「面積」について
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国立 香川大学 2016年 第5問$a>0$とし，座標平面上の点$\mathrm{A}(a,\ 0)$から曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x}$に引いた接線を$\ell$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$と接線$\ell$，および直線$x=a$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$と接線$\ell$，および直線$x=a$で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 佐賀大学 2016年 第3問$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(4,\ 0)$，$\mathrm{P}(t,\ 0)$をとる．ただし，$0<t<4$とする．さらに放物線$C:y=-x^2+7x$上に$2$点$\mathrm{B}(4,\ 12)$，$\mathrm{Q}(t,\ -t^2+7t)$をとる．$\triangle \mathrm{APB}$の面積を$f(t)$とし，放物線$C$，線分$\mathrm{PQ}$，線分$\mathrm{OP}$によって囲まれた図形の面積を$g(t)$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$f(t)$を$t$を用いて表せ．
(2)$g(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)$h(t)=f(t)+g(t)$とおく．$0<t<4$における$h(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．
(1)$f(t)$を$t$を用いて表せ．
(2)$g(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)$h(t)=f(t)+g(t)$とおく．$0<t<4$における$h(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2016年 第2問空間に$5$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(b,\ c,\ 0)$，$\mathrm{C}(d,\ e,\ 4)$，$\mathrm{T}(d,\ e,\ t)$があり，このうちの$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が正四面体の頂点になっているとする．ただし，$a,\ b,\ c,\ d,\ e$はいずれも正の実数で，$0<t<4$とする．
(1)$a,\ b,\ c,\ d,\ e$の値を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{OTA}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{OTC}=\angle \mathrm{OTA}$となるときの$t$の値を求めよ．また，そのときの$\cos \angle \mathrm{OTA}$の値と三角形$\mathrm{OTA}$の面積を求めよ．
(1)$a,\ b,\ c,\ d,\ e$の値を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{OTA}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{OTC}=\angle \mathrm{OTA}$となるときの$t$の値を求めよ．また，そのときの$\cos \angle \mathrm{OTA}$の値と三角形$\mathrm{OTA}$の面積を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2016年 第2問空間に$5$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(b,\ c,\ 0)$，$\mathrm{C}(d,\ e,\ 4)$，$\mathrm{T}(d,\ e,\ t)$があり，このうちの$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が正四面体の頂点になっているとする．ただし，$a,\ b,\ c,\ d,\ e$はいずれも正の実数で，$0<t<4$とする．
(1)$a,\ b,\ c,\ d,\ e$の値を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{OTA}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{OTC}=\angle \mathrm{OTA}$となるときの$t$の値を求めよ．また，そのときの$\cos \angle \mathrm{OTA}$の値と三角形$\mathrm{OTA}$の面積を求めよ．
(1)$a,\ b,\ c,\ d,\ e$の値を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{OTA}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{OTC}=\angle \mathrm{OTA}$となるときの$t$の値を求めよ．また，そのときの$\cos \angle \mathrm{OTA}$の値と三角形$\mathrm{OTA}$の面積を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2016年 第3問$f(x)=x^3+2x^2-x-2$とし，$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$における$C$の接線を$\ell$とおく．$\ell$が$2$直線$x=-1$，$x=1$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$t$が$-1<t<1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{OQR}$の面積を$S(t)$とおく．$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S(t)$の最小値，およびそのときの$t$の値を求めよ．
(4)$t<1$のとき，$\ell$と$C$が$t<s<1$を満たす点$\mathrm{U}(s,\ f(s))$で交わるような$t$の範囲を求めよ．またそのとき，線分$\mathrm{PU}$と$C$とで囲まれる部分の面積と，線分$\mathrm{UR}$と$C$と直線$x=1$とで囲まれる部分の面積が等しくなるような$t$の値を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$t$が$-1<t<1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{OQR}$の面積を$S(t)$とおく．$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S(t)$の最小値，およびそのときの$t$の値を求めよ．
(4)$t<1$のとき，$\ell$と$C$が$t<s<1$を満たす点$\mathrm{U}(s,\ f(s))$で交わるような$t$の範囲を求めよ．またそのとき，線分$\mathrm{PU}$と$C$とで囲まれる部分の面積と，線分$\mathrm{UR}$と$C$と直線$x=1$とで囲まれる部分の面積が等しくなるような$t$の値を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2016年 第3問関数$f(x)=x^2e^x (x>-3)$を考える．
(1)関数$y=f(x)$の極値を調べて，そのグラフをかけ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ e)$における接線の方程式を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^1 xe^x \, dx$を求めよ．
(4)曲線$y=f(x)$と$(2)$で求めた接線と$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)関数$y=f(x)$の極値を調べて，そのグラフをかけ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ e)$における接線の方程式を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^1 xe^x \, dx$を求めよ．
(4)曲線$y=f(x)$と$(2)$で求めた接線と$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2016年 第2問空間に$5$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(b,\ c,\ 0)$，$\mathrm{C}(d,\ e,\ 4)$，$\mathrm{T}(d,\ e,\ t)$があり，このうちの$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が正四面体の頂点になっているとする．ただし，$a,\ b,\ c,\ d,\ e$はいずれも正の実数で，$0<t<4$とする．
(1)$a,\ b,\ c,\ d,\ e$の値を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{OTA}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{OTC}=\angle \mathrm{OTA}$となるときの$t$の値を求めよ．また，そのときの$\cos \angle \mathrm{OTA}$の値と三角形$\mathrm{OTA}$の面積を求めよ．
(1)$a,\ b,\ c,\ d,\ e$の値を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{OTA}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{OTC}=\angle \mathrm{OTA}$となるときの$t$の値を求めよ．また，そのときの$\cos \angle \mathrm{OTA}$の値と三角形$\mathrm{OTA}$の面積を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2016年 第3問$f(x)=x^3+2x^2-x-2$とし，$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$における$C$の接線を$\ell$とおく．$\ell$が$2$直線$x=-1$，$x=1$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$t$が$-1<t<1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{OQR}$の面積を$S(t)$とおく．$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S(t)$の最小値，およびそのときの$t$の値を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$t$が$-1<t<1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{OQR}$の面積を$S(t)$とおく．$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S(t)$の最小値，およびそのときの$t$の値を求めよ．
国立 大分大学 2016年 第2問$a$を$0$でない実数とする．$2$つの放物線$y=x^2$，$\displaystyle y=-x^2+2ax+\frac{1}{2a^2}$がある．
(1)$2$つの放物線は異なる$2$点で交わることを示しなさい．
(2)$2$つの放物線の交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とするとき，$\beta-\alpha$を$a$の式で表しなさい．
(3)$2$つの放物線で囲まれた部分の面積$S$を$a$の式で表しなさい．
(4)$(3)$で定めた面積$S$の最小値を求めなさい．
(1)$2$つの放物線は異なる$2$点で交わることを示しなさい．
(2)$2$つの放物線の交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とするとき，$\beta-\alpha$を$a$の式で表しなさい．
(3)$2$つの放物線で囲まれた部分の面積$S$を$a$の式で表しなさい．
(4)$(3)$で定めた面積$S$の最小値を求めなさい．
国立 大分大学 2016年 第2問$a$を$0$でない実数とする．$2$つの放物線$y=x^2$，$\displaystyle y=-x^2+2ax+\frac{1}{2a^2}$がある．
(1)$2$つの放物線は異なる$2$点で交わることを示しなさい．
(2)$2$つの放物線の交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とするとき，$\beta-\alpha$を$a$の式で表しなさい．
(3)$2$つの放物線で囲まれた部分の面積$S$を$a$の式で表しなさい．
(4)$(3)$で定めた面積$S$の最小値を求めなさい．
(1)$2$つの放物線は異なる$2$点で交わることを示しなさい．
(2)$2$つの放物線の交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とするとき，$\beta-\alpha$を$a$の式で表しなさい．
(3)$2$つの放物線で囲まれた部分の面積$S$を$a$の式で表しなさい．
(4)$(3)$で定めた面積$S$の最小値を求めなさい．