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私立 慶應義塾大学 2015年 第5問袋に赤玉が$2$個と白玉が$1$個入っている．袋から玉を$1$個取り出し玉の色を見て袋に戻す．このとき取り出した玉と同色の玉をもう$1$つ袋に加える．この操作を繰り返して行う．
(1)$n$回目の操作を終えたとき，それまでに赤玉を取り出した回数が$k$回（$0 \leqq k \leqq n$）であったとする．このとき，$n+1$回目の操作で赤玉を取り出す確率を$p_n(k)$とおくと，$p_n(k)=[ナ]$となる．
(2)$n$回目の操作を終えるまでに赤玉を取り出す回数が$k$回（$0 \leqq k \leqq n$）である確率を$q_n(k)$とおく．たとえば，$\displaystyle q_1(1)=\frac{2}{3}$，$q_4(2)=[ニ]$となる．$n$回の操作中$j$回目（$1 \leqq j \leqq n$）だけ赤玉を取り出し，その他の操作では白玉を取り出す確率は$[ヌ]$であり，$q_n(1)=n \times [ヌ]$となる．$q_n(k)$を$n$と$k$を用いて表すと，$q_n(k)=[ネ]$となる．
(3)$n$回目の操作を終えるまでに赤玉を取り出す回数が$k$回（$0 \leqq k \leqq n$）であり，$n+1$回目の操作で赤玉を取り出す確率は，$(1)$と$(2)$で定めた$p_n(k)$と$q_n(k)$を用いて$q_n(k)p_n(k)$となる．このことから，$n+1$回目に赤玉を取り出す確率を計算すると$[ノ]$となる．
(4)$f(x)=e^{-x^2}$とする．$S_n$を$(1)$と$(2)$で定めた$p_n(k)$と$q_n(k)$を用いて
\[ S_n=\sum_{k=0}^n f(p_n(k))q_n(k) \]
とおくと，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n=[ハ]$となる．
(1)$n$回目の操作を終えたとき，それまでに赤玉を取り出した回数が$k$回（$0 \leqq k \leqq n$）であったとする．このとき，$n+1$回目の操作で赤玉を取り出す確率を$p_n(k)$とおくと，$p_n(k)=[ナ]$となる．
(2)$n$回目の操作を終えるまでに赤玉を取り出す回数が$k$回（$0 \leqq k \leqq n$）である確率を$q_n(k)$とおく．たとえば，$\displaystyle q_1(1)=\frac{2}{3}$，$q_4(2)=[ニ]$となる．$n$回の操作中$j$回目（$1 \leqq j \leqq n$）だけ赤玉を取り出し，その他の操作では白玉を取り出す確率は$[ヌ]$であり，$q_n(1)=n \times [ヌ]$となる．$q_n(k)$を$n$と$k$を用いて表すと，$q_n(k)=[ネ]$となる．
(3)$n$回目の操作を終えるまでに赤玉を取り出す回数が$k$回（$0 \leqq k \leqq n$）であり，$n+1$回目の操作で赤玉を取り出す確率は，$(1)$と$(2)$で定めた$p_n(k)$と$q_n(k)$を用いて$q_n(k)p_n(k)$となる．このことから，$n+1$回目に赤玉を取り出す確率を計算すると$[ノ]$となる．
(4)$f(x)=e^{-x^2}$とする．$S_n$を$(1)$と$(2)$で定めた$p_n(k)$と$q_n(k)$を用いて
\[ S_n=\sum_{k=0}^n f(p_n(k))q_n(k) \]
とおくと，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n=[ハ]$となる．
私立 慶應義塾大学 2015年 第2問次の$[ ]$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．
(1)多項式$f(x)=5x^3-12x^2+8x+1$を$x-1$で割ったときの商$g(x)$は$g(x)=[ケ]$であり，余りは$[コ]$である．また，$g(x)$を$x-1$で割ったときの余りは$[サ]$である．
さらに，定数$[コ]$，$[サ]$，$[シ]$，$[ス]$を用いると，$x$についての恒等式
\[ \frac{f(x)}{(x-1)^4}=\frac{[コ]}{(x-1)^4}+\frac{[サ]}{(x-1)^3}+\frac{[シ]}{(x-1)^2}+\frac{[ス]}{x-1} \]
が成り立つ．
(2)点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が
\[ 5 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+6 \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-7 \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
を満たすとする．このとき$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=[セ]$であり，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=[ソ]$である．また$\angle \mathrm{ACB}$の大きさを$\theta ({0}^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$とすると$\sin \theta=[タ]$である．
(1)多項式$f(x)=5x^3-12x^2+8x+1$を$x-1$で割ったときの商$g(x)$は$g(x)=[ケ]$であり，余りは$[コ]$である．また，$g(x)$を$x-1$で割ったときの余りは$[サ]$である．
さらに，定数$[コ]$，$[サ]$，$[シ]$，$[ス]$を用いると，$x$についての恒等式
\[ \frac{f(x)}{(x-1)^4}=\frac{[コ]}{(x-1)^4}+\frac{[サ]}{(x-1)^3}+\frac{[シ]}{(x-1)^2}+\frac{[ス]}{x-1} \]
が成り立つ．
(2)点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が
\[ 5 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+6 \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-7 \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
を満たすとする．このとき$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=[セ]$であり，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=[ソ]$である．また$\angle \mathrm{ACB}$の大きさを$\theta ({0}^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$とすると$\sin \theta=[タ]$である．
私立 早稲田大学 2015年 第2問$\theta$のとる値の範囲が$\displaystyle \frac{\pi}{12} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{3}$である関数
\[ y=\frac{4}{1+\tan^2 \theta}+2 \sin^2 \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta \cos \theta \]
を考える．
(1)$y$の最大値は$[エ]$となり，そのとき$\theta$の値は$[オ]$である．
(2)$y$の最小値は$[カ]$となり，そのとき$\theta$の値は$[キ]$である．
\[ y=\frac{4}{1+\tan^2 \theta}+2 \sin^2 \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta \cos \theta \]
を考える．
(1)$y$の最大値は$[エ]$となり，そのとき$\theta$の値は$[オ]$である．
(2)$y$の最小値は$[カ]$となり，そのとき$\theta$の値は$[キ]$である．
私立 早稲田大学 2015年 第5問$a>0$とする．$xy$平面上に点$\mathrm{A}(-\sqrt{2}a,\ 0)$，$\mathrm{B}(\sqrt{2}a,\ 0)$を固定する．動点$\mathrm{P}(x,\ y)$は条件$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}=4a$をみたすものとする．次の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$の軌跡として得られる曲線の方程式を求めよ．ただし，答のみでよい．
(2)$(1)$の曲線の$-\sqrt{2}a \leqq x \leqq \sqrt{2}a$の部分と，直線$x=-\sqrt{2}a$，直線$x=\sqrt{2}a$で囲まれる図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体を考える．この立体の体積$V$を求めよ．
(3)$(2)$の立体の表面積$S$を求めよ．ここで，$y=f(x)$のグラフの$p \leqq x \leqq q$の部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる曲面の面積は
\[ 2\pi \int_p^q \sqrt{\{f(x)\}^2+\{f(x)f^\prime(x)\}^2} \, dx \]
として計算してよい．
(1)点$\mathrm{P}$の軌跡として得られる曲線の方程式を求めよ．ただし，答のみでよい．
(2)$(1)$の曲線の$-\sqrt{2}a \leqq x \leqq \sqrt{2}a$の部分と，直線$x=-\sqrt{2}a$，直線$x=\sqrt{2}a$で囲まれる図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体を考える．この立体の体積$V$を求めよ．
(3)$(2)$の立体の表面積$S$を求めよ．ここで，$y=f(x)$のグラフの$p \leqq x \leqq q$の部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる曲面の面積は
\[ 2\pi \int_p^q \sqrt{\{f(x)\}^2+\{f(x)f^\prime(x)\}^2} \, dx \]
として計算してよい．
私立 早稲田大学 2015年 第4問棚に包装された製品が$n$個（$n \geqq 4$）並んでいるが，そのうち$2$個が不良品だということがわかっている．$n$個の製品はすでに包装されているため，外見からはどれが不良品かどうかを区別することはできない．今，どの$2$個が不良品かを見つけるために，$n$個の製品のうち$1$個を取り出し，包装を解き，中身をチェックする．中身が不良品だった場合は，別に置いてあったすでに包装された良品と交換し，もとにあった場所に戻す．中身が不良品でなかった場合は，製品を包装し直した上でもとにあった場所に戻す．$1$個目の製品のチェックが終わったら，棚の別の製品も同様にチェックし，この作業を$2$個の不良品が見つかるまで繰り返し，$2$個目の不良品を交換した時点で終了する．包装された良品と交換する費用は製品$1$個につき$1000$円，製品を包装し直す費用は製品$1$個につき$100$円である．
(1)$n=4$のとき，この作業全体の費用が$2200$円になる確率は$[セ]$である．
(2)$n=4$のとき，この作業全体の費用の期待値は$\displaystyle \left( 2000+[ソ] \right)$円である．
(3)この作業全体の費用の期待値を$n$の関数で表すと$\displaystyle \left( 2000+[タ] \right)$円である．
(1)$n=4$のとき，この作業全体の費用が$2200$円になる確率は$[セ]$である．
(2)$n=4$のとき，この作業全体の費用の期待値は$\displaystyle \left( 2000+[ソ] \right)$円である．
(3)この作業全体の費用の期待値を$n$の関数で表すと$\displaystyle \left( 2000+[タ] \right)$円である．
私立 立教大学 2015年 第1問次の空欄$[ア]$～$[ク]$に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$が，$|\overrightarrow{a}|=5$，$|\overrightarrow{b}|=2$，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{13}$，$|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{a}-t \overrightarrow{b}|$の関係を満たすとき，$|\overrightarrow{c}|$の最小値は$[ア]$である．ただし，$t$は実数とする．
(2)整式$f(x)$を$x+5$で割ると余りが$-11$，$(x+2)^2$で割ると余りが$x+3$となる．このとき，$f(x)$を$(x+5)(x+2)^2$で割ると余りは$[イ]$である．
(3)全体集合$U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\}$の部分集合$A,\ B$について，$\overline{A} \cap \overline{B}=\{1,\ 3\}$，$A \cup \overline{B}=\{1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 7,\ 8\}$であるとき，集合$A=[ウ]$である．ただし，$\overline{A}$は$A$の補集合，$\overline{B}$は$B$の補集合とする．
(4)さいころを$4$回投げるとき，偶数の目がちょうど$2$回出る確率は$[エ]$である．
(5)ある細菌は$1$時間毎に分裂して個数が$2$倍になる．最初に$10$個あるとき，$100$万個を初めて超えるのは$[オ]$時間後である．ただし，$\log_{10}2=0.301$とし，整数で答えよ．
(6)複素数$z=a+i$について，$z^4$が実数となるとき，$z^4$のとりうる値は$[カ]$である．ただし，$a$は実数であり，$i$は虚数単位とする．
(7)関数$f(x)$が$f^\prime(x)=3x+2$と$\displaystyle \int_0^2 f(x) \, dx=4$をともに満たすとき，$f(x)=[キ]$である．
(8)$\displaystyle \sum_{k=1}^{25} (2k-1)^2$の値は$[ク]$である．
(1)ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$が，$|\overrightarrow{a}|=5$，$|\overrightarrow{b}|=2$，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{13}$，$|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{a}-t \overrightarrow{b}|$の関係を満たすとき，$|\overrightarrow{c}|$の最小値は$[ア]$である．ただし，$t$は実数とする．
(2)整式$f(x)$を$x+5$で割ると余りが$-11$，$(x+2)^2$で割ると余りが$x+3$となる．このとき，$f(x)$を$(x+5)(x+2)^2$で割ると余りは$[イ]$である．
(3)全体集合$U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\}$の部分集合$A,\ B$について，$\overline{A} \cap \overline{B}=\{1,\ 3\}$，$A \cup \overline{B}=\{1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 7,\ 8\}$であるとき，集合$A=[ウ]$である．ただし，$\overline{A}$は$A$の補集合，$\overline{B}$は$B$の補集合とする．
(4)さいころを$4$回投げるとき，偶数の目がちょうど$2$回出る確率は$[エ]$である．
(5)ある細菌は$1$時間毎に分裂して個数が$2$倍になる．最初に$10$個あるとき，$100$万個を初めて超えるのは$[オ]$時間後である．ただし，$\log_{10}2=0.301$とし，整数で答えよ．
(6)複素数$z=a+i$について，$z^4$が実数となるとき，$z^4$のとりうる値は$[カ]$である．ただし，$a$は実数であり，$i$は虚数単位とする．
(7)関数$f(x)$が$f^\prime(x)=3x+2$と$\displaystyle \int_0^2 f(x) \, dx=4$をともに満たすとき，$f(x)=[キ]$である．
(8)$\displaystyle \sum_{k=1}^{25} (2k-1)^2$の値は$[ク]$である．
私立 慶應義塾大学 2015年 第1問以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．
(1)不等式
\[ \log_2 (5-2x)+2 \log_{\frac{1}{2}} (x+2) \leqq 0 \]
をみたす$x$の範囲は$[あ]$である．
(2)$2$つの関数
\[ f(x)=|\displaystyle x^2+3bx-\frac{b|{4}},\quad g(x)=x^2+3b |x|-\frac{b}{4} \]
の最小値が一致するような$b$の範囲は$[い]$である．
(3)$\displaystyle 0 \leqq \alpha <\frac{\pi}{2}$のとき，関数
\[ f(x)=\sin (x-\alpha) \cos x \quad \left( \alpha \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
は$x=[う]$において最大値をとる．この最大値が$\displaystyle \frac{1}{4}$となるのは$\alpha=[え]$のときである．
(1)不等式
\[ \log_2 (5-2x)+2 \log_{\frac{1}{2}} (x+2) \leqq 0 \]
をみたす$x$の範囲は$[あ]$である．
(2)$2$つの関数
\[ f(x)=|\displaystyle x^2+3bx-\frac{b|{4}},\quad g(x)=x^2+3b |x|-\frac{b}{4} \]
の最小値が一致するような$b$の範囲は$[い]$である．
(3)$\displaystyle 0 \leqq \alpha <\frac{\pi}{2}$のとき，関数
\[ f(x)=\sin (x-\alpha) \cos x \quad \left( \alpha \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
は$x=[う]$において最大値をとる．この最大値が$\displaystyle \frac{1}{4}$となるのは$\alpha=[え]$のときである．
私立 慶應義塾大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)次の問いに答えよ．
(i) $f(x,\ y)=2x^2+11xy+12y^2-5y-2$を因数分解すると，
\[ \left(x+[$1$]y+[$2$] \right) \left([$3$]x+[$4$]y-[$5$] \right) \]
である．
(ii) $f(x,\ y)=56$を満たす自然数$x,\ y$の値は，$x=[$6$]$，$y=[$7$]$である．
(2)$xy$平面上の$2$直線$y=x+4 \sin \theta+1$，$y=-x+4 \cos \theta-3$の交点を$\mathrm{P}$とおく．ただし，$\theta$は実数とする．
(i) $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{12}$のとき，点$\mathrm{P}$の座標は$\displaystyle \left( \sqrt{[$8$]}-[$9$],\ \sqrt{[$10$]}-[$11$] \right)$である．
(ii) $\theta$が実数全体を動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡は
\[ x^2+y^2+[$12$]x+[$13$]y-[$14$]=0 \]
である．
(3)$2$次関数$f(x)$は，すべての実数$x$について
\[ \int_0^x f(t) \, dt=xf(x)-\frac{4}{3}x^3+ax^2 \]
を満たす．ただし，$a$は実数である．また，$f(0)=a^2-a-6$である．このとき，
(i) $f(x)=[$15$]x^2-[$16$]ax+\left( a+[$17$] \right) \left( a-[$18$] \right)$である．
(ii) 方程式$f(x)=0$が少なくとも$1$つの正の実数解をもつような$a$の値の範囲は
\[ [$19$][$20$]<a \leqq [$21$]+\sqrt{[$22$][$23$]} \]
である．
(4)$\{a_n\}$は，数字の$1$と$2$だけで作ることのできる自然数を小さい順に並べた数列である．
\[ \{a_n\} : \ 1,\ 2,\ 11,\ 12,\ 21,\ 22,\ 111,\ \cdots \]
このとき，
(i) $a_{10}=[$24$][$25$][$26$]$，$a_{15}=\kakkofour{$27$}{$28$}{$29$}{$30$}$である．
(ii) $\displaystyle \sum_{k=7}^{14} a_k=\kakkofour{$31$}{$32$}{$33$}{$34$}$である．
(iii) $\{a_n\}$のうち，$m$桁である項の総和は$\displaystyle \frac{{[$35$]}^{m-1} \left\{ \left([$36$][$37$] \right)^m-[$38$] \right\}}{[$39$]}$である．
(1)次の問いに答えよ．
(i) $f(x,\ y)=2x^2+11xy+12y^2-5y-2$を因数分解すると，
\[ \left(x+[$1$]y+[$2$] \right) \left([$3$]x+[$4$]y-[$5$] \right) \]
である．
(ii) $f(x,\ y)=56$を満たす自然数$x,\ y$の値は，$x=[$6$]$，$y=[$7$]$である．
(2)$xy$平面上の$2$直線$y=x+4 \sin \theta+1$，$y=-x+4 \cos \theta-3$の交点を$\mathrm{P}$とおく．ただし，$\theta$は実数とする．
(i) $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{12}$のとき，点$\mathrm{P}$の座標は$\displaystyle \left( \sqrt{[$8$]}-[$9$],\ \sqrt{[$10$]}-[$11$] \right)$である．
(ii) $\theta$が実数全体を動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡は
\[ x^2+y^2+[$12$]x+[$13$]y-[$14$]=0 \]
である．
(3)$2$次関数$f(x)$は，すべての実数$x$について
\[ \int_0^x f(t) \, dt=xf(x)-\frac{4}{3}x^3+ax^2 \]
を満たす．ただし，$a$は実数である．また，$f(0)=a^2-a-6$である．このとき，
(i) $f(x)=[$15$]x^2-[$16$]ax+\left( a+[$17$] \right) \left( a-[$18$] \right)$である．
(ii) 方程式$f(x)=0$が少なくとも$1$つの正の実数解をもつような$a$の値の範囲は
\[ [$19$][$20$]<a \leqq [$21$]+\sqrt{[$22$][$23$]} \]
である．
(4)$\{a_n\}$は，数字の$1$と$2$だけで作ることのできる自然数を小さい順に並べた数列である．
\[ \{a_n\} : \ 1,\ 2,\ 11,\ 12,\ 21,\ 22,\ 111,\ \cdots \]
このとき，
(i) $a_{10}=[$24$][$25$][$26$]$，$a_{15}=\kakkofour{$27$}{$28$}{$29$}{$30$}$である．
(ii) $\displaystyle \sum_{k=7}^{14} a_k=\kakkofour{$31$}{$32$}{$33$}{$34$}$である．
(iii) $\{a_n\}$のうち，$m$桁である項の総和は$\displaystyle \frac{{[$35$]}^{m-1} \left\{ \left([$36$][$37$] \right)^m-[$38$] \right\}}{[$39$]}$である．
私立 自治医科大学 2015年 第3問関数$\displaystyle f(x)=9^x+9^{-x}-\frac{20}{9}(3^{1-x}+3^{1+x})$（$x$は正の実数）は，$x=a$のとき最小値をとる．$a$の値を求めよ．
私立 自治医科大学 2015年 第21問関数$\displaystyle f(t)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (x-t \cos x)^2 \, dx$は，$t=a$（$a$は正の実数）で最小値をとるものとする．$a$を超えない最大の整数の値を求めよ．