複素数平面上を，点$\mathrm{P}$が次のように移動する．

(i) 時刻$0$では，$\mathrm{P}$は原点にいる．時刻$1$まで，$\mathrm{P}$は実軸の正の方向に速さ$1$で移動する．移動後の$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{Q}_1(z_1)$とすると，$z_1=1$である．
(ii) 時刻$1$に$\mathrm{P}$は$\mathrm{Q}_1(z_1)$において進行方向を$\displaystyle \frac{\pi}{4}$回転し，時刻$2$までその方向に速さ$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$で移動する．移動後の$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{Q}_2(z_2)$とすると，$\displaystyle z_2=\frac{3+i}{2}$である．
(iii) 以下同様に，時刻$n$に$\mathrm{P}$は$\mathrm{Q}_n(z_n)$において進行方向を$\displaystyle \frac{\pi}{4}$回転し，時刻$n+1$までその方向に速さ$\displaystyle \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^n$で移動する．移動後の$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{Q}_{n+1}(z_{n+1})$とする．ただし$n$は自然数である．

$\displaystyle \alpha=\frac{1+i}{2}$として，次の問いに答えよ．

(1)$z_3,\ z_4$を求めよ．
(2)$z_n$を$\alpha,\ n$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{P}$が$\mathrm{Q}_1(z_1),\ \mathrm{Q}_2(z_2),\ \cdots$と移動するとき，$\mathrm{P}$はある点$\mathrm{Q}(w)$に限りなく近づく．$w$を求めよ．
(4)$z_n$の実部が$(3)$で求めた$w$の実部より大きくなるようなすべての$n$を求めよ．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$をとり，$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の第$1$象限にある部分を$C$とする．$3$点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$，$\mathrm{R}$は$C$の周上にあり，$2y_1=y_2$および$\angle \mathrm{AOP}=4 \angle \mathrm{AOR}$を満たすものとする．直線$\mathrm{OQ}$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{Q}^\prime$，直線$\mathrm{OR}$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{R}^\prime$とする．$\angle \mathrm{AOP}=\theta$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}^\prime$と点$\mathrm{R}^\prime$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$に限りなく近づくとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{BR}^\prime}{\mathrm{BQ}^\prime}$の極限を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$であることは用いてよい．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$をとり，$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の第$1$象限にある部分を$C$とする．$3$点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$，$\mathrm{R}$は$C$の周上にあり，$2y_1=y_2$および$\angle \mathrm{AOP}=4 \angle \mathrm{AOR}$を満たすものとする．直線$\mathrm{OQ}$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{Q}^\prime$，直線$\mathrm{OR}$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{R}^\prime$とする．$\angle \mathrm{AOP}=\theta$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}^\prime$と点$\mathrm{R}^\prime$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$に限りなく近づくとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{BR}^\prime}{\mathrm{BQ}^\prime}$の極限を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$であることは用いてよい．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$をとり，$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の第$1$象限にある部分を$C$とする．$3$点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$，$\mathrm{R}$は$C$の周上にあり，$2y_1=y_2$および$\angle \mathrm{AOP}=4 \angle \mathrm{AOR}$を満たすものとする．直線$\mathrm{OQ}$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{Q}^\prime$，直線$\mathrm{OR}$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{R}^\prime$とする．$\angle \mathrm{AOP}=\theta$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}^\prime$と点$\mathrm{R}^\prime$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$に限りなく近づくとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{BR}^\prime}{\mathrm{BQ}^\prime}$の極限を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$であることは用いてよい．

$xy$平面上に曲線$C:y=\log x$がある．曲線$C$上の異なる$2$点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$，$\mathrm{B}(b,\ \log b)$における法線をそれぞれ$\ell,\ m$とし，$\ell$と$m$の交点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{AP}$の長さを$d$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数である．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle d=\sqrt{a^2+1} \left( b+\frac{\log a-\log b}{a-b} \right)$を示せ．
(4)$\mathrm{B}$が$\mathrm{A}$に限りなく近づくときの$d$の極限値を$\displaystyle r=\lim_{b \to a}d$とする．

(i) $\displaystyle r=\frac{(a^2+1)^{\frac{3}{2}}}{a}$を示せ．
(ii) $a$が$a>0$の範囲を動くとき，$r$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．

$xyz$空間において，$xy$平面上に$4$点
\[ \mathrm{A}_1(1,\ 0,\ 0),\quad \mathrm{B}_1(0,\ 1,\ 0),\quad \mathrm{C}_1(-1,\ 0,\ 0),\quad \mathrm{D}_1(0,\ -1,\ 0) \]
を頂点とする正方形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$がある．$0<\theta<\pi$とし，この正方形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$を$xy$平面上で原点を中心に角$\theta$だけ回転させた後で$z$軸の正の方向に$2$だけ平行移動した正方形を$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$とする．

動点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$が，それぞれ点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$から同時に出発し，正方形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$，$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$の周上を，同じ速さで同じ向きに一周する．このとき，線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$が動いてできる曲面と正方形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$，$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$とで囲まれる立体を$V$とする．

(1)線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の長さの最大値は$\sqrt{[ト]+[ナ] [き]}$であり，線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の長さの最小値は$\sqrt{[ニ]+[ヌ] [く]}$である．
(2)$0<h<2$とするとき，平面$z=h$による立体$V$の断面は，一辺の長さが
\[ \sqrt{[ネ]+\left( [ノ]h^2+[ハ]h \right) \left( 1-[け] \right)} \]
の正方形であり，その一辺の長さは$h=[ヒ]$のとき最小である．

(3)立体$V$の体積は$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}+\frac{[ホ]}{[マ]} [こ]$である．

(4)$\theta$が$\pi$に限りなく近づくとき，立体$V$の体積は$\displaystyle \frac{[ミ]}{[ム]}$に収束する．
\begin{screen}
$[き]$～$[こ]$の選択肢：

$\mathrm{(a)} \ \sin \theta \quad \mathrm{(b)} \ \cos \theta \quad \mathrm{(c)} \ \tan \theta \quad \mathrm{(d)} \ \sin^2 \theta \quad \mathrm{(e)} \ \cos \theta \sin \theta$
$\displaystyle \mathrm{(f)} \ \frac{1}{\sin \theta} \quad \mathrm{(g)} \ \frac{1}{\cos \theta} \quad \mathrm{(h)} \ \frac{1}{\tan \theta}$

\end{screen}
（図は省略）

$xy$平面上に$2$点$\mathrm{P}_1(1,\ 1)$，$\mathrm{P}_2(1,\ 2)$があり，以下の条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$をすべて満たすように$\mathrm{P}_3(x_3,\ y_3)$，$\mathrm{P}_4(x_4,\ y_4)$，$\mathrm{P}_5(x_5,\ y_5)$，$\cdots$を定めるものとする．

$(ⅰ)$ $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n}|=\frac{1}{3} |\overrightarrow{\mathrm{P}_{n-2} \mathrm{P}_{n-1}}| \quad (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$
$(ⅱ)$ $\displaystyle \angle \mathrm{P}_{n-2} \mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n=\frac{\pi}{4} \quad (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$
$(ⅲ)$ $x_n \geqq x_{n-1} \quad (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$

このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4}$を成分で表しなさい．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{P}_{2k-1} \mathrm{P}_{2k}} (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の成分を$k$を用いた式で表しなさい．
(3)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{P}_{2k} \mathrm{P}_{2k+1}} (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の成分を$k$を用いた式で表しなさい．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=X$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}y_n=Y$とおく．このとき$n$を限りなく大きくすると，点$\mathrm{P}_n$は点$\mathrm{P}(X,\ Y)$に限りなく近づいていく．$X,\ Y$を求めなさい．

関数$\displaystyle f(x)=(x-1)^2 \sqrt{2x+1} \left( x \geqq -\frac{1}{2} \right)$を考える．

(1)$f^\prime(x)$を求め，$\displaystyle \lim_{x \to -\frac{1}{2}+0} f^\prime(x)$を調べよ．ただし，$x>a$の範囲で$x$が$a$に限りなく近づくとき，$x \to a+0$と表す．
(2)関数$f(x)$の増減，極値を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，グラフの凹凸や変曲点は調べなくてよい．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

$A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{3}{4} & \displaystyle\frac{1}{2} \\
\displaystyle\frac{1}{4} & \displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right)$とし，行列$A$で表される$1$次変換を$f$とする．$f$によって点$\mathrm{P}(0,\ 1)$が点$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$に移されるとする．さらに，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，点$\mathrm{P}_n(x_n,\ y_n)$が$f$によって点$\mathrm{P}_{n+1}(x_{n+1},\ y_{n+1})$に移されるとする．

(1)すべての自然数$n$について，点$\mathrm{P}_n$は直線$x+y=1$上にあることを証明せよ．
(2)$x_{n+1}$を$x_n$の式で表せ．さらに，数列$\{x_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$n$を限りなく大きくするとき，点$\mathrm{P}_n$が近づいていく点の座標を求めよ．

原点$\mathrm{O}$を中心とした半径$1$の円$C$がある．円$C$上の$1$点$\mathrm{A}(a_1,\ a_2)$，$a_i>0$，$i=1,\ 2$を考える．$\mathrm{OA}$が$x$軸となす角度を$\theta$とする．

(1)円$C^\prime$を中心$(b_1,\ b_2)$，$b_i>0$，$i=1,\ 2$，半径$1$の円とし，点$\mathrm{A}$と$(1,\ 0)$で円$C$と交わっているものとすると，$(b_1,\ b_2)=[$14$]$である．また円$C^\prime$の点$\mathrm{A}$における接線の方程式は$[$15$]$である．
(2)次に$\theta$を限りなく$0$に近づけていくとき，
\[ \theta,\ \sin \theta,\ \sqrt{2(1-\cos \theta)},\ 1-\cos \theta+\sin \theta \]
の値の大小関係が定まり，これらを小さい順に並べて，$a<b<c<d$とすると
\[ a=[$16$],\ b=[$17$],\ c=[$18$],\ d=[$19$] \]
であり，$\displaystyle \frac{d-a}{bc}$は$[$20$]$に近づく．