{S_2(\theta)}=[エ]$である．
(iii) $S_1(\theta)$は$\cos \theta=[オ]$のとき最大値$[カ]$をとる．
私立 慶應義塾大学 2016年 第5問四面体$\mathrm{OABC}$の$4$つの面はすべて合同であり，$\mathrm{OA}=\sqrt{10}$，$\mathrm{OB}=2$，$\mathrm{OC}=3$であるとする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[ニ]$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[ヌ]$である．
いま，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=[ネ]$と表される．また，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$[ノ]$である．
次に，線分$\mathrm{AH}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$，点$\mathrm{P}$から線分$\mathrm{AC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とすると，$\mathrm{PQ}$の長さは$[ハ]$である．また，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通り平面$\alpha$に垂直な平面による四面体$\mathrm{OABC}$の切り口の面積は$[ヒ]$である．
（図は省略）
いま，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=[ネ]$と表される．また，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$[ノ]$である．
次に，線分$\mathrm{AH}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$，点$\mathrm{P}$から線分$\mathrm{AC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とすると，$\mathrm{PQ}$の長さは$[ハ]$である．また，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通り平面$\alpha$に垂直な平面による四面体$\mathrm{OABC}$の切り口の面積は$[ヒ]$である．
（図は省略）
私立 慶應義塾大学 2016年 第2問$a$を正の実数，$b,\ c$を実数とする．$f(x)=ax^2+bx+c$とし，$f^\prime(x)$を$f(x)$の導関数とする．
(1)放物線$y=f(x)$と直線$y=f^\prime(x)$が接するための必要十分条件は
\[ b^2=[ウ] \qquad \cdots\cdots(\mathrm{A}) \]
である．
(2)条件$(\mathrm{A})$が成り立つとき，その接点の座標は
\[ \left( [$4$]-\frac{b}{[$5$]a},\ [$6$]a \right) \]
である．このとき，直線$y=f^\prime(x)$は放物線$y=-f(x)$とも接し，その接点$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( [$7$][$8$]-\frac{b}{[$9$]a},\ [$10$][$11$]a \right) \]
である．
(3)直線$y=f^\prime(x)$が原点を中心とする半径$\sqrt{2}$の円$\mathrm{O}$と接するための必要十分条件は
\[ b^2=[エ] \qquad \cdots\cdots(\mathrm{B}) \]
である．この条件が成り立つとき，その接点を$\mathrm{Q}$とする．
(4)条件$(\mathrm{A}),\ (\mathrm{B})$が成り立ち，さらに点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}$と一致するのは，
\[ a=\frac{[$12$]}{[$13$]},\quad b=[$14$][$15$],\quad c=\frac{[$16$]}{[$17$]} \]
のときである．このとき，円$\mathrm{O}$は放物線$y=f(x)$とただ$1$つの共有点$([$18$],\ [$19$])$をもち，放物線$y=f(x)$，直線$y=f^\prime(x)$および円$\mathrm{O}$で囲まれた図形の面積は
\[ \frac{[$20$]}{[$21$]}-\frac{[$22$]}{[$23$]} \pi \]
である．
(1)放物線$y=f(x)$と直線$y=f^\prime(x)$が接するための必要十分条件は
\[ b^2=[ウ] \qquad \cdots\cdots(\mathrm{A}) \]
である．
(2)条件$(\mathrm{A})$が成り立つとき，その接点の座標は
\[ \left( [$4$]-\frac{b}{[$5$]a},\ [$6$]a \right) \]
である．このとき，直線$y=f^\prime(x)$は放物線$y=-f(x)$とも接し，その接点$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( [$7$][$8$]-\frac{b}{[$9$]a},\ [$10$][$11$]a \right) \]
である．
(3)直線$y=f^\prime(x)$が原点を中心とする半径$\sqrt{2}$の円$\mathrm{O}$と接するための必要十分条件は
\[ b^2=[エ] \qquad \cdots\cdots(\mathrm{B}) \]
である．この条件が成り立つとき，その接点を$\mathrm{Q}$とする．
(4)条件$(\mathrm{A}),\ (\mathrm{B})$が成り立ち，さらに点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}$と一致するのは，
\[ a=\frac{[$12$]}{[$13$]},\quad b=[$14$][$15$],\quad c=\frac{[$16$]}{[$17$]} \]
のときである．このとき，円$\mathrm{O}$は放物線$y=f(x)$とただ$1$つの共有点$([$18$],\ [$19$])$をもち，放物線$y=f(x)$，直線$y=f^\prime(x)$および円$\mathrm{O}$で囲まれた図形の面積は
\[ \frac{[$20$]}{[$21$]}-\frac{[$22$]}{[$23$]} \pi \]
である．
私立 慶應義塾大学 2016年 第5問$1$辺の長さが$\sqrt{2}$の正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とし，$4$つの正三角形を側面とする正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$がある．$\mathrm{OA}$と$\mathrm{OC}$を$4:1$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}$と$\mathrm{R}$，正の実数$r$に対して$\mathrm{OB}$を$1:r$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PR}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を計算せよ．答が$r$の有理式になる場合は，$1$つの既約分数式で解答せよ．
(2)線分$\mathrm{PR}$の中点を$\mathrm{M}$とする．$\mathrm{QM}$と$\mathrm{OD}$が平行になる$r$を求めよ．
(3)$\mathrm{QM}$と$\mathrm{OD}$が平行なとき，$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る平面$\alpha$で正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$を$2$つの多面体に切り分ける．このとき，$\alpha$による切り口の図形の面積，および，切り分けたうち頂点$\mathrm{O}$を含む多面体の体積を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PR}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を計算せよ．答が$r$の有理式になる場合は，$1$つの既約分数式で解答せよ．
(2)線分$\mathrm{PR}$の中点を$\mathrm{M}$とする．$\mathrm{QM}$と$\mathrm{OD}$が平行になる$r$を求めよ．
(3)$\mathrm{QM}$と$\mathrm{OD}$が平行なとき，$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る平面$\alpha$で正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$を$2$つの多面体に切り分ける．このとき，$\alpha$による切り口の図形の面積，および，切り分けたうち頂点$\mathrm{O}$を含む多面体の体積を求めよ．
私立 早稲田大学 2016年 第1問次の問に答えよ．
(1)直線$-2x+4y+5=0$を$\ell$とする．点$\mathrm{A}(2,\ 4)$を通り，直線$\ell$に垂直な直線を$m$とし，同じく点$\mathrm{A}$を通り，$x$軸に平行な直線を$n$とする．直線$\ell$と直線$m$の交点を$\mathrm{B}$とし，直線$\ell$と直線$n$の交点を$\mathrm{C}$とするとき，次の各問いに答えよ．
(i) 点$\mathrm{B}$の座標は$([ア],\ [イ])$である．
(ii) 線分$\mathrm{AB}$の長さは$[ウ]$である．
(iii) 直線$\ell$上で線分$\mathrm{CB}$を$2:1$に外分する点を$\mathrm{D}$とし，直線$m$上で線分$\mathrm{AB}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{E}$とするとき，四角形$\mathrm{ACED}$の面積は$[エ]$である．
(2)座標平面上に定点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$と$\mathrm{B}(1,\ 0)$が与えられているとし，動点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は，それぞれ$\mathrm{A}$および$\mathrm{B}$とは一致しないところを動くものとするとき，次の各問いに答えよ．
(i) 点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$\angle \mathrm{APB}={90}^\circ$を満たすように動くとき，点$\mathrm{P}$の$y$座標の最大値は$[オ]$である．
(ii) 点$\mathrm{Q}(x,\ y)$が$\angle \mathrm{AQB}={120}^\circ$を満たすように動くとき，点$\mathrm{Q}$の$y$座標の最大値は$[カ]$であり，また，点$\mathrm{Q}$が動いてできる曲線に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を付け加えた曲線を$C$とすると，曲線$C$が囲む部分の面積は$[キ]$である．
(3)$a$を正の実数とし，$\displaystyle a \neq \frac{1}{2}$であるとする．曲線$C:y=x^2-2x$上の$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を考える．点$\mathrm{P}$の座標を$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ -\frac{3}{4} \right)$とし，点$\mathrm{Q}$の座標を$(a+1,\ a^2-1)$とする．点$\mathrm{P}$を通り$\mathrm{P}$における$C$の接線に直交する直線を$\ell$とし，点$\mathrm{Q}$を通り$\mathrm{Q}$における$C$の接線に直交する直線を$m$とする．$2$直線$\ell$と$m$の交点が曲線$C$上にあるとき，次の各問いに答えよ．
(i) $a$の値は$[ク]$である．
(ii) $2$直線$\ell$，$m$と曲線$C$とで囲まれた領域で$x \geqq 0$を満たす部分の面積は$[ケ]$である．
(1)直線$-2x+4y+5=0$を$\ell$とする．点$\mathrm{A}(2,\ 4)$を通り，直線$\ell$に垂直な直線を$m$とし，同じく点$\mathrm{A}$を通り，$x$軸に平行な直線を$n$とする．直線$\ell$と直線$m$の交点を$\mathrm{B}$とし，直線$\ell$と直線$n$の交点を$\mathrm{C}$とするとき，次の各問いに答えよ．
(i) 点$\mathrm{B}$の座標は$([ア],\ [イ])$である．
(ii) 線分$\mathrm{AB}$の長さは$[ウ]$である．
(iii) 直線$\ell$上で線分$\mathrm{CB}$を$2:1$に外分する点を$\mathrm{D}$とし，直線$m$上で線分$\mathrm{AB}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{E}$とするとき，四角形$\mathrm{ACED}$の面積は$[エ]$である．
(2)座標平面上に定点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$と$\mathrm{B}(1,\ 0)$が与えられているとし，動点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は，それぞれ$\mathrm{A}$および$\mathrm{B}$とは一致しないところを動くものとするとき，次の各問いに答えよ．
(i) 点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$\angle \mathrm{APB}={90}^\circ$を満たすように動くとき，点$\mathrm{P}$の$y$座標の最大値は$[オ]$である．
(ii) 点$\mathrm{Q}(x,\ y)$が$\angle \mathrm{AQB}={120}^\circ$を満たすように動くとき，点$\mathrm{Q}$の$y$座標の最大値は$[カ]$であり，また，点$\mathrm{Q}$が動いてできる曲線に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を付け加えた曲線を$C$とすると，曲線$C$が囲む部分の面積は$[キ]$である．
(3)$a$を正の実数とし，$\displaystyle a \neq \frac{1}{2}$であるとする．曲線$C:y=x^2-2x$上の$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を考える．点$\mathrm{P}$の座標を$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ -\frac{3}{4} \right)$とし，点$\mathrm{Q}$の座標を$(a+1,\ a^2-1)$とする．点$\mathrm{P}$を通り$\mathrm{P}$における$C$の接線に直交する直線を$\ell$とし，点$\mathrm{Q}$を通り$\mathrm{Q}$における$C$の接線に直交する直線を$m$とする．$2$直線$\ell$と$m$の交点が曲線$C$上にあるとき，次の各問いに答えよ．
(i) $a$の値は$[ク]$である．
(ii) $2$直線$\ell$，$m$と曲線$C$とで囲まれた領域で$x \geqq 0$を満たす部分の面積は$[ケ]$である．
私立 早稲田大学 2016年 第4問以下の問に答えよ．
(1)次の空欄にあてはまる式または数を記入せよ．
半径$1$の円$\mathrm{O}$に内接する長方形$\mathrm{ABCD}$がある．角$\mathrm{OAB}$を$\displaystyle x \left( 0<x<\frac{\pi}{2} \right)$とするとき，長方形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[ア]$となる．したがって，$x=[イ]$のとき最大面積$[ウ]$をとる．
(2)半径$1$の円$\mathrm{O}$に内接する$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$の内角
\[ \mathrm{A}_k \mathrm{A}_{k+1} \mathrm{A}_{k+2} \quad (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n,\ n \geqq 3 \;;\; \text{ただし，} \mathrm{A}_{n+1}=\mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_{n+2}=\mathrm{A}_2) \]
がすべて$\alpha (0<\alpha<\pi)$に等しいとする．このとき，次の問に答えよ．
(i) $a_k (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$は弧$\mathrm{A}_k \mathrm{A}_{k+1}$の長さを表すとする．角$\displaystyle \mathrm{OA}_k \mathrm{A}_{k+1}=\theta_k \left( 0<\theta_k<\frac{\pi}{2} \right)$とおくとき，$a_k$，$a_{k+1}$および$a_k+a_{k+1}$を，$\theta_k$，$\alpha$を用いて表せ．
(ii) $n$が奇数のとき，$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$は正$n$角形となることを示せ．
(iii) $n$が偶数のとき，$\theta_1=\theta_3=\cdots =\theta_{n-1}$を示せ．さらに，その等しい角を$\theta$とおいて，$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$の面積$S_n(\theta)$を$\alpha$，$\theta$を用いて表せ．
\mon[$\tokeishi$] $\alpha$を$n$の式で表し，$(ⅲ)$における$S_n(\theta)$の最大値とそのときの$\theta$を$n$の式で表せ．
（図は省略）
(1)次の空欄にあてはまる式または数を記入せよ．
半径$1$の円$\mathrm{O}$に内接する長方形$\mathrm{ABCD}$がある．角$\mathrm{OAB}$を$\displaystyle x \left( 0<x<\frac{\pi}{2} \right)$とするとき，長方形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[ア]$となる．したがって，$x=[イ]$のとき最大面積$[ウ]$をとる．
(2)半径$1$の円$\mathrm{O}$に内接する$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$の内角
\[ \mathrm{A}_k \mathrm{A}_{k+1} \mathrm{A}_{k+2} \quad (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n,\ n \geqq 3 \;;\; \text{ただし，} \mathrm{A}_{n+1}=\mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_{n+2}=\mathrm{A}_2) \]
がすべて$\alpha (0<\alpha<\pi)$に等しいとする．このとき，次の問に答えよ．
(i) $a_k (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$は弧$\mathrm{A}_k \mathrm{A}_{k+1}$の長さを表すとする．角$\displaystyle \mathrm{OA}_k \mathrm{A}_{k+1}=\theta_k \left( 0<\theta_k<\frac{\pi}{2} \right)$とおくとき，$a_k$，$a_{k+1}$および$a_k+a_{k+1}$を，$\theta_k$，$\alpha$を用いて表せ．
(ii) $n$が奇数のとき，$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$は正$n$角形となることを示せ．
(iii) $n$が偶数のとき，$\theta_1=\theta_3=\cdots =\theta_{n-1}$を示せ．さらに，その等しい角を$\theta$とおいて，$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$の面積$S_n(\theta)$を$\alpha$，$\theta$を用いて表せ．
\mon[$\tokeishi$] $\alpha$を$n$の式で表し，$(ⅲ)$における$S_n(\theta)$の最大値とそのときの$\theta$を$n$の式で表せ．
（図は省略）
私立 早稲田大学 2016年 第3問座標平面上の動点$\mathrm{P}_t(x,\ y)$の座標が，$t$の関数
\[ x=e^{-t} \cos t,\quad y=e^{-t} \sin t \]
で与えられている．また$\mathrm{O}$を原点とする．実数$a,\ b$で$0<b-a<2\pi$であるものに対して，線分$\mathrm{OP}_a$と，動点$\mathrm{P}_t$が$t=a$から$t=b$まで動くときに描く曲線と，線分$\mathrm{OP}_b$とによって囲まれる部分の面積を$S(a,\ b)$とおく．次の問に答えよ．
(1)$f(t)=S(0,\ t)$とする．導関数$\displaystyle \frac{d}{dt}f(t)$を求めよ．
(2)自然数$n$に対して，$\displaystyle U(n)=S \left( \frac{n-1}{2} \pi,\ \frac{n}{2} \pi \right)$とおく．$U(n)$を求めよ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty U(n)$の和を求めよ．
\[ x=e^{-t} \cos t,\quad y=e^{-t} \sin t \]
で与えられている．また$\mathrm{O}$を原点とする．実数$a,\ b$で$0<b-a<2\pi$であるものに対して，線分$\mathrm{OP}_a$と，動点$\mathrm{P}_t$が$t=a$から$t=b$まで動くときに描く曲線と，線分$\mathrm{OP}_b$とによって囲まれる部分の面積を$S(a,\ b)$とおく．次の問に答えよ．
(1)$f(t)=S(0,\ t)$とする．導関数$\displaystyle \frac{d}{dt}f(t)$を求めよ．
(2)自然数$n$に対して，$\displaystyle U(n)=S \left( \frac{n-1}{2} \pi,\ \frac{n}{2} \pi \right)$とおく．$U(n)$を求めよ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty U(n)$の和を求めよ．
私立 早稲田大学 2016年 第3問曲線$C:y=x^2$上の点を$\mathrm{P}$とする．ただし$\mathrm{P}$の$x$座標は正とする．点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$，点$\mathrm{P}$を通り$\ell$に垂直な直線を$m$とする．直線$m$と曲線$C$が$\mathrm{P}$とは異なる交点をもつとき，その点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$が曲線$C$上を動くとき，以下の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$n$とし，$\ell$と$n$との交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$の座標を$(p,\ q)$とするとき
\[ q=\frac{[キ]}{[ク]p^2}+\frac{[ケ]}{[コ]} \]
が成り立つ．
(2)曲線$C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれる部分の面積の最小値は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$であり，そのときの点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標は
\[ \mathrm{P} \left( \frac{[ス]}{[セ]},\ \frac{[ソ]}{[タ]} \right),\quad \mathrm{Q} \left( \frac{[チ]}{[ツ]},\ \frac{[テ]}{[ト]} \right) \]
である．
(1)点$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$n$とし，$\ell$と$n$との交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$の座標を$(p,\ q)$とするとき
\[ q=\frac{[キ]}{[ク]p^2}+\frac{[ケ]}{[コ]} \]
が成り立つ．
(2)曲線$C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれる部分の面積の最小値は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$であり，そのときの点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標は
\[ \mathrm{P} \left( \frac{[ス]}{[セ]},\ \frac{[ソ]}{[タ]} \right),\quad \mathrm{Q} \left( \frac{[チ]}{[ツ]},\ \frac{[テ]}{[ト]} \right) \]
である．
私立 早稲田大学 2016年 第3問曲線$C:y=x^2$上の点を$\mathrm{P}$とする．ただし$\mathrm{P}$の$x$座標は正とする．点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$，点$\mathrm{P}$を通り$\ell$に垂直な直線を$m$とする．直線$m$と曲線$C$が$\mathrm{P}$とは異なる交点をもつとき，その点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$が曲線$C$上を動くとき，以下の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$n$とし，$\ell$と$n$との交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$の座標を$(p,\ q)$とするとき
\[ q=\frac{[キ]}{[ク]p^2}+\frac{[ケ]}{[コ]} \]
が成り立つ．
(2)曲線$C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれる部分の面積の最小値は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$であり，そのときの点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標は
\[ \mathrm{P} \left( \frac{[ス]}{[セ]},\ \frac{[ソ]}{[タ]} \right),\quad \mathrm{Q} \left( \frac{[チ]}{[ツ]},\ \frac{[テ]}{[ト]} \right) \]
である．
(1)点$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$n$とし，$\ell$と$n$との交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$の座標を$(p,\ q)$とするとき
\[ q=\frac{[キ]}{[ク]p^2}+\frac{[ケ]}{[コ]} \]
が成り立つ．
(2)曲線$C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれる部分の面積の最小値は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$であり，そのときの点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標は
\[ \mathrm{P} \left( \frac{[ス]}{[セ]},\ \frac{[ソ]}{[タ]} \right),\quad \mathrm{Q} \left( \frac{[チ]}{[ツ]},\ \frac{[テ]}{[ト]} \right) \]
である．
私立 立教大学 2016年 第1問次の空欄$[ア]$～$[ク]$に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)赤と青の$2$色を両方とも必ず用いて，正四面体の各面を塗り分ける場合の数は$[ア]$通りである．ただし，回転して一致する場合は同じものとみなす．
(2)$n$を$1 \leqq n \leqq 16$を満たす整数とする．$5n$を$17$で割ったときの余りが$1$となるとき，$n=[イ]$である．
(3)$A=\log_4 120-\log_4 6-\log_4 10$を計算すると，$A=[ウ]$である．
(4)$k$を実数とし，$2$次方程式$x^2+kx-1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$2$次方程式$x^2-(k+4)x+1=0$が$2$つの解$\alpha^2$と$\beta^2$を持つとき，$k$の値をすべて求めると，$k=[エ]$である．
(5)$a,\ b$を実数とする．$x$の$2$次式$f(x)$が，$x^2 f^\prime(x)-f(x)=x^3+ax^2+bx$を満たすとき，$a+b=[オ]$である．
(6)三角形$\mathrm{ABC}$の辺の長さがそれぞれ$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{CA}=4$のとき，三角形$\mathrm{ABC}$に内接する円の半径は$[カ]$である．
(7)$\displaystyle 0 \leqq \theta<\frac{\pi}{2}$において，$\tan \theta=2$が成り立つとき，$\cos \theta=[キ]$である．
(8)曲線$y=x^3-x^2+x+1$と曲線$y=x^3-2x^2+5x-2$で囲まれた図形の面積は$[ク]$である．
(1)赤と青の$2$色を両方とも必ず用いて，正四面体の各面を塗り分ける場合の数は$[ア]$通りである．ただし，回転して一致する場合は同じものとみなす．
(2)$n$を$1 \leqq n \leqq 16$を満たす整数とする．$5n$を$17$で割ったときの余りが$1$となるとき，$n=[イ]$である．
(3)$A=\log_4 120-\log_4 6-\log_4 10$を計算すると，$A=[ウ]$である．
(4)$k$を実数とし，$2$次方程式$x^2+kx-1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$2$次方程式$x^2-(k+4)x+1=0$が$2$つの解$\alpha^2$と$\beta^2$を持つとき，$k$の値をすべて求めると，$k=[エ]$である．
(5)$a,\ b$を実数とする．$x$の$2$次式$f(x)$が，$x^2 f^\prime(x)-f(x)=x^3+ax^2+bx$を満たすとき，$a+b=[オ]$である．
(6)三角形$\mathrm{ABC}$の辺の長さがそれぞれ$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{CA}=4$のとき，三角形$\mathrm{ABC}$に内接する円の半径は$[カ]$である．
(7)$\displaystyle 0 \leqq \theta<\frac{\pi}{2}$において，$\tan \theta=2$が成り立つとき，$\cos \theta=[キ]$である．
(8)曲線$y=x^3-x^2+x+1$と曲線$y=x^3-2x^2+5x-2$で囲まれた図形の面積は$[ク]$である．