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国立 東京海洋大学 2015年 第1問$a \geqq 0$とするとき，$3$次関数$f(x)=x^3-3ax+a$について，次の問に答えよ．
(1)$a=1$のとき，$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$0 \leqq x \leqq 2$において$f(x) \geqq 0$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(1)$a=1$のとき，$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$0 \leqq x \leqq 2$において$f(x) \geqq 0$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
国立 東京海洋大学 2015年 第2問等式
\[ f(x)+\int_1^2 (x-kt) f(t) \, dt=17x-28 \cdots\cdots (*) \]
について，次の問に答えよ．
(1)$k=1$のとき，$(*)$を満たす関数$f(x)$を求めよ．
(2)$\displaystyle k=\frac{30}{17}$のとき，$(*)$を満たす関数$f(x)$に対して，$y=f(x)$のグラフは常にある定点を通ることを示し，その定点の座標を求めよ．
\[ f(x)+\int_1^2 (x-kt) f(t) \, dt=17x-28 \cdots\cdots (*) \]
について，次の問に答えよ．
(1)$k=1$のとき，$(*)$を満たす関数$f(x)$を求めよ．
(2)$\displaystyle k=\frac{30}{17}$のとき，$(*)$を満たす関数$f(x)$に対して，$y=f(x)$のグラフは常にある定点を通ることを示し，その定点の座標を求めよ．
国立 富山大学 2015年 第2問関数$f(x)=\sin 3x-\cos 3x+3 \sin 2x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について，次の問いに答えよ．
(1)$t=\sin x+\cos x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$とするとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$f(x)$を$t$の関数として表せ．
(3)$f(x)$の最小値を求めよ．ただし，最小値をとるときの$x$の値は求めなくてよい．
(1)$t=\sin x+\cos x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$とするとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$f(x)$を$t$の関数として表せ．
(3)$f(x)$の最小値を求めよ．ただし，最小値をとるときの$x$の値は求めなくてよい．
国立 富山大学 2015年 第3問次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$は区間$[a,\ b]$で連続であり，区間$(a,\ b)$で第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をもつとする．さらに，区間$(a,\ b)$で$f^{\prime\prime}(x)<0$が成り立つとする．$y=g(x)$を$2$点$(a,\ f(a))$，$(b,\ f(b))$を通る直線の方程式とするとき，区間$(a,\ b)$で常に$f(x)>g(x)$であることを示せ．
(2)$n$を$2$以上の自然数とするとき，$j=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$について
\[ \frac{\log j+\log (j+1)}{2}<\int_j^{j+1} \log x \, dx \]
が成り立つことを示せ．
(3)$n$を$2$以上の自然数とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \sqrt{n!(n-1)!}<n^n e^{-n+1} \]
(1)関数$f(x)$は区間$[a,\ b]$で連続であり，区間$(a,\ b)$で第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をもつとする．さらに，区間$(a,\ b)$で$f^{\prime\prime}(x)<0$が成り立つとする．$y=g(x)$を$2$点$(a,\ f(a))$，$(b,\ f(b))$を通る直線の方程式とするとき，区間$(a,\ b)$で常に$f(x)>g(x)$であることを示せ．
(2)$n$を$2$以上の自然数とするとき，$j=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$について
\[ \frac{\log j+\log (j+1)}{2}<\int_j^{j+1} \log x \, dx \]
が成り立つことを示せ．
(3)$n$を$2$以上の自然数とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \sqrt{n!(n-1)!}<n^n e^{-n+1} \]
国立 富山大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$は区間$[a,\ b]$で連続であり，区間$(a,\ b)$で第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をもつとする．さらに，区間$(a,\ b)$で$f^{\prime\prime}(x)<0$が成り立つとする．$y=g(x)$を$2$点$(a,\ f(a))$，$(b,\ f(b))$を通る直線の方程式とするとき，区間$(a,\ b)$で常に$f(x)>g(x)$であることを示せ．
(2)$n$を$2$以上の自然数とするとき，$j=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$について
\[ \frac{\log j+\log (j+1)}{2}<\int_j^{j+1} \log x \, dx \]
が成り立つことを示せ．
(3)$n$を$2$以上の自然数とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \sqrt{n!(n-1)!}<n^n e^{-n+1} \]
(1)関数$f(x)$は区間$[a,\ b]$で連続であり，区間$(a,\ b)$で第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をもつとする．さらに，区間$(a,\ b)$で$f^{\prime\prime}(x)<0$が成り立つとする．$y=g(x)$を$2$点$(a,\ f(a))$，$(b,\ f(b))$を通る直線の方程式とするとき，区間$(a,\ b)$で常に$f(x)>g(x)$であることを示せ．
(2)$n$を$2$以上の自然数とするとき，$j=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$について
\[ \frac{\log j+\log (j+1)}{2}<\int_j^{j+1} \log x \, dx \]
が成り立つことを示せ．
(3)$n$を$2$以上の自然数とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \sqrt{n!(n-1)!}<n^n e^{-n+1} \]
国立 富山大学 2015年 第2問$a$を実数とする．関数$f(x),\ g(x)$を$f(x)=x^2+ax+3$，$\displaystyle g(x)=f(x) f \left( \frac{1}{x} \right) (x \neq 0)$と定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$x \neq 0$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$\displaystyle t=x+\frac{1}{x} (x \neq 0)$とするとき，$g(x)$を$a,\ t$を用いて表せ．
(3)$g(x) (x \neq 0)$の最小値が負となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(1)$x \neq 0$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$\displaystyle t=x+\frac{1}{x} (x \neq 0)$とするとき，$g(x)$を$a,\ t$を用いて表せ．
(3)$g(x) (x \neq 0)$の最小値が負となるような$a$の値の範囲を求めよ．
国立 富山大学 2015年 第3問関数$f(x)=\sin 3x-\cos 3x+3 \sin 2x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について，次の問いに答えよ．
(1)$t=\sin x+\cos x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$とするとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$f(x)$を$t$の関数として表せ．
(3)$f(x)$の最小値を求めよ．ただし，最小値をとるときの$x$の値は求めなくてよい．
(1)$t=\sin x+\cos x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$とするとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$f(x)$を$t$の関数として表せ．
(3)$f(x)$の最小値を求めよ．ただし，最小値をとるときの$x$の値は求めなくてよい．
国立 富山大学 2015年 第1問$f(x)=\log x (x>0)$とし，曲線$C_1:y=f(x)$上の点$(t,\ f(t))$における接線を$\ell$とする．直線$\ell$と曲線$C_2:y={(x-\sqrt{2})}^2$で囲まれた図形の面積を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$S$を$t$を用いて表せ．
(2)$S$を最小にする$t$の値を求めよ．ただし，そのときの$S$の値は求めなくてよい．
(1)$S$を$t$を用いて表せ．
(2)$S$を最小にする$t$の値を求めよ．ただし，そのときの$S$の値は求めなくてよい．
国立 富山大学 2015年 第2問関数$f(x)$は区間$[a,\ b]$で連続であり，区間$(a,\ b)$で第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をもつとする．さらに，区間$(a,\ b)$で$f^{\prime\prime}(x)<0$が成り立つとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle f(x)>\frac{1}{b-a} \{(b-x)f(a)+(x-a)f(b) \} (a<x<b)$が成り立つことを示せ．
(2)$c$が$a<c<b$を満たすならば
\[ f(x) \leqq f^\prime(c)(x-c)+f(c) \quad (a<x<b) \]
が成り立つことを示せ．
(1)$\displaystyle f(x)>\frac{1}{b-a} \{(b-x)f(a)+(x-a)f(b) \} (a<x<b)$が成り立つことを示せ．
(2)$c$が$a<c<b$を満たすならば
\[ f(x) \leqq f^\prime(c)(x-c)+f(c) \quad (a<x<b) \]
が成り立つことを示せ．
国立 富山大学 2015年 第3問$f(x)=\log x (x>0)$とし，曲線$C_1:y=f(x)$上の点$(t,\ f(t))$における接線を$\ell$とする．直線$\ell$と曲線$C_2:y={(x-\sqrt{2})}^2$で囲まれた図形の面積を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$S$を$t$を用いて表せ．
(2)$S$を最小にする$t$の値を求めよ．ただし，そのときの$S$の値は求めなくてよい．
(1)$S$を$t$を用いて表せ．
(2)$S$を最小にする$t$の値を求めよ．ただし，そのときの$S$の値は求めなくてよい．