$n$を正の整数とする．$2n \pi \leqq x \leqq (2n+1) \pi$の範囲で関数$f(x)=x \sin x$を考える．関数$f(x)$が極大値をとる$x$を$a_n$とし，曲線$y=f(x)$の変曲点を$(b_n,\ f(b_n))$とする．次の問いに答えよ．

(1)$a_n$と$b_n$はそれぞれ唯$1$つあって，$\displaystyle 2n \pi<b_n<2n \pi+\frac{\pi}{2}<a_n<(2n+1) \pi$を満たすことを示せ．
(2)以下の極限を求めよ．
\[ (1) \ \lim_{n \to \infty}(a_n-2n \pi) \qquad (2) \ \lim_{n \to \infty}(b_n-2n \pi) \qquad (3) \ \lim_{n \to \infty}f(b_n) \]
(3)曲線$y=f(x) (2n \pi \leqq x \leqq (2n+1) \pi)$と$x$軸とで囲まれた図形を，$3$つの直線$x=b_n$，$\displaystyle x=2n \pi+\frac{\pi}{2}$，$x=a_n$によって$4$つの部分に分ける．その面積を左から順に$S_1$，$S_2$，$S_3$，$S_4$とするとき，$(S_3+S_4)-(S_1+S_2)$の値を求めよ．
(4)以下の極限を求めよ．
\[ (1) \ \lim_{n \to \infty}S_1 \qquad (2) \ \lim_{n \to \infty}S_3 \qquad (3) \ \lim_{n \to \infty}(S_4-S_2) \]

曲線$C:y=\sin^2 x$について，$C$上の点$\displaystyle (t,\ \sin^2 t) \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$における$C$の接線と直線$x=a$との交点を$\mathrm{P}$とする．ただし，$a$は$\displaystyle 0 \leqq a \leqq \frac{\pi}{2}$を満たす定数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の$y$座標を$f(t)$とおくとき，$f(t)$を求めよ．
(2)関数$f(t)$の増減を調べ，その最大値と最小値を求めよ．
(3)$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，点$(t,\ \sin^2 t)$における$C$の接線が通るすべての点のうち，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$となるものの範囲を$xy$平面に図示せよ．

$2$次関数$y=f(x)$のグラフは，上に凸であり，原点および点$\mathrm{Q}(a,\ 0)$を通るものとする．ただし，$0<a<1$である．関数$y=x^2$のグラフを$C$，関数$y=f(x)$のグラフを$D$とし，$C$と$D$の共有点のうち，原点と異なるものを$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$における$C$の接線の傾きを$m$，$D$の接線の傾きを$n$とするとき
\[ (2a-1)m=2an \]
が成り立つとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を$x$と$a$の式で表せ．
(2)$0 \leqq x \leqq a$の範囲で，曲線$D$と$x$軸で囲まれた図形の面積を$S(a)$とする．$S(a)$を$a$の式で表せ．
(3)$(2)$で求めた$S(a)$の$0<a<1$における最大値を求めよ．

関数$f(x)=xe^x$について，次の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$について，増減および凹凸を調べ，そのグラフをかけ．ただし，必要ならば$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}xe^x=0$を用いてもよい．
(2)不定積分$\displaystyle \int xe^x \, dx$，$\displaystyle \int x^2e^{2x} \, dx$をそれぞれ求めよ．
(3)$0 \leqq t \leqq 1$に対し$g(x)=f(x)-f(t)$とおく．$0 \leqq x \leqq 1$の範囲で，曲線$y=g(x)$と$x$軸ではさまれる部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V(t)$とする．$V(t)$を求めよ．
(4)$(3)$の$V(t)$が最小値をとるときの$t$の値を$a$とする．最小値$V(a)$と，$f(a)$の値を求めよ．ただし，$a$の値を求める必要はない．

関数$y=\log_3 x$とその逆関数$y=3^x$のグラフが，直線$y=-x+s$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{P}(t,\ \log_3 t)$，$\mathrm{Q}(u,\ 3^u)$とする．次の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{PQ}$の中点の座標は$\displaystyle \left( \frac{s}{2},\ \frac{s}{2} \right)$であることを示せ．
(2)$s,\ t,\ u$は$s=t+u$，$u=\log_3 t$を満たすことを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{t \to 3} \frac{su-k}{t-3}$が有限な値となるように，定数$k$の値を定め，その極限値を求めよ．

自然数$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，関数$f_n(x)=x^{n+1}(1-x)$を考える．

(1)曲線$y=f_n(x)$上の点$(a_n,\ f_n(a_n))$における接線が原点を通るとき，$a_n$を$n$の式で表せ．ただし，$a_n>0$とする．
(2)$0 \leqq x \leqq 1$の範囲で，曲線$y=f_n(x)$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を$B_n$とする．また，$(1)$で求めた$a_n$に対して，$0 \leqq x \leqq a_n$の範囲で，曲線$y=f_n(x)$，$x$軸，および直線$x=a_n$で囲まれた図形の面積を$C_n$とする．$B_n$および$C_n$を$n$の式で表せ．
(3)$(2)$で求めた$B_n$および$C_n$に対して，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{C_n}{B_n}$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n$が自然対数の底$e$であることを用いてよい．

座標空間内の$8$点
\[ (0,\ 0,\ 0),\ (1,\ 0,\ 0),\ (1,\ 1,\ 0),\ (0,\ 1,\ 0),\ (0,\ 0,\ 1),\ (1,\ 0,\ 1),\ (1,\ 1,\ 1),\ (0,\ 1,\ 1) \]
を頂点とする立方体を考える．$0<t<3$のとき，$3$点$(t,\ 0,\ 0)$，$(0,\ t,\ 0)$，$(0,\ 0,\ t)$を通る平面でこの立方体を切った切り口の面積を$f(t)$とし，$f(0)=f(3)=0$とする．関数$f(t)$について，次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq t \leqq 3$のとき，$f(t)$を$t$の式で表せ．
(2)関数$f(t)$の$0 \leqq t \leqq 3$における最大値を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^3 f(t) \, dt$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x \geqq 1$のとき，不等式$2 \sqrt{x}>1+\log x$が成り立つことを証明せよ．
(2)関数$y=x \log x (x>0)$のグラフを曲線$C$とする．定数$a$に対し，曲線$C$の接線で点$(a,\ 0)$を通るものは何本あるか．
(3)$(2)$で定められた曲線$C$とその傾き$2$の接線および直線$x=e^{-2}$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$2$つの関数
\[ f(x)=\frac{2}{2x+3},\quad g(x)=\frac{2x+1}{-x+2} \]
がある．

(1)関数$g(x)$の逆関数$g^{-1}(x)$を求めよ．
(2)合成関数$g^{-1}(f(g(x)))$を求めよ．
(3)実数$c$が無理数であるとき，$f(c)$は無理数であることを証明せよ．
(4)次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ a_1=g(\sqrt{2}),\quad a_{n+1}=f(a_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5)$(4)$で定められた数列$\{a_n\}$の極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$を求めよ．

次の$\tocichi$，$\tocni$に答えよ．

\mon[$\tocichi$] 次の$5$つの定積分を求めよ．（$\tocni \ (4)$で用いる．）

$\displaystyle I_1=\int_0^\pi x \sin x \, dx,\quad I_2=\int_0^\pi x^2 \cos x \, dx,\quad I_3=\int_0^\pi \sin^2 x \, dx$

$\displaystyle I_4=\int_0^\pi x \cos x \sin x \, dx,\quad I_5=\int_0^\pi \sin^2 x \cos x \, dx$

\mon[$\tocni$] 関数$y=\sin x$のグラフを曲線$C$とする．$C$上の点$\mathrm{O}(0,\ 0)$における接線を$\ell_1$，点$\mathrm{A}(\pi,\ 0)$における接線を$\ell_2$とする．
$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{B}$，$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ \sin t) (0 \leqq t \leqq \pi)$から$\ell_1$に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とする．ただし，$t=0$のときは$\mathrm{Q}=\mathrm{P}$とする．$\mathrm{OQ}=s$とおく．

\mon[$(1)$] $\angle \mathrm{OBA}$の大きさを求めよ．
\mon[$(2)$] $s$を$t$を用いて表せ．
\mon[$(3)$] 線分$\mathrm{PQ}$の長さを$t$を用いて表せ．
\mon[$(4)$] 曲線$C$と$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$で囲まれた部分を，直線$\ell_1$の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．