次の問いに答えよ．

(1)$a$を正の定数とする．関数$\displaystyle f(x)=\frac{e^x-ae^{-x}}{2}$の逆関数$f^{-1}(x)$を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$f^{-1}(x)$の導関数を求めよ．
(3)$c$を正の定数とする．$x$軸，$y$軸，直線$x=c$および曲線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{x^2+c^2}}$で囲まれる部分の面積を求めよ．

$a$を正の定数とし，座標平面上において，
\[ \text{円}C_1:x^2+y^2=1,\quad \text{放物線}C_2:y=ax^2+1 \]
を考える．$C_1$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$における$C_1$の接線$\ell$は点$\mathrm{Q}(s,\ t)$で$C_2$に接している．次の問いに答えよ．

(1)$s,\ t$および$a$を求めよ．
(2)$C_2,\ \ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)円$C_1$上の点が点$\mathrm{P}$から点$\mathrm{R}(0,\ 1)$まで反時計回りに動いてできる円弧を$C_3$とする．$C_2$，$\ell$および$C_3$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$a$を$1<a<3$をみたす実数とし，座標空間内の$4$点
\[ \mathrm{P}_1(1,\ 0,\ 1),\quad \mathrm{P}_2(1,\ 1,\ 1),\quad \mathrm{P}_3(1,\ 0,\ 3),\quad \mathrm{Q}(0,\ 0,\ a) \]
を考える．直線$\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}$，$\mathrm{P}_2 \mathrm{Q}$，$\mathrm{P}_3 \mathrm{Q}$と$xy$平面の交点をそれぞれ$\mathrm{R}_1$，$\mathrm{R}_2$，$\mathrm{R}_3$として，三角形$\mathrm{R}_1 \mathrm{R}_2 \mathrm{R}_3$の面積を$S(a)$とする．$S(a)$を最小にする$a$と，そのときの$S(a)$の値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x^2+1}$のグラフを曲線$C$とする．

(1)関数$f(x)$の極値を求めよ．
(2)曲線$C$の変曲点を求めよ．
(3)曲線$C$上の点$(0,\ f(0))$における接線を$\ell$とする．曲線$C$と接線$\ell$とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

座標空間内に
\[ \mathrm{O}(0,\ 0,\ 0),\quad \mathrm{A}(1,\ 2,\ 2),\quad \mathrm{B}(1,\ 0,\ -1),\quad \mathrm{C}(2,\ -1,\ 1) \]
を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$がある．$t>0$に対して半直線$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{P}$を$\mathrm{OB}:\mathrm{OP}=1:t$となるようにとる．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$t$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{APC}$の面積を$S(t)$とおく．$S(t)$が最小になる$t$の値と，そのときの$S(t)$の値を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$は直線$\mathrm{OB}$上にあり，点$\mathrm{R}$は直線$\mathrm{AC}$上にある．線分$\mathrm{QR}$の長さの最小値と，そのときの点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

実数$t$に対し，複素数
\[ \left( \frac{1}{2}+\cos t+i \sin t \right)^2 \]
の実部を$f(t)$，虚部を$g(t)$とする．座標平面上に
\[ \text{曲線}C:x=f(t),\quad y=g(t) \quad (0 \leqq t \leqq \pi) \]
がある．

(1)$0 \leqq t \leqq \pi$のとき$f(t)$のとる値の範囲を求めよ．

(2)曲線$C$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( f \left( \frac{\pi}{3} \right),\ g \left( \frac{\pi}{3} \right) \right)$における接線の方程式を求めよ．

(3)曲線$C$の$y \leqq 0$の範囲にある部分と$x$軸とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

$2$つの円$C:(x-1)^2+y^2=1$と$D:(x+2)^2+y^2=7^2$を考える．また原点を$\mathrm{O}(0,\ 0)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)円$C$上に，$y$座標が正であるような点$\mathrm{P}$をとり，$x$軸の正の部分と線分$\mathrm{OP}$のなす角を$\theta$とする．このとき，点$\mathrm{P}$の座標と線分$\mathrm{OP}$の長さを$\theta$を用いて表せ．
(2)$(1)$でとった点$\mathrm{P}$を固定したまま，点$\mathrm{Q}$が円$D$上を動くとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が最大になるときの$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$が円$C$上を動き，点$\mathrm{Q}$が円$D$上を動くとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積の最大値を求めよ．

ただし$(2)$，$(3)$においては，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が同一直線上にあるときは，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$0$であるとする．

$a$は正の数とし，次の関数$y=f_a(x)$のグラフの変曲点を$\mathrm{P}$とする．
\[ f_a(x)=axe^{-\frac{x}{a}} \quad (x \geqq 0) \]
このとき以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$a$が区間$1 \leqq a \leqq 2$全体を動くとき，点$\mathrm{P}$が描く曲線$C$の概形を図示せよ．
(3)$x \geqq 0$における曲線$y=f_1(x)$，$y=f_2(x)$と$(2)$の曲線$C$の$3$曲線で囲まれた部分の面積を求めよ．

座標平面上の曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と点$\mathrm{P}(s,\ t) (s>0,\ t>0,\ st<1)$を考える．また，$u=st$とする．点$\mathrm{P}$を通る曲線$C$の$2$本の接線をそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$とし，これらの接線と曲線$C$との接点をそれぞれ$\displaystyle \mathrm{A} \left( a,\ \frac{1}{a} \right)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( b,\ \frac{1}{b} \right)$とする．ただし，$a<b$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$を$s,\ t$を用いて表せ．
(2)$2$点$\mathrm{E}(a,\ 0)$，$\mathrm{F}(b,\ 0)$を考える．台形$\mathrm{ABFE}$の面積を$u$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を$u$を用いて表せ．
(4)$(3)$で求めた$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を$S(u)$とする．$S(u)$は区間$0<u<1$で減少することを示せ．
(5)点$\mathrm{P}$が$2$点$(3,\ 0)$，$(0,\ 1)$を結ぶ線分上の端点以外にあるものとする．このとき，$\triangle \mathrm{PAB}$の面積が最小となる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．また，そのときの面積を求めよ．

座標平面において，$x$軸上に$3$点$(0,\ 0)$，$(\alpha,\ 0)$，$(\beta,\ 0) (0<\alpha<\beta)$があり，曲線$C:y=x^3+ax^2+bx$が$x$軸とこの$3$点で交わっているものとする．ただし，$a,\ b$は実数である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)曲線$C$と$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和を$S$とする．$S$を$\alpha$と$\beta$の式で表せ．
(2)$\beta$の値を固定して，$0<\alpha<\beta$の範囲で$\alpha$を動かすとき，$S$を最小とする$\alpha$を$\beta$の式で表せ．