「面積」について
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国立 長崎大学 2012年 第5問関数$f(x)=xe^{-x^2}$について，次の問いに答えよ．
(1)$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸，および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x^2}=0,\ \lim_{x \to -\infty}xe^{-x^2}=0$を用いてよい．
(2)$y=f(x)$の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$t>0$とする．曲線$y=f(x)$，$x$軸，および直線$x=t$で囲まれた部分の面積$S(t)$を求めよ．
(4)(3)で求めた$S(t)$について，$\displaystyle \lim_{t \to \infty}S(t)$を求めよ．
(1)$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸，および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x^2}=0,\ \lim_{x \to -\infty}xe^{-x^2}=0$を用いてよい．
(2)$y=f(x)$の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$t>0$とする．曲線$y=f(x)$，$x$軸，および直線$x=t$で囲まれた部分の面積$S(t)$を求めよ．
(4)(3)で求めた$S(t)$について，$\displaystyle \lim_{t \to \infty}S(t)$を求めよ．
国立 山口大学 2012年 第3問2点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は，$\mathrm{AB}=2$を満たしながら放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2-x+\frac{3}{2}$の上を動く点とする．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{P}$の$x$座標をそれぞれ$a,\ b,\ p$とするとき，$a+b$と$ab$の値をそれぞれ$p$を用いて表しなさい．
(2)$\mathrm{P}$の$y$座標を$p$を用いて表しなさい．
(3)$\mathrm{P}$の$x$座標に対して$\mathrm{P}$の$y$座標を定める関数を$y=f(x)$とする．2つの曲線$y=f(x)$，$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2-x+\frac{3}{2}$と2直線$x=0,\ x=2$で囲まれた図形の面積を求めなさい．
(1)$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{P}$の$x$座標をそれぞれ$a,\ b,\ p$とするとき，$a+b$と$ab$の値をそれぞれ$p$を用いて表しなさい．
(2)$\mathrm{P}$の$y$座標を$p$を用いて表しなさい．
(3)$\mathrm{P}$の$x$座標に対して$\mathrm{P}$の$y$座標を定める関数を$y=f(x)$とする．2つの曲線$y=f(x)$，$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2-x+\frac{3}{2}$と2直線$x=0,\ x=2$で囲まれた図形の面積を求めなさい．
国立 山口大学 2012年 第3問$a<b$とする．放物線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$における接線を$\ell_1$とし，点$\mathrm{B}(b,\ b^2)$における接線を$\ell_2$とする．$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，次の問いに答えなさい．
(1)$\mathrm{P}$の座標を$a,\ b$を用いて表しなさい．
(2)$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とし，点$\mathrm{D}(p,\ p^2)$における放物線$C$の接線を$\ell_3$とする．$\ell_1$と$\ell_3$の交点を$\mathrm{Q}$，$\ell_2$と$\ell_3$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{QR}}$を求めなさい．
(3)放物線$C$と線分$\mathrm{AB}$で囲まれた図形の面積を$S_1$，三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めなさい．
(1)$\mathrm{P}$の座標を$a,\ b$を用いて表しなさい．
(2)$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とし，点$\mathrm{D}(p,\ p^2)$における放物線$C$の接線を$\ell_3$とする．$\ell_1$と$\ell_3$の交点を$\mathrm{Q}$，$\ell_2$と$\ell_3$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{QR}}$を求めなさい．
(3)放物線$C$と線分$\mathrm{AB}$で囲まれた図形の面積を$S_1$，三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めなさい．
国立 山口大学 2012年 第4問半径1の円周上に等間隔に並んだ8個の点がある．これらの中から相異なる3個の点を同時に選び，それらを結んで三角形をつくる．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)何種類の異なる三角形がつくられるかを答えなさい．ただし，合同な三角形は同じものとみなすことにする．
(2)面積が最大の三角形がつくられる確率と，その三角形の面積を求めなさい．
(3)つくられる三角形の面積の期待値を求めなさい．
(1)何種類の異なる三角形がつくられるかを答えなさい．ただし，合同な三角形は同じものとみなすことにする．
(2)面積が最大の三角形がつくられる確率と，その三角形の面積を求めなさい．
(3)つくられる三角形の面積の期待値を求めなさい．
国立 防衛大学校 2012年 第1問$2$つの関数$f(x)=x^2+ax+2,\ g(x)=-x^2+bx+2$が，$\displaystyle f^\prime \left( \frac{a+1}{2} \right)=g^\prime \left( \frac{a+1}{2} \right)$をみたしている．このとき，次の問に答えよ．ただし，$a,\ b$は定数で$a<-1$とする．
(1)$b$を$a$で表せ．
(2)$2$つの曲線$C_1:y=f(x)$と$C_2:y=g(x)$のすべての共有点について，その$x$座標を$a$の式で表せ．
(3)$C_1$と$C_2$が囲む部分の面積を$S$とするとき，$S$を$a$で表せ．
(4)$\displaystyle S=\frac{7}{3} |a+1|+2$となるような$a$の値を求めよ．
(1)$b$を$a$で表せ．
(2)$2$つの曲線$C_1:y=f(x)$と$C_2:y=g(x)$のすべての共有点について，その$x$座標を$a$の式で表せ．
(3)$C_1$と$C_2$が囲む部分の面積を$S$とするとき，$S$を$a$で表せ．
(4)$\displaystyle S=\frac{7}{3} |a+1|+2$となるような$a$の値を求めよ．
国立 防衛大学校 2012年 第2問平面上のベクトル$\overrightarrow{a_n}$，$\overrightarrow{b_n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を，$\overrightarrow{a_1}=(4,\ 0)$，$\overrightarrow{b_1}=(0,\ 4)$と関係式
\[ \overrightarrow{a_{n+1}}=\frac{3 \overrightarrow{a_n}+\overrightarrow{b_n}}{4},\quad \overrightarrow{b_{n+1}}=\frac{\overrightarrow{a_n}-3 \overrightarrow{b_n}}{4} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．さらに原点を$\mathrm{O}$とし，$\overrightarrow{a_n}=\overrightarrow{\mathrm{OA}_n}$，$\overrightarrow{b_n}=\overrightarrow{\mathrm{OB}_n}$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{a_2},\ \overrightarrow{b_2}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{a_{n+2}}$を$\overrightarrow{a_n}$で表せ．
(3)$\triangle \mathrm{OA}_n \mathrm{B}_n$の面積を$S_n$とするとき，$\displaystyle \frac{S_{n+1}}{S_n}$の値を求めよ．
(4)$S_1+S_2+\cdots +S_n>21$をみたす最小の自然数$n$を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
\[ \overrightarrow{a_{n+1}}=\frac{3 \overrightarrow{a_n}+\overrightarrow{b_n}}{4},\quad \overrightarrow{b_{n+1}}=\frac{\overrightarrow{a_n}-3 \overrightarrow{b_n}}{4} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．さらに原点を$\mathrm{O}$とし，$\overrightarrow{a_n}=\overrightarrow{\mathrm{OA}_n}$，$\overrightarrow{b_n}=\overrightarrow{\mathrm{OB}_n}$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{a_2},\ \overrightarrow{b_2}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{a_{n+2}}$を$\overrightarrow{a_n}$で表せ．
(3)$\triangle \mathrm{OA}_n \mathrm{B}_n$の面積を$S_n$とするとき，$\displaystyle \frac{S_{n+1}}{S_n}$の値を求めよ．
(4)$S_1+S_2+\cdots +S_n>21$をみたす最小の自然数$n$を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
国立 豊橋技術科学大学 2012年 第1問座標平面上の点を，原点のまわりに角$\theta$だけ回転移動させる一次変換を表す$2$行$2$列の行列を$A$とする．以下の問いに答えよ．
(1)座標平面上の点$\mathrm{P}_0(a,\ b)$が$A$によって変換された点を点$\mathrm{P}_1$とする．$2$点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$の間の長さを求めよ．
(2)$A^n=E$となる条件を示せ．ただし，$n$は$2$以上の整数，$0 \leqq \theta \leqq \pi$，$E$は単位行列とする．
(3)座標平面上の点$\mathrm{P}_0(a,\ b)$が$A$によって$l$回変換された点を点$\mathrm{P}_l$とする．点$\mathrm{P}_0$が$A$によって$n$回変換されると，原点の周りを$1$周して元の点$\mathrm{P}_0$に戻るとする．$n$個の点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\cdots$，$\mathrm{P}_{n-1}$で囲まれた$n$角形の面積$S_n$を求めよ．また，$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$を用いて，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
(4)座標平面上の点を，原点からの方向を変えずに距離を$k$倍する一次変換を表す$2$行$2$列の行列を$B$とする．座標平面上の点$\mathrm{Q}_{i-1}$が一次変換$AB$によって点$\mathrm{Q}_i$に移るとする．点$\mathrm{Q}_0$を$(c_0,\ d_0)$とするとき，$2$点$\mathrm{Q}_{i-1}$，$\mathrm{Q}_i$の間の長さ$m_i$を$k,\ \theta,\ c_0,\ d_0$を用いて表せ．
(1)座標平面上の点$\mathrm{P}_0(a,\ b)$が$A$によって変換された点を点$\mathrm{P}_1$とする．$2$点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$の間の長さを求めよ．
(2)$A^n=E$となる条件を示せ．ただし，$n$は$2$以上の整数，$0 \leqq \theta \leqq \pi$，$E$は単位行列とする．
(3)座標平面上の点$\mathrm{P}_0(a,\ b)$が$A$によって$l$回変換された点を点$\mathrm{P}_l$とする．点$\mathrm{P}_0$が$A$によって$n$回変換されると，原点の周りを$1$周して元の点$\mathrm{P}_0$に戻るとする．$n$個の点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\cdots$，$\mathrm{P}_{n-1}$で囲まれた$n$角形の面積$S_n$を求めよ．また，$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$を用いて，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
(4)座標平面上の点を，原点からの方向を変えずに距離を$k$倍する一次変換を表す$2$行$2$列の行列を$B$とする．座標平面上の点$\mathrm{Q}_{i-1}$が一次変換$AB$によって点$\mathrm{Q}_i$に移るとする．点$\mathrm{Q}_0$を$(c_0,\ d_0)$とするとき，$2$点$\mathrm{Q}_{i-1}$，$\mathrm{Q}_i$の間の長さ$m_i$を$k,\ \theta,\ c_0,\ d_0$を用いて表せ．
国立 豊橋技術科学大学 2012年 第3問曲線$y^2-2xy+x^3=0$について，以下の問いに答えよ．ただし，$x$および$y$は$x \geqq 0,\ y \geqq 0$の実数とする．
(1)$y$についての解を求めよ．
(2)曲線の概形を描き，$x$および$y$のとりえる値の範囲を求めよ．
(3)直線$y=x$と曲線のうち$y \geqq x$を満たす線分で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(1)$y$についての解を求めよ．
(2)曲線の概形を描き，$x$および$y$のとりえる値の範囲を求めよ．
(3)直線$y=x$と曲線のうち$y \geqq x$を満たす線分で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
国立 防衛大学校 2012年 第3問座標平面上の$3$点$(0,\ 0)$，$(6,\ 0)$，$(0,\ 6)$を頂点とする三角形と$4$点$(0,\ t)$，$(0,\ t-4)$，$(4,\ t-4)$，$(4,\ t)$を頂点とする正方形の共通部分の面積を$S(t)$とする．このとき，次の問に答えよ．ただし，$2 \leqq t \leqq 6$とする．
(1)$S(2)$と$S(6)$の値を求めよ．
(2)$S(t)$を最大にする$t$の値と，$S(t)$の最大値$M$を求めよ．
(3)$2 \leqq t \leqq 5$のとき，$S(t)=S(t+1)$をみたす$t$の値を求めよ．
(1)$S(2)$と$S(6)$の値を求めよ．
(2)$S(t)$を最大にする$t$の値と，$S(t)$の最大値$M$を求めよ．
(3)$2 \leqq t \leqq 5$のとき，$S(t)=S(t+1)$をみたす$t$の値を求めよ．
国立 防衛大学校 2012年 第5問$a$を$0<a<\log 2$となる定数とし，曲線$C$と直線$\ell$を
\[ C:y=\log x \quad (x>0) \qquad \ell:y=a \]
により定める．このとき，次の問に答えよ．
(1)$C$と$\ell$および直線$x=1$で囲まれた部分の面積を$S_1$とするとき，$S_1$を$a$で表せ．
(2)$C$と$\ell$および直線$x=2$で囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$S_1=S_2$となる$a$の値を求めよ．
(3)$S=S_1+S_2$とするとき，$S$の値が最小となる$a$の値を求めよ．
\[ C:y=\log x \quad (x>0) \qquad \ell:y=a \]
により定める．このとき，次の問に答えよ．
(1)$C$と$\ell$および直線$x=1$で囲まれた部分の面積を$S_1$とするとき，$S_1$を$a$で表せ．
(2)$C$と$\ell$および直線$x=2$で囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$S_1=S_2$となる$a$の値を求めよ．
(3)$S=S_1+S_2$とするとき，$S$の値が最小となる$a$の値を求めよ．