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私立 学習院大学 2012年 第4問$t>0$とし，放物線$\displaystyle C_1:y=-\frac{1}{16}x^2-\frac{8}{9}$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t,\ -\frac{1}{16}t^2-\frac{8}{9} \right)$における法線を$L$とする．ただし，点$\mathrm{P}$における法線とは，点$\mathrm{P}$を通り，点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線と直交する直線のことである．
(1)$L$が放物線$C_2:y=x^2$に接するとき，$t$の値を求めよ．
(2)$t$が$(1)$での値をとるとき，$C_1,\ C_2,\ L$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$L$が放物線$C_2:y=x^2$に接するとき，$t$の値を求めよ．
(2)$t$が$(1)$での値をとるとき，$C_1,\ C_2,\ L$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2012年 第2問$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$4$点
\[ \mathrm{A}_1(1,\ 1,\ 1),\quad \mathrm{B}_1(-1,\ -1,\ 1),\quad \mathrm{C}_1(1,\ -1,\ -1),\quad \mathrm{D}_1(-1,\ 1,\ -1) \]
を考えると，立体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$は正四面体である．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)正四面体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$を$xy$平面に平行な平面$z=-1+h (0 \leqq h \leqq 2)$で切ったときに出来る図形の面積を$S(h)$とすると，
\[ S(h)=-[$34$]h^2+[$35$]h \]
と表され，$S(h)$は$h=[$36$]$のとき最大値$[$37$]$をとる．（このときの図形はペトリー多角形と呼ばれている．）さらに，
\[ V_1=\int_0^2 S(h) \, dh=\frac{[$38$]}{[$39$]} \]
とおくと，$V_1$は正四面体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$の体積となっている．
(2)三角形$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$，三角形$\mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1 \mathrm{A}_1$，三角形$\mathrm{D}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$，三角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1$の重心をそれぞれ$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{B}_2$，$\mathrm{C}_2$，$\mathrm{D}_2$とする．このとき，立体$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$は再び，正四面体となる．（このことを，正四面体は自己双対であるという．）同様に，$n$を自然数として，三角形$\mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$，三角形$\mathrm{C}_n \mathrm{D}_n \mathrm{A}_n$，三角形$\mathrm{D}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$，三角形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n$の重心をそれぞれ$\mathrm{A}_{n+1}$，$\mathrm{B}_{n+1}$，$\mathrm{C}_{n+1}$，$\mathrm{D}_{n+1}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}_1+\overrightarrow{\mathrm{OA}}_2+\cdots +\overrightarrow{\mathrm{OA}}_n=\frac{[$40$]}{[$41$]} \left\{ 1-\left( -\frac{[$42$]}{[$43$]} \right)^n \right\} \overrightarrow{\mathrm{OA}}_1 \]
である．また，正四面体$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の表面積$S_n$と体積$V_n$は，それぞれ，
\[ S_n=[$44$] \cdot [$45$]^{-[$46$]n+\frac{[$47$]}{2}},\quad V_n=[$48$] \cdot [$49$]^{-[$50$]n+[$51$]} \]
である．
\[ \mathrm{A}_1(1,\ 1,\ 1),\quad \mathrm{B}_1(-1,\ -1,\ 1),\quad \mathrm{C}_1(1,\ -1,\ -1),\quad \mathrm{D}_1(-1,\ 1,\ -1) \]
を考えると，立体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$は正四面体である．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)正四面体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$を$xy$平面に平行な平面$z=-1+h (0 \leqq h \leqq 2)$で切ったときに出来る図形の面積を$S(h)$とすると，
\[ S(h)=-[$34$]h^2+[$35$]h \]
と表され，$S(h)$は$h=[$36$]$のとき最大値$[$37$]$をとる．（このときの図形はペトリー多角形と呼ばれている．）さらに，
\[ V_1=\int_0^2 S(h) \, dh=\frac{[$38$]}{[$39$]} \]
とおくと，$V_1$は正四面体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$の体積となっている．
(2)三角形$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$，三角形$\mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1 \mathrm{A}_1$，三角形$\mathrm{D}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$，三角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1$の重心をそれぞれ$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{B}_2$，$\mathrm{C}_2$，$\mathrm{D}_2$とする．このとき，立体$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$は再び，正四面体となる．（このことを，正四面体は自己双対であるという．）同様に，$n$を自然数として，三角形$\mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$，三角形$\mathrm{C}_n \mathrm{D}_n \mathrm{A}_n$，三角形$\mathrm{D}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$，三角形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n$の重心をそれぞれ$\mathrm{A}_{n+1}$，$\mathrm{B}_{n+1}$，$\mathrm{C}_{n+1}$，$\mathrm{D}_{n+1}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}_1+\overrightarrow{\mathrm{OA}}_2+\cdots +\overrightarrow{\mathrm{OA}}_n=\frac{[$40$]}{[$41$]} \left\{ 1-\left( -\frac{[$42$]}{[$43$]} \right)^n \right\} \overrightarrow{\mathrm{OA}}_1 \]
である．また，正四面体$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の表面積$S_n$と体積$V_n$は，それぞれ，
\[ S_n=[$44$] \cdot [$45$]^{-[$46$]n+\frac{[$47$]}{2}},\quad V_n=[$48$] \cdot [$49$]^{-[$50$]n+[$51$]} \]
である．
私立 上智大学 2012年 第3問一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$を考える．底面$\mathrm{ABC}$の内接円の半径を$r$とおき，頂点$\mathrm{O}$を通り底面$\mathrm{ABC}$に垂直な直線からの距離が$r$以下である点全体からなる円柱を$T$とする．
(1)$\displaystyle r=\frac{\sqrt{[ネ]}}{[ノ]}$である．
(2)正四面体$\mathrm{OABC}$の高さは$\displaystyle \frac{\sqrt{[ハ]}}{[ヒ]}$である．
(3)辺$\mathrm{AB}$の中点と頂点$\mathrm{O}$とを結ぶ線分上に点$\mathrm{P}$をとり，$x=\mathrm{OP}$とおく．$\mathrm{P}$を通り底面$\mathrm{ABC}$に平行な平面による側面$\mathrm{OAB}$の切り口を$L$とする．
$L$が$T$に含まれるような$x$の最大値を$x_1$とすると
\[ x_1=\frac{\sqrt{[フ]}}{[ヘ]} \]
である．
$\displaystyle x_1 \leqq x \leqq \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき，$L$と$T$の共通部分の長さは
\[ \frac{[ホ]}{[マ]} \sqrt{\frac{[ミ]}{[ム]}-x^2} \]
である．
正四面体$\mathrm{OABC}$の表面で$T$に含まれる部分の面積は
\[ \frac{\pi}{[メ]} \]
である．
(1)$\displaystyle r=\frac{\sqrt{[ネ]}}{[ノ]}$である．
(2)正四面体$\mathrm{OABC}$の高さは$\displaystyle \frac{\sqrt{[ハ]}}{[ヒ]}$である．
(3)辺$\mathrm{AB}$の中点と頂点$\mathrm{O}$とを結ぶ線分上に点$\mathrm{P}$をとり，$x=\mathrm{OP}$とおく．$\mathrm{P}$を通り底面$\mathrm{ABC}$に平行な平面による側面$\mathrm{OAB}$の切り口を$L$とする．
$L$が$T$に含まれるような$x$の最大値を$x_1$とすると
\[ x_1=\frac{\sqrt{[フ]}}{[ヘ]} \]
である．
$\displaystyle x_1 \leqq x \leqq \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき，$L$と$T$の共通部分の長さは
\[ \frac{[ホ]}{[マ]} \sqrt{\frac{[ミ]}{[ム]}-x^2} \]
である．
正四面体$\mathrm{OABC}$の表面で$T$に含まれる部分の面積は
\[ \frac{\pi}{[メ]} \]
である．
私立 上智大学 2012年 第4問$\log x$は自然対数，$e$は自然対数の底を表す．
(1)$a,\ b$は$e^{-1}<a<1,\ b>0$を満たす実数とする．曲線$C:y=\log x$と直線$\ell:y=ax+b$とが接しているとすると，
\[ b=[モ] \log a+[ヤ] \]
が成り立つ．このとき，曲線$C$と$3$つの直線$\ell$，$x=1$，$x=e$とで囲まれた図形の面積を$S(a)$とする．$a$が$e^{-1}<a<1$の範囲を動くときの$S(a)$の最小値は
\[ \left( [ユ]e+[ヨ] \right) \log \left( \frac{e+[ラ]}{[リ]} \right) +[ル] \]
で与えられる．
(2)$k$を正の定数とし，$e^{-k}<t<1$である$t$に対して，
\[ f(t)=\int_0^k |e^{-x|-t} \, dx \]
とおく．$t$が$e^{-k}<t<1$の範囲を動くときの関数$f(t)$の最小値を$M(k)$とおくと，
\[ M(k)=\left( [レ]+e^P \right)^2,\quad \text{ただし} P=\frac{[ロ]}{[ワ]}k \]
となる．このとき
\[ \lim_{k \to +0} \frac{M(k)}{k^2}=\frac{[ヲ]}{[ン]} \]
である．
(1)$a,\ b$は$e^{-1}<a<1,\ b>0$を満たす実数とする．曲線$C:y=\log x$と直線$\ell:y=ax+b$とが接しているとすると，
\[ b=[モ] \log a+[ヤ] \]
が成り立つ．このとき，曲線$C$と$3$つの直線$\ell$，$x=1$，$x=e$とで囲まれた図形の面積を$S(a)$とする．$a$が$e^{-1}<a<1$の範囲を動くときの$S(a)$の最小値は
\[ \left( [ユ]e+[ヨ] \right) \log \left( \frac{e+[ラ]}{[リ]} \right) +[ル] \]
で与えられる．
(2)$k$を正の定数とし，$e^{-k}<t<1$である$t$に対して，
\[ f(t)=\int_0^k |e^{-x|-t} \, dx \]
とおく．$t$が$e^{-k}<t<1$の範囲を動くときの関数$f(t)$の最小値を$M(k)$とおくと，
\[ M(k)=\left( [レ]+e^P \right)^2,\quad \text{ただし} P=\frac{[ロ]}{[ワ]}k \]
となる．このとき
\[ \lim_{k \to +0} \frac{M(k)}{k^2}=\frac{[ヲ]}{[ン]} \]
である．
私立 西南学院大学 2012年 第3問原点を$\mathrm{O}$とし，下図のように$3$つの円$C_1$，$C_2$，$C_3$が互いに接している．$C_2$の中心を$\mathrm{O}_2$，$C_1$と$C_2$の接点を$\mathrm{P}$，$C_2$と$C_3$の接点を$\mathrm{Q}$，$C_3$と$C_1$の接点を$\mathrm{R}$とする．$C_1$と$C_2$の方程式が
\[ C_1:x^2+y^2=\left( \frac{\sqrt{3}-1}{2} \right)^2,\quad C_2:x^2+(y-\sqrt{3})^2=\left( \frac{\sqrt{3}+1}{2} \right)^2 \]
であるとき，以下の問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\displaystyle C_3:(x-[シ])^2+y^2=\left( \frac{[ス]-\sqrt{[セ]}}{[ソ]} \right)^2$である．
(2)弧$\mathrm{RP}$は円$C_1$の短い方の弧を指すものとし，他の弧についても同様とする．また扇形$\mathrm{RPO}$とは弧$\mathrm{RP}$を含む扇形とする．このとき，扇形$\mathrm{PQO}_2$の面積は
\[ \frac{[タ]+\sqrt{[チ]}}{[ツテ]}\pi \]
であることより，$3$つの弧$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{QR}$，$\mathrm{RP}$で囲まれる図形（図の斜線部）の面積は
\[ \frac{\sqrt{[ト]}}{[ナ]}-\frac{[ニ]-[ヌ] \sqrt{[ネ]}}{[ノ]} \pi \]
である．
\[ C_1:x^2+y^2=\left( \frac{\sqrt{3}-1}{2} \right)^2,\quad C_2:x^2+(y-\sqrt{3})^2=\left( \frac{\sqrt{3}+1}{2} \right)^2 \]
であるとき，以下の問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\displaystyle C_3:(x-[シ])^2+y^2=\left( \frac{[ス]-\sqrt{[セ]}}{[ソ]} \right)^2$である．
(2)弧$\mathrm{RP}$は円$C_1$の短い方の弧を指すものとし，他の弧についても同様とする．また扇形$\mathrm{RPO}$とは弧$\mathrm{RP}$を含む扇形とする．このとき，扇形$\mathrm{PQO}_2$の面積は
\[ \frac{[タ]+\sqrt{[チ]}}{[ツテ]}\pi \]
であることより，$3$つの弧$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{QR}$，$\mathrm{RP}$で囲まれる図形（図の斜線部）の面積は
\[ \frac{\sqrt{[ト]}}{[ナ]}-\frac{[ニ]-[ヌ] \sqrt{[ネ]}}{[ノ]} \pi \]
である．
私立 中央大学 2012年 第3問$f(x)=x^2+x+1$とおく．曲線$y=f(x)$に原点から引いた接線の方程式を$y=mx$，$y=m^\prime x (m<m^\prime)$とおく．また，それぞれの接点の$x$座標を$c,\ c^\prime$とおく．このとき，$c<0<c^\prime$である．実数$a$に対して連立不等式
\[ y \leqq f(x),\quad y \geqq mx,\quad y \geqq m^\prime x,\quad a \leqq x \leqq a+1 \]
の表す領域の面積を$S(a)$で表す．このとき，次の問に答えよ．
(1)定数$m,\ m^\prime,\ c,\ c^\prime$を求めよ．
(2)$0<a \leqq c^\prime$のとき，$S(a)$を求めよ．
(3)$c \leqq a \leqq 0$のとき，$S(a)$を求めよ．
(4)$c \leqq a \leqq c^\prime$のとき，$S(a)$の最大値と最小値を求めよ．
\[ y \leqq f(x),\quad y \geqq mx,\quad y \geqq m^\prime x,\quad a \leqq x \leqq a+1 \]
の表す領域の面積を$S(a)$で表す．このとき，次の問に答えよ．
(1)定数$m,\ m^\prime,\ c,\ c^\prime$を求めよ．
(2)$0<a \leqq c^\prime$のとき，$S(a)$を求めよ．
(3)$c \leqq a \leqq 0$のとき，$S(a)$を求めよ．
(4)$c \leqq a \leqq c^\prime$のとき，$S(a)$の最大値と最小値を求めよ．
私立 上智大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{OAB}$に対し，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}},\quad s \geqq 0,\quad t \geqq 0 \]
とする．また，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S$とする．
(i) $1 \leqq s+t \leqq 3$のとき，点$\mathrm{P}$の存在しうる領域の面積は$S$の$[ア]$倍である．
(ii) $1 \leqq s+2t \leqq 3$のとき，点$\mathrm{P}$の存在しうる領域の面積は$S$の$[イ]$倍である．
(2)$(\sqrt{2})^n$は$n$が奇数のとき無理数である．より一般に，$2$以上の整数$k$に対し，$(\sqrt[k]{2})^n$は$n$が$k$の倍数でないとき無理数である．したがって，$2$以上の整数$k$に対し，
\[ \left( \sqrt{2}x+\sqrt[k]{2} \right)^{100} \]
を展開して得られる$x$の多項式において，
(i) $x^{100}$の係数は$2$の$[ウ]$乗，
(ii) $n=0,\ 1,\ \cdots,\ 100$に対し，$x^n$の係数が整数となるような$n$の個数は
$k=2$のとき$[エ]$個
$k=3$のとき$[オ]$個
$k=5$のとき$[カ]$個
$k=7$のとき$[キ]$個
$k=51$のとき$[ク]$個
である．
(1)$\triangle \mathrm{OAB}$に対し，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}},\quad s \geqq 0,\quad t \geqq 0 \]
とする．また，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S$とする．
(i) $1 \leqq s+t \leqq 3$のとき，点$\mathrm{P}$の存在しうる領域の面積は$S$の$[ア]$倍である．
(ii) $1 \leqq s+2t \leqq 3$のとき，点$\mathrm{P}$の存在しうる領域の面積は$S$の$[イ]$倍である．
(2)$(\sqrt{2})^n$は$n$が奇数のとき無理数である．より一般に，$2$以上の整数$k$に対し，$(\sqrt[k]{2})^n$は$n$が$k$の倍数でないとき無理数である．したがって，$2$以上の整数$k$に対し，
\[ \left( \sqrt{2}x+\sqrt[k]{2} \right)^{100} \]
を展開して得られる$x$の多項式において，
(i) $x^{100}$の係数は$2$の$[ウ]$乗，
(ii) $n=0,\ 1,\ \cdots,\ 100$に対し，$x^n$の係数が整数となるような$n$の個数は
$k=2$のとき$[エ]$個
$k=3$のとき$[オ]$個
$k=5$のとき$[カ]$個
$k=7$のとき$[キ]$個
$k=51$のとき$[ク]$個
である．
私立 上智大学 2012年 第2問$xy$平面上で次の不等式の表す領域を$D$とする．
\[ \log_2(2y+1)-1 \leqq \log_2x \leqq 2+\log_2y \leqq \log_2x+\log_2(4-2x) \]
(1)$D$は次の不等式
\[ x \leqq [ケ]y \leqq [コ]x^2+[サ]x \]
および
\[ y \leqq [シ]x+\frac{[ス]}{[セ]} \]
により定まる領域である．
(2)$D$の面積は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ]}$である．
(3)$s<1$とし，点$(x,\ y)$が$D$上を動くとき，$y-sx$の最大値を$f(s)$とする．
(i) $[チ] \leqq s<1$のとき，$\displaystyle f(s)=[ツ]s+\frac{[テ]}{[ト]}$
(ii) $\displaystyle \frac{[ナ]}{[ニ]} \leqq s<[チ]$のとき，
\[ f(s)=\frac{[ヌ]}{[ネ]}s^2+[ノ]s+\frac{[ハ]}{[ヒ]} \]
(iii) $\displaystyle s<\frac{[ナ]}{[ニ]}$のとき，$\displaystyle f(s)=\frac{[フ]}{[ヘ]}s+\frac{[ホ]}{[マ]}$である．
\[ \log_2(2y+1)-1 \leqq \log_2x \leqq 2+\log_2y \leqq \log_2x+\log_2(4-2x) \]
(1)$D$は次の不等式
\[ x \leqq [ケ]y \leqq [コ]x^2+[サ]x \]
および
\[ y \leqq [シ]x+\frac{[ス]}{[セ]} \]
により定まる領域である．
(2)$D$の面積は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ]}$である．
(3)$s<1$とし，点$(x,\ y)$が$D$上を動くとき，$y-sx$の最大値を$f(s)$とする．
(i) $[チ] \leqq s<1$のとき，$\displaystyle f(s)=[ツ]s+\frac{[テ]}{[ト]}$
(ii) $\displaystyle \frac{[ナ]}{[ニ]} \leqq s<[チ]$のとき，
\[ f(s)=\frac{[ヌ]}{[ネ]}s^2+[ノ]s+\frac{[ハ]}{[ヒ]} \]
(iii) $\displaystyle s<\frac{[ナ]}{[ニ]}$のとき，$\displaystyle f(s)=\frac{[フ]}{[ヘ]}s+\frac{[ホ]}{[マ]}$である．
私立 中央大学 2012年 第2問$\mathrm{O}$を$xy$平面の原点とする．以下の設問に答えよ．
(1)$xy$平面上の点$\mathrm{A}(a_1,\ a_2)$と点$\mathrm{B}(b_1,\ b_2)$を考える．
\[ a_1>0,\quad a_2>0,\quad b_1>0,\quad b_2<0 \]
であるとき，$\triangle \mathrm{AOB}$の面積を$a_1,\ a_2,\ b_1,\ b_2$を用いて表せ．
(2)対数関数
\[ f(x)=\log_2x,\quad g(x)=\log_{\frac{1}{4}}x \]
に対し，$xy$平面上の曲線
\[ \begin{array}{ll}
C_1:y=f(x) & (x \geqq 1) \\
C_2:y=g(x) & (x \geqq 1)
\end{array} \]
を考える．$C_1$上に点$\mathrm{S}(s,\ f(s))$，$C_2$上に点$\mathrm{T}(t,\ g(t))$をとる．ただし，$s \cdot t=8$とする．このとき$s$を用いて，$\triangle \mathrm{SOT}$の面積$H(s)$を表せ．
(3)$(2)$の$H(s)$に対し，$H(3)$と$H(4)$の大小を比較せよ．
(1)$xy$平面上の点$\mathrm{A}(a_1,\ a_2)$と点$\mathrm{B}(b_1,\ b_2)$を考える．
\[ a_1>0,\quad a_2>0,\quad b_1>0,\quad b_2<0 \]
であるとき，$\triangle \mathrm{AOB}$の面積を$a_1,\ a_2,\ b_1,\ b_2$を用いて表せ．
(2)対数関数
\[ f(x)=\log_2x,\quad g(x)=\log_{\frac{1}{4}}x \]
に対し，$xy$平面上の曲線
\[ \begin{array}{ll}
C_1:y=f(x) & (x \geqq 1) \\
C_2:y=g(x) & (x \geqq 1)
\end{array} \]
を考える．$C_1$上に点$\mathrm{S}(s,\ f(s))$，$C_2$上に点$\mathrm{T}(t,\ g(t))$をとる．ただし，$s \cdot t=8$とする．このとき$s$を用いて，$\triangle \mathrm{SOT}$の面積$H(s)$を表せ．
(3)$(2)$の$H(s)$に対し，$H(3)$と$H(4)$の大小を比較せよ．
私立 東京理科大学 2012年 第1問次の文章中の$[ア]$から$[ヒ]$までに当てはまる数字$0$～$9$を求めよ．ただし，分数は既約分数として表しなさい．
(1)$a$を実数とするとき，方程式
\[ |x|-|x^2-4|+|x+6|=a \]
を考える．この方程式の実数解が$2$個であるための条件は
\[ a<[ア],\quad [イ]<a<[ウ][エ] \]
であり，実数解を持たないための条件は
\[ a>[オ][カ] \]
である．また，次の不等式
\[ |x|-|x^2-4|+|x+6|>2 \]
には，正の整数解が$[キ]$個，負の整数解が$[ク]$個ある．
(2)空間内に点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき，それぞれの大きさと内積が
\[ \begin{array}{l}
|\overrightarrow{a}|=9,\quad |\overrightarrow{b}|=12,\quad |\overrightarrow{c}|=\sqrt{42}, \\ \\
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=72,\quad \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=57,\quad \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=48
\end{array} \]
であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角は$\displaystyle \frac{1}{[ケ]} \pi$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[コ][サ]}{[シ]}$である．ベクトル
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+s \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
が$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面と直交するのは$\displaystyle s=\frac{[ス]}{[セ]}$，$\displaystyle t=\frac{[ソ]}{[タ]}$のときである．したがって，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$[チ][ツ]$である．
(3)三角関数についての等式
\[ [テ] \cos^3 \theta-[ト] \cos \theta-\cos 3\theta=0 \]
を利用して，$t$に関する$3$次方程式
\[ [テ]t^3-[ト]t-\frac{\sqrt{2}}{2}=0 \]
を解いたとき，$\displaystyle \cos \frac{3}{4} \pi$が解の$1$つであることがわかる．したがって，この方程式の残りの$2$つの解は
\[ \cos \frac{[ナ]}{12} \pi=\frac{\sqrt{[ニ]}+\sqrt{[ヌ]}}{[ネ]} \]
と
\[ \cos \frac{[ノ]}{12} \pi=\frac{\sqrt{[ニ]}-\sqrt{[ヌ]}}{[ネ]} \]
となる．これより，
\[ \tan \frac{[ナ]}{12} \pi=[ハ]-\sqrt{[ヒ]} \]
となる．
(1)$a$を実数とするとき，方程式
\[ |x|-|x^2-4|+|x+6|=a \]
を考える．この方程式の実数解が$2$個であるための条件は
\[ a<[ア],\quad [イ]<a<[ウ][エ] \]
であり，実数解を持たないための条件は
\[ a>[オ][カ] \]
である．また，次の不等式
\[ |x|-|x^2-4|+|x+6|>2 \]
には，正の整数解が$[キ]$個，負の整数解が$[ク]$個ある．
(2)空間内に点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき，それぞれの大きさと内積が
\[ \begin{array}{l}
|\overrightarrow{a}|=9,\quad |\overrightarrow{b}|=12,\quad |\overrightarrow{c}|=\sqrt{42}, \\ \\
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=72,\quad \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=57,\quad \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=48
\end{array} \]
であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角は$\displaystyle \frac{1}{[ケ]} \pi$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[コ][サ]}{[シ]}$である．ベクトル
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+s \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
が$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面と直交するのは$\displaystyle s=\frac{[ス]}{[セ]}$，$\displaystyle t=\frac{[ソ]}{[タ]}$のときである．したがって，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$[チ][ツ]$である．
(3)三角関数についての等式
\[ [テ] \cos^3 \theta-[ト] \cos \theta-\cos 3\theta=0 \]
を利用して，$t$に関する$3$次方程式
\[ [テ]t^3-[ト]t-\frac{\sqrt{2}}{2}=0 \]
を解いたとき，$\displaystyle \cos \frac{3}{4} \pi$が解の$1$つであることがわかる．したがって，この方程式の残りの$2$つの解は
\[ \cos \frac{[ナ]}{12} \pi=\frac{\sqrt{[ニ]}+\sqrt{[ヌ]}}{[ネ]} \]
と
\[ \cos \frac{[ノ]}{12} \pi=\frac{\sqrt{[ニ]}-\sqrt{[ヌ]}}{[ネ]} \]
となる．これより，
\[ \tan \frac{[ナ]}{12} \pi=[ハ]-\sqrt{[ヒ]} \]
となる．