「面積」について
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公立 大阪府立大学 2013年 第5問$g(x)=\sin^3 x$とおき，$0<\theta<\pi$とする．$x$の$2$次関数$y=h(x)$のグラフは原点を頂点とし，$h(\theta)=g(\theta)$を満たすとする．このとき，曲線$y=g(x) (0 \leqq x \leqq \theta)$と直線$x=\theta$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$G(\theta)$とおく．また，曲線$y=h(x)$と直線$x=\theta$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$H(\theta)$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$H(\theta)$を求めよ．
(2)$\displaystyle G(\theta)=\frac{1}{3}(1-\cos \theta)^2(2+\cos \theta)$を証明せよ．
(3)$\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\frac{G(\theta)}{H(\theta)}$を求めよ．
(1)$H(\theta)$を求めよ．
(2)$\displaystyle G(\theta)=\frac{1}{3}(1-\cos \theta)^2(2+\cos \theta)$を証明せよ．
(3)$\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\frac{G(\theta)}{H(\theta)}$を求めよ．
公立 九州歯科大学 2013年 第2問曲線$y=\sin x$上の点$\mathrm{P}(\theta,\ \sin \theta)$における曲線の接線$\ell_1$と$x$軸との交点を$\mathrm{K}$とする．また，点$\mathrm{P}$から$x$軸へ下した垂線$\ell_2$と$x$軸との交点を$\mathrm{H}$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(1)接線$\ell_1$を$y=Ax+B$とおくとき，$A$と$B$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{PKH}$の面積$S$を$\cos \theta$を用いて表せ．
(3)$S=1$となる$\cos \theta$の値を求めよ．
(4)座標平面の原点を$\mathrm{O}$とする．また，曲線$y=\sin x$と二つの線分$\mathrm{OH}$，$\mathrm{PH}$で囲まれた図形の面積を$T$とする．$S:T=3:2$となる$\theta$の値を求めよ．
(1)接線$\ell_1$を$y=Ax+B$とおくとき，$A$と$B$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{PKH}$の面積$S$を$\cos \theta$を用いて表せ．
(3)$S=1$となる$\cos \theta$の値を求めよ．
(4)座標平面の原点を$\mathrm{O}$とする．また，曲線$y=\sin x$と二つの線分$\mathrm{OH}$，$\mathrm{PH}$で囲まれた図形の面積を$T$とする．$S:T=3:2$となる$\theta$の値を求めよ．
公立 首都大学東京 2013年 第1問$\overrightarrow{a}=(1,\ 0,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 1,\ 0)$とする．点$\mathrm{P}(1,\ 1,\ 0)$を通り，$\overrightarrow{a}$に平行な直線を$\ell_1$とし，点$\mathrm{Q}(0,\ 0,\ 1)$を通り，$\overrightarrow{b}$に平行な直線を$\ell_2$とする．以下の問いに答えなさい．
(1)$\ell_1$上の点$\mathrm{R}$と$\ell_2$上の点$\mathrm{S}$を通る直線$\ell_3$が，$\ell_1$と$\ell_2$に垂直であるとする．このとき，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$の座標を求めなさい．
(2)$\ell_1$上の$2$点$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が$\mathrm{EF}=2$を満たしながら動き，$\ell_2$上を点$\mathrm{G}$が動くとき，$\triangle \mathrm{EFG}$の面積の最小値を求めなさい．
(1)$\ell_1$上の点$\mathrm{R}$と$\ell_2$上の点$\mathrm{S}$を通る直線$\ell_3$が，$\ell_1$と$\ell_2$に垂直であるとする．このとき，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$の座標を求めなさい．
(2)$\ell_1$上の$2$点$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が$\mathrm{EF}=2$を満たしながら動き，$\ell_2$上を点$\mathrm{G}$が動くとき，$\triangle \mathrm{EFG}$の面積の最小値を求めなさい．
公立 首都大学東京 2013年 第3問原点を$\mathrm{O}$とする座標平面で，関数$y=\sqrt{x^2-1} (x \geqq 1)$のグラフを$C$とする．また，$t>1$を満たす実数$t$に対し，直線$x+y=t$と$C$との交点を$\mathrm{P}$，直線$x+y=t$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えなさい．
(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さ$f(t)$を求めなさい．
(2)次の極限値を求めなさい．
\[ \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n f \left( 1+\frac{k(t-1)}{n} \right) \frac{t-1}{\sqrt{2}n} \]
(3)線分$\mathrm{OP}$，$x$軸および$C$で囲まれる図形の面積を$S$とする．$S$を用いて点$\mathrm{P}$の座標を表しなさい．
(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さ$f(t)$を求めなさい．
(2)次の極限値を求めなさい．
\[ \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n f \left( 1+\frac{k(t-1)}{n} \right) \frac{t-1}{\sqrt{2}n} \]
(3)線分$\mathrm{OP}$，$x$軸および$C$で囲まれる図形の面積を$S$とする．$S$を用いて点$\mathrm{P}$の座標を表しなさい．
公立 大阪府立大学 2013年 第3問座標平面上の点$\mathrm{P}(0,\ -1)$を中心とする半径$2$の円を$C$とする．$C$上に点$\mathrm{Q}(0,\ 1)$をとる．点$\mathrm{R}$を$C$上の点で$\angle \mathrm{QPR}=120^\circ$をみたし，$\mathrm{R}$の$x$座標は負であるようにとる．$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$を両端として，中心角が$120^\circ$である$C$の弧を$A$とする．さらに，$a$を実数の定数として，直線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x+a$を$\ell$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$A$と$\ell$の共有点の個数を求めよ．
(3)$A$と$\ell$が相異なる$2$つの共有点をもつとき，$A$と$\ell$で囲まれた部分の面積を$S(a)$とする．$S(a)$が最大になるときの$a$の値と，そのときの$S(a)$の値を求めよ．
(1)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$A$と$\ell$の共有点の個数を求めよ．
(3)$A$と$\ell$が相異なる$2$つの共有点をもつとき，$A$と$\ell$で囲まれた部分の面積を$S(a)$とする．$S(a)$が最大になるときの$a$の値と，そのときの$S(a)$の値を求めよ．
公立 大阪府立大学 2013年 第6問$2$次関数$\displaystyle y=\sqrt{2}x^2-\frac{\sqrt{2}}{4}$のグラフを$C$とする．以下の問いに答えよ．
(1)相異なる実数$s,\ t$に対し，$C$上の点$\displaystyle \left( s,\ \sqrt{2}s^2-\frac{\sqrt{2}}{4} \right)$，$\displaystyle \left( t,\ \sqrt{2}t^2-\frac{\sqrt{2}}{4} \right)$における$C$の法線をそれぞれ$\ell_s,\ \ell_t$で表す．$\ell_s$と$\ell_t$の交点の座標を求めよ．ただし，曲線$C$上の点$\mathrm{P}$における法線とは，$\mathrm{P}$を通り，$\mathrm{P}$における$C$の接線と垂直に交わる直線のことである．
(2)$t$を固定して$s$を$t$に近づけるとき，(1)で求めた交点の$x$座標と$y$座標が近づく値をそれぞれ$f(t)$，$g(t)$で表す．このとき，$f(t)$，$g(t)$を求めよ．
(3)(2)で求めた$f(t)$，$g(t)$を，実数全体で定義された$t$の関数とみなして，
\[ x=f(t),\quad y=g(t) \]
によって媒介変数表示される曲線を$D$とする．このとき，$C$と$D$によって囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)相異なる実数$s,\ t$に対し，$C$上の点$\displaystyle \left( s,\ \sqrt{2}s^2-\frac{\sqrt{2}}{4} \right)$，$\displaystyle \left( t,\ \sqrt{2}t^2-\frac{\sqrt{2}}{4} \right)$における$C$の法線をそれぞれ$\ell_s,\ \ell_t$で表す．$\ell_s$と$\ell_t$の交点の座標を求めよ．ただし，曲線$C$上の点$\mathrm{P}$における法線とは，$\mathrm{P}$を通り，$\mathrm{P}$における$C$の接線と垂直に交わる直線のことである．
(2)$t$を固定して$s$を$t$に近づけるとき，(1)で求めた交点の$x$座標と$y$座標が近づく値をそれぞれ$f(t)$，$g(t)$で表す．このとき，$f(t)$，$g(t)$を求めよ．
(3)(2)で求めた$f(t)$，$g(t)$を，実数全体で定義された$t$の関数とみなして，
\[ x=f(t),\quad y=g(t) \]
によって媒介変数表示される曲線を$D$とする．このとき，$C$と$D$によって囲まれた部分の面積を求めよ．
公立 会津大学 2013年 第1問次の空欄をうめよ．
(1)次の積分を求めよ．
(i) $\displaystyle \int_{-2}^1 x \sqrt{x+3} \, dx=[イ]$
(ii) $\displaystyle \int_0^\pi e^x \sin x \, dx=[ロ]$
(2)$2$つの放物線$y=4x^2$と$y=(x-1)^2$で囲まれた部分の面積は$[ハ]$である．
(3)$\sqrt{-2} \, \sqrt{-3}=[ニ]$である．
(4)方程式$\log_3(x-5)=2-\log_3(x+3)$の解は$x=[ホ]$である．
(5)$0 \leqq x \leqq \pi$において$\displaystyle \sin 2x-\frac{1}{2}=\sin x-\cos x$のとき，$x=[ヘ]$である．
(6)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を重複なく用いて作られる$5$桁の整数を小さい順に並べる．初めて$20000$以上になる整数は$[ト]$で，それは$[チ]$番目である．
(1)次の積分を求めよ．
(i) $\displaystyle \int_{-2}^1 x \sqrt{x+3} \, dx=[イ]$
(ii) $\displaystyle \int_0^\pi e^x \sin x \, dx=[ロ]$
(2)$2$つの放物線$y=4x^2$と$y=(x-1)^2$で囲まれた部分の面積は$[ハ]$である．
(3)$\sqrt{-2} \, \sqrt{-3}=[ニ]$である．
(4)方程式$\log_3(x-5)=2-\log_3(x+3)$の解は$x=[ホ]$である．
(5)$0 \leqq x \leqq \pi$において$\displaystyle \sin 2x-\frac{1}{2}=\sin x-\cos x$のとき，$x=[ヘ]$である．
(6)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を重複なく用いて作られる$5$桁の整数を小さい順に並べる．初めて$20000$以上になる整数は$[ト]$で，それは$[チ]$番目である．
公立 高崎経済大学 2013年 第4問$3$次関数$f(x)=x^3+3x^2-9x$について，以下の各問いに答えよ．
(1)$y=f(x)$のグラフにおいて，$f(x)$が極大となる点を$\mathrm{A}$，極小となる点を$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{A}$および$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$を両端とする線分の中点を$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(3)$y=f(x)$のグラフ上に点$\mathrm{D}$をとる．ただし，$\mathrm{D}$の$x$座標は$\mathrm{B}$の$x$座標より大きいものとする．いま，三角形$\mathrm{BCD}$の面積が$480$であるとき，$\mathrm{C}$と$\mathrm{D}$を結ぶ直線の式を求めよ．
(1)$y=f(x)$のグラフにおいて，$f(x)$が極大となる点を$\mathrm{A}$，極小となる点を$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{A}$および$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$を両端とする線分の中点を$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(3)$y=f(x)$のグラフ上に点$\mathrm{D}$をとる．ただし，$\mathrm{D}$の$x$座標は$\mathrm{B}$の$x$座標より大きいものとする．いま，三角形$\mathrm{BCD}$の面積が$480$であるとき，$\mathrm{C}$と$\mathrm{D}$を結ぶ直線の式を求めよ．
公立 宮城大学 2013年 第1問次の空欄$[ア]$から$[サ]$にあてはまる数や式を書きなさい．
(1)次の等式を満たす自然数$n$の値を求めたい．
\[ \log_5 \left( \comb{n}{n-2} \right) =\frac{1}{2} \log_5 784 \]
$784=[ア]^2 \times [イ]^2$（ただし，$[ア]$，$[イ]$は$1<[ア]<[イ]<10$を満たす自然数とする．）だから，
\[ \log_5 \left( \comb{n}{n-2} \right) =\log_5 [ウ] \]
ゆえに，$\displaystyle \frac{[エ]}{2 \cdot 1}=[ウ]$である．$n$は自然数だから，$n=[オ]$である．
(2)$2$次関数$y=-x^2+2mx+3m^2$を平方完成すれば，
\[ y=-\left( x-[カ] \right)^2+[キ] \quad \cdots\cdots① \]
となる．したがって，$①$の頂点の軌跡は，放物線
\[ y=[ク]x^2 \quad \cdots\cdots② \]
上にある．
$2$つの放物線$①$と$②$の交点の$x$座標を$m$を用いて表せば，
\[ x=[ケ] \quad \text{または} \quad x=[コ] \text{である．} \]
また，$2$つの放物線$①$と$②$で囲まれた部分の面積が$\displaystyle \frac{5}{6}$のとき，
\[ m=[サ] \quad \text{（ただし，} m>0 \text{とする．）である．} \]
(1)次の等式を満たす自然数$n$の値を求めたい．
\[ \log_5 \left( \comb{n}{n-2} \right) =\frac{1}{2} \log_5 784 \]
$784=[ア]^2 \times [イ]^2$（ただし，$[ア]$，$[イ]$は$1<[ア]<[イ]<10$を満たす自然数とする．）だから，
\[ \log_5 \left( \comb{n}{n-2} \right) =\log_5 [ウ] \]
ゆえに，$\displaystyle \frac{[エ]}{2 \cdot 1}=[ウ]$である．$n$は自然数だから，$n=[オ]$である．
(2)$2$次関数$y=-x^2+2mx+3m^2$を平方完成すれば，
\[ y=-\left( x-[カ] \right)^2+[キ] \quad \cdots\cdots① \]
となる．したがって，$①$の頂点の軌跡は，放物線
\[ y=[ク]x^2 \quad \cdots\cdots② \]
上にある．
$2$つの放物線$①$と$②$の交点の$x$座標を$m$を用いて表せば，
\[ x=[ケ] \quad \text{または} \quad x=[コ] \text{である．} \]
また，$2$つの放物線$①$と$②$で囲まれた部分の面積が$\displaystyle \frac{5}{6}$のとき，
\[ m=[サ] \quad \text{（ただし，} m>0 \text{とする．）である．} \]
公立 名古屋市立大学 2013年 第1問$m$を整数として，二次関数$f(x)=x^2+mx+3$を考える．次の問いに答えよ．
(1)$f(x)=0$の解がすべて整数となる$2$個の$m$の値$m_1,\ m_2$を求めよ．
(2)$g(x)=\min (x^2+m_1x+3,\ x^2+m_2x+3)$としたとき，$x$軸と曲線$y=g(x)$によって囲まれる図形の面積を求めよ．ただし，$\min (a,\ b)$は$a,\ b$のうち大きくない方の値を表す．
(1)$f(x)=0$の解がすべて整数となる$2$個の$m$の値$m_1,\ m_2$を求めよ．
(2)$g(x)=\min (x^2+m_1x+3,\ x^2+m_2x+3)$としたとき，$x$軸と曲線$y=g(x)$によって囲まれる図形の面積を求めよ．ただし，$\min (a,\ b)$は$a,\ b$のうち大きくない方の値を表す．