以下の$[　]$にあてはまる式または数値を記入せよ．

(1)$8x^3-27y^3$を因数分解すると$[ア]$である．
(2)関数$f(x)=x^2-4x+5 (-1 \leqq x \leqq 3)$の最大値は$[イ]$，最小値は$[ウ]$である．
(3)$\displaystyle \frac{3+i}{1-2i}$を$a+bi$の形にすると，$a=[エ]$，$b=[オ]$である．ただし，$a,\ b$は実数とし，$i$は虚数単位とする．
(4)不等式$\log_3 (1-x) \leqq \log_{\frac{1}{3}} (2x+1)$を満たす$x$の値の範囲は$[カ]$である．
(5)日曜日から土曜日までのうち$3$つの曜日を選び，毎週それらの曜日に出勤することとする．出勤する曜日の選び方は全部で$[キ]$通りある．また，$2$日は連続して出勤するが，$3$日は連続して出勤しないような曜日の選び方は$[ク]$通りある．

$e$を自然対数の底とする．次の問いに答えよ．

(1)$2$つの関数$f(x)=e^{-x} \sin x$と$g(x)=e^{-x} \cos x$を微分せよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^\pi e^{-x} \sin x \, dx$の値を求めよ．
(3)$k$を$0$以上の整数とする．定積分$\displaystyle \int_{k \pi}^{(k+1) \pi} e^{-x} \sin x \, dx$の値を$k$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_0^{n \pi} e^{-x} \sin x \, dx$の値を求めよ．

以下の問いに答えなさい．

(1)次の定積分を求めなさい．ただし，$a$は正の定数とする．
\[ 1) \quad \int_0^a te^{-t} \, dt \qquad\qquad 2) \quad \int_0^a t^2 e^{-t} \, dt \]
(2)以下の空欄$[$1$]$～$[$5$]$に適切な値を答えなさい．

$x \geqq 0$で定義された関数$f(x)=(\sqrt{x}-1)e^{-\sqrt{x}}$に対して，$y=f(x)$の表す曲線を$C$とおく．$C$は$x=[$1$]$で極大値$[$2$]$をとる．$C$上の点$(t,\ f(t))$での接線が原点を通るのは$t=[$3$]$のときである．このときの接線を$\ell$とおくと，$\ell$の傾きは$[$4$]$となる．また，$C$，$\ell$と$y$軸で囲まれた部分の面積は$[$5$]$である．

関数$f(x)=x^3+ax^2+bx-3$が$x=-2$で極大値，$x=4$で極小値をとるとき，定数$a$の値は$-[ネ]$，定数$b$の値は$-[ノ][ハ]$となる．また，極大値は$[ヒ][フ]$，極小値は$-[ヘ][ホ]$である．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{6} \int_0^3 x^2f(t) \, dt-\frac{1}{12} \int_{-3}^0 xf(t) \, dt-2$に対して，$2$つの曲線$C_1:y=x^2+1$，$C_2:y=f(x)$を考える．

(1)$f(x)=px^2+qx-2$とすると，$p=[ナ][ニ]$，$q=[ヌ]$である．
(2)点$(a,\ f(a))$（ただし，$a>1$とする）における曲線$C_2$の接線$\ell$と曲線$C_1$との異なる$2$つの交点を結ぶ線分の中点が$(-1,\ b)$のとき，$b=[ネ]$であり，$\ell$の方程式は$y=[ノ][ハ]x+[ヒ]$である．
(3)$(2)$で求めた接線$\ell$と曲線$C_2$および$y$軸で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}$である．

次の問いに答えよ．

(1)関数$y=ax+b (-1 \leqq x \leqq 2)$の値域が$1 \leqq y \leqq 7$となるような定数$a,\ b$の値を求めよ．ただし，$a>0$とする．
(2)次の$2$次関数の頂点の座標を求めよ．

\mon[$①$] $y=2x^2+12x+16$
\mon[$②$] $y=-2x^2+4x+3$

(3)$2$次方程式$x^2-2mx+4m-3=0$が異なる$2$つの実数解を持たない定数$m$の範囲を求めよ．

関数$f(x)=3x^2+5$のグラフ上の点$(-2,\ f(-2))$における接線を$\ell_1$とし，直線$x=k$（ただし，$k \neq -2$）を$\ell_2$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)接線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(2)関数$f(x)$のグラフと接線$\ell_1$，直線$\ell_2$で囲まれた図形の面積が$\displaystyle \frac{125}{8}$となるとき，定数$k$の値を求めよ．

$k$を定数とする．関数$f(x)$は，条件$f^\prime(x)=12x^2-2x-2$，$f(0)=k$を満たしている．次の各問に答えよ．

(1)$f(x)$の極値を$k$を用いて表せ．
(2)方程式$f(x)=0$の異なる実数解の個数を，$k$の値によって分類せよ．

次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+2a^2$は，$x=-1$で最大値をとり，$f(1)=14$を満たす．このとき，$a=[ア]$，$b=[イ]$で，$f(x)$の最大値は$[ウ]$である．
(2)$1$つのさいころを$1$の目が出るまで投げ続ける．ただし，投げる回数は最大$100$回とする．このとき，ちょうど$n$回（$n<100$）投げてやめる確率は$[エ]$で，投げる回数が$n$回以下（$n<100$）でやめる確率は$[オ]$である．また，$1$の目が$2$回出るまで投げ続けるとき（最大$100$回），投げる回数が$n$回以下（$n<100$）でやめる確率は$[カ]$である．
(3)平面上の$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=4$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{AOB}=\frac{2}{3}$が成立しているとする．このとき，$\mathrm{AB}=[キ]$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表し，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{5}{2} \overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}$を満たす点$\mathrm{C}$をとれば，$\mathrm{AC}=[ク]$，$\cos \angle \mathrm{BAC}=[ケ]$が成立する．
(4)不等式$\sin 2\theta+\sin 4\theta>\sin 3\theta$を満たす$\theta$の範囲は$[コ]<\theta<[サ]$および$[シ]<\theta<[ス]$である．ただし，$0<\theta<\pi$とする．
(5)ある正の数$a$を底としたときの，$2$と$5$の対数の近似値がそれぞれ$\log_a 2=0.693$，$\log_a 5=1.609$であるとする．また，$\sqrt[4]{10}=1.778$とする．指数関数$y=pa^{-qx}$（$p,\ q$は正の数）において，$x=1$のとき$y=10$，$x=5$のとき$y=1$となるならば，$p=[セ]$，$q=[ソ]$である．また，$y$がちょうど$p$の半分となるときの$x$の値は$[タ]$である．なお，解答は小数点以下$2$桁で示すこと（必要ならば小数第$3$位を四捨五入せよ）．

次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．なお，$k>0$として，解答はすべて数あるいは$k$を用いた式で示すこと．

(1)$2$次関数$f(x)=-x^2+(k-1)x+k$を考える．放物線$y=f(x)$の頂点の座標は$([ア],\ [イ])$となり，この放物線上の点$(0,\ f(0))$における接線を$\ell$とすると，$\ell$の方程式は$y=([ウ])x+[エ]$となる．
(2)次に$2$次関数$g(x)=x^2+ax+b$（$a,\ b$は定数）を考える．放物線$y=g(x)$が点$(k,\ 0)$において放物線$y=f(x)$と接線を共有するとき，$a,\ b$の値はそれぞれ$[オ]$，$[カ]$であり，$\ell$と放物線$y=g(x)$との交点の$x$座標はそれぞれ$[キ]$，$[ク]$となる（ただし$[キ]<[ク]$とする）．
(3)さらに$\ell$と放物線$y=g(x)$とで囲まれた部分の面積を$S$とするとき，$S$を$k$で表すと$[ケ]$となる．また，$\ell$は$k=[コ]$のとき放物線$y=g(x)$と$x$軸上で交わり，そのときの$S$は$[サ]$となる．