関数$f(x)=\cos^3 x \sin x$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲における$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲において，曲線$y=f(x)$と曲線$y=\sin 2x$で囲まれた部分の面積を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{\sqrt{x}}$について，以下の問に答えよ．ただし，$\log x$は自然対数を表すものとする．

(1)$f(x)$が極値をとる$x$の値はただ$1$つであることを示し，そのときの$x$の値を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の値を$c$とするとき，$y=f(x)$のグラフと$x$軸と直線$x=c$で囲まれた部分を$D$で表す．$D$の面積を求めよ．
(3)$(2)$で定めた$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

関数$f(x)=x^3+a_1x^2+a_2x+a_3$について，次の問に答えよ．ただし，$a_1$，$a_2$，$a_3$は負の実数とする．

(1)$f^\prime(x)=0$は正の実数解と負の実数解を$1$つずつもつことを示せ．
$f^\prime(x)=0$の正の実数解を$\alpha$，負の実数解を$\beta$とおくとき，$-\alpha<\beta$を示せ．
(2)$f(x)=0$の正の実数解は，ただ$1$つであることを示せ．
(3)$f(x)+f(-x)<0$を示せ．
(4)$f(x)=0$の正の実数解を$p$とおく．$x \leqq -p$のとき，$f(x)<0$を示せ．

関数$f(x)=x^3+a_1x^2+a_2x+a_3$について，次の問に答えよ．ただし，$a_1$，$a_2$，$a_3$は負の実数とする．

(1)$f^\prime(x)=0$は正の実数解と負の実数解を$1$つずつもつことを示せ．
$f^\prime(x)=0$の正の実数解を$\alpha$，負の実数解を$\beta$とおくとき，$-\alpha<\beta$を示せ．
(2)$f(x)=0$の正の実数解は，ただ$1$つであることを示せ．
(3)$f(x)+f(-x)<0$を示せ．
(4)$f(x)=0$の正の実数解を$p$とおく．$x \leqq -p$のとき，$f(x)<0$を示せ．

$f(x)=xe^x$とするとき，次の問いに答えよ．ただし$e$は自然対数の底とし，$2<e<3$，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} xe^{-x}=0$であることは用いてよい．

(1)関数$y=f(x)$の増減およびグラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$x=-1$，$x=1$および$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めよ．
(3)$t$を実数とし，数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=f(t)a_n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．$\displaystyle t \leqq \frac{1}{2}$ならば，$\{a_n\}$は収束することを示せ．

$a,\ b$は$0<a<b$を満たす定数とし，関数$y=\log x$のグラフを$G$とする．点$\mathrm{C}$が曲線$G$上を点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$から点$\mathrm{B}(b,\ \log b)$まで動くとき，点$\mathrm{C}$から$x$軸への垂線と線分$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{CP}$の長さの最大値を$L$とする．このとき，以下の問に答えよ．ただし，$\log x$は自然対数を表すものとする．

(1)不等式$\displaystyle a<\frac{b-a}{\log b-\log a}<b$が成り立つことを証明せよ．
(2)$\displaystyle h=\frac{b}{a}$とおくとき，$L$を$h$を用いて表せ．
(3)実数$p,\ q,\ r$が$a<p<b$，$a<q<b$，$a<r<b$を満たすとき，不等式
\[ \frac{p+q+r}{3}<e^L \sqrt[3]{pqr} \]
が成り立つことを証明せよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

二つの放物線

$C_1:y=x^2$
$\displaystyle C_2:y=\frac{1}{2}(x-a)^2+b$

がある．ただし，$a,\ b$は実数であり，$b>0$とする．以下の問いに答えよ．

(1)放物線$C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$が$C_2$にも接する場合の$p$を$a$と$b$を用いて表せ．
(3)$(2)$より$C_1,\ C_2$の両方に接する直線が$2$本存在することがわかる．この二つの直線の交点$\mathrm{Q}$の座標を$a$と$b$を用いて表せ．
(4)放物線$C_2$の頂点が曲線$y=e^{-2x^2}$上を動くとき，交点$\mathrm{Q}$の軌跡を$y=f(x)$で表す．関数$f(x)$を求めよ．また$f(x)$の増減と凹凸を調べ軌跡の概形をかけ．

関数$f(x)=x^3+a_1x^2+a_2x+a_3$について，次の問に答えよ．ただし，$a_1$，$a_2$，$a_3$は負の実数とする．

(1)$f^\prime(x)=0$は正の実数解と負の実数解を$1$つずつもつことを示せ．
$f^\prime(x)=0$の正の実数解を$\alpha$，負の実数解を$\beta$とおくとき，$-\alpha<\beta$を示せ．
(2)$f(x)=0$の正の実数解は，ただ$1$つであることを示せ．
(3)$f(x)+f(-x)<0$を示せ．
(4)$f(x)=0$の正の実数解を$p$とおく．$x \leqq -p$のとき，$f(x)<0$を示せ．
(5)$b_1,\ b_2,\ b_3,\ b_4$を負の実数とする．関数$g(x)=x^4+b_1x^3+b_2x^2+b_3x+b_4$に対し，$g(x)=0$の正の実数解は，ただ$1$つであることを示せ．$x<0$のとき，$g(x)-g(-x)>0$を示せ．$g(x)=0$の正の実数解を$q$とおく．$x \leqq -q$のとき，$g(x)>0$を示せ．

$f(x)=xe^x$とするとき，次の問いに答えよ．ただし$e$は自然対数の底とし，$2<e<3$，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} xe^{-x}=0$であることは用いてよい．

(1)関数$y=f(x)$の増減およびグラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$x=-1$，$x=1$および$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めよ．
(3)$t$を実数とし，数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=f(t)a_n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．$\displaystyle t \leqq \frac{1}{2}$ならば，$\{a_n\}$は収束することを示せ．

$a$を実数とし，関数$f(x)=4^x+a \cdot 2^{x-1}+a$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の最小値が$-2$となるとき，$a$の値を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が実数解をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．