次の$[　]$内にあてはまる$0$から$9$までの数字を求めよ．

$f(x)$はすべての係数が整数であるような$3$次多項式で，$x^3$の係数が$1$であり，
\[ \frac{-\sqrt[3]{2}-2+\sqrt[3]{2} \sqrt{3}i}{2} \]
は方程式$f(x)=0$の解の$1$つであるとする．ただし，$i$は虚数単位とする．このとき，
\[ f(x)=x^3+[チ]x^2+[ツ]x-[テ] \]
であり，$f(x)=0$の実数解は${[ト]}^{\frac{1}{3}}-[ナ]$である．

$2$次関数$f(x)$は，$\displaystyle \int_y^{y+2} f(x) \, dx=2y^2+4y+2$を満たすとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$を
\[ \int_1^{n+1} f(x) \, dx=\sum_{k=1}^n a_k \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
となるように定める．数列$\{a_n\}$の一般項を$n$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた数列$\{a_n\}$について，
\[ \sum_{k=1}^m ka_k \quad (m=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を$m$を用いて表せ．ただし因数分解された形で解答すること．
(4)$(2)$で求めた数列$\{a_n\}$について，
\[ \sum_{k=1}^m \frac{1}{a_k} \quad (m=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を$m$を用いて表せ．

次の空欄$[ア]$～$[ス]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$x^2-y^2-z^2+2yz$を因数分解すると，$[ア]$となる．
(2)$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=\frac{1}{2}$のとき，$\sin \theta \cos \theta$の値は$[イ]$である．
(3)$3$次方程式$4x^3-23x+39=0$の解は，$x=[ウ]$，$[エ]$，$[オ]$である．
(4)関数$f(x)=4^x+4^{-x}-3(2^x+2^{-x})+2$の最小値は$[カ]$である．
(5)数列$1,\ 3,\ 6,\ 10,\ 15,\ 21,\ \cdots$の第$n$項を$n$の式で表すと$[キ]$である．
(6)$\displaystyle \frac{1}{2} \log_5 27,\ \log_{125}9,\ \log_5 \sqrt[4]{27}$のうち最大のものは$[ク]$であり，最小のものは$[ケ]$である．
(7)$2$次方程式$x^2+px+q=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$\alpha-\beta=-4$，$\alpha^3-\beta^3=-28$であるとき，$p=[コ]$または$[サ]$，$q=[シ]$である．
(8)$1$個のさいころを$2$回続けて投げるとき，$1$回目に出た目より大きい目が$2$回目に出る確率は$[ス]$である．

次の空欄$[ア]$～$[コ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)${1.6}^n>10000$を満たす最小の整数$n$の値は$[ア]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(2)関数$f(x)$が等式$\displaystyle \int_a^x f(t) \, dt=x^2-6x-2a+16$を満たすとき，定数$a$の値は$[イ]$である．
(3)$4$つのさいころを同時に投げたとき，すべてのさいころの目の数が異なる確率は$[ウ]$である．
(4)${(\sqrt{3})}^x=243 \times 3^{-2x}$を満たすとき，$x$の値は$[エ]$である．
(5)$2$つの直線$x+2y+3=0$と$3x+y-2=0$のなす角$\theta$は$[オ]$である．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(6)$1+\sqrt{3}i$が$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の解となるとき，$a=[カ]$，$b=[キ]$である．ただし，$a,\ b$は実数であり，$i$は虚数単位とする．
(7)$2$次関数$y=-3x^2$のグラフを$x$軸方向に$1$，$y$軸方向に$2$だけ平行移動した放物線の方程式が$y=-3x^2+px+q$になる．このとき，$p=[ク]$，$q=[ケ]$である．
(8)$\mathrm{R},\ \mathrm{I},\ \mathrm{K},\ \mathrm{K},\ \mathrm{Y},\ \mathrm{O}$の$6$個の文字すべてを横一列に並べるとき，$\mathrm{R}$が$\mathrm{I}$より左側にあり，かつ$\mathrm{I}$が$\mathrm{Y}$より左側にあるような並べ方は$[コ]$通りである．

次の空欄$[ア]$～$[コ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$1$でない実数$a$に対し，$f(x)=x^3+ax^2+x+1$，$g(x)=x^3+x^2+x+a$とする．方程式$f(x)=0$と$g(x)=0$がただ$1$つの共通解をもつならば，$a=[ア]$であり，$f(x)=0$のすべての解は$[イ]$である．
(2)$x>0$のとき，$f(x)=e^{-\sqrt{3}x} \sin x$の最大値は$[ウ]$であり，最小値は$[エ]$である．
(3)$\displaystyle z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$とするとき，$z^{2014}=[オ]+[カ]i$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(4)$a,\ b$を$2$から$9$までの自然数とするとき，$a,\ b$の組$(a,\ b)$は$64$通りあるが，そのうち$\log_a b$が整数となるのは$[キ]$通りであり，整数でない有理数となるのは$[ク]$通りである．
(5)ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$は，$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1$かつ$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{1}{3}$を満たす．このとき，ベクトル$\overrightarrow{c}=p \overrightarrow{a}+q \overrightarrow{b}$が$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=\frac{5}{3}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=-3$を満たすならば，$p=[ケ]$，$q=[コ]$である．ただし，$p,\ q$は実数とする．

次の空欄$[ア]$～$[サ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$(\log_3 x)(\log_3 9x)-6 \log_9 x-6=0$を満たす$x$の値をすべて求めると，$[ア]$である．
(2)座標平面上に点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(3,\ 7)$，$\mathrm{C}(-1,\ 5)$がある．このとき，点$\mathrm{C}$を通り直線$\mathrm{AB}$と直交する直線の方程式は$y=[イ]$である．
(3)実数$x$が方程式$(1+i)x^2-(5+i)x+6-2i=0$を満たすとき，$x=[ウ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(4)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．$\tan \theta=\sqrt{7}$のとき，$\sin \theta=[エ]$である．
(5)$3$つのさいころを同時に投げたとき，出た目の最小値が$5$となる確率は$[オ]$である．
(6)整式$P(x)=x^3+ax^2+bx+c$は$x^2-3x+2$で割ったときの余りが$-2x+7$であり，関数$y=P(x)$は$x=1$で極値をとる．このとき，$a=[カ]$，$b=[キ]$，$c=[ク]$である．
(7)$|\overrightarrow{a}|=2$，$|\overrightarrow{b}|=3$，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{5}$のとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ケ]$である．
(8)直線$y=2x+k$が円$x^2-2x+y^2=0$と共有点をもつとき，$[コ] \leqq k \leqq [サ]$である．

関数$f(x)=x^3-5x^2+3x+9$について，次の問に答えよ．

(1)方程式$f(x)=0$を解け．
(2)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$の接線で，点$(3,\ -6)$を通るものの方程式を求めよ．

$2$次関数$y=-x^2+3$のグラフを$C_1$とし，$1$次関数$y=2x+3$のグラフを$\ell_1$とする．以下の$2$つの条件を満たす放物線を$C_2$とする．

条件$1.$ $C_2$は$C_1$を平行移動した放物線であり，点$(1,\ 2)$は$C_1$と$C_2$の共有点である．
条件$2.$ $C_2$の頂点は$\ell_1$上にあり，その$x$座標は正の数である．

$C_1$と$C_2$の両方に接する直線を$\ell_2$とする．

(1)$C_2$をグラフとする$2$次関数は$y=[ア]$である．
(2)$\ell_2$をグラフとする$1$次関数は$y=[イ]$である．
(3)$C_1$と$C_2$および$\ell_2$で囲まれた部分の面積は$[ウ]$である．

$a$を実数とし，関数$f(x)$を$f(x)=2x^3-3(a+2)x^2+12ax$で定める．

(1)$f(x)$が極値をもつとき，その値は$[タ]$である．
(2)$y=f(x)$のグラフが$a$の値に関係なく通る点で，原点$\mathrm{O}$でないものを$\mathrm{A}$とする．点$\mathrm{A}$の座標は$[チ]$である．
(3)点$\mathrm{A}$を$(2)$で定めた点とする．線分$\mathrm{OA}$と$y=f(x)$のグラフが$2$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$以外に共有点をもつ$a$の値の範囲は$[ツ]<a<[テ]$である．
(4)$x \geqq 0$を満たすすべての実数$x$について，不等式$f(x) \geqq 0$が成り立つ$a$の値の範囲は$[ト] \leqq a \leqq [ナ]$である．
(5)$a \geqq 3.5$を満たすすべての実数$a$について，方程式$f(x)=k$が$3$つの異なる実数解をもつ実数$k$の値の範囲は$[ニ]<k<[ヌ]$である．

$a>0$とし，関数$f(x)=x^3-3ax^2+2a^3+2a+1$を考える．

(1)方程式$f^\prime(x)=0$の解を求めよ．
(2)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(3)$x \geqq -1$における$f(x)$の最小値$m$を求めよ．
(4)$a$が$a>0$の範囲を動くとき，$(3)$の$m$の最大値を求めよ．