$2$次関数
\[ y=-x^2+2x+2 \cdots\cdots① \]
のグラフの頂点の座標は$([ア],\ [イ])$である．また
\[ y=f(x) \]
は$x$の$2$次関数で，そのグラフは，$①$のグラフを$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$q$だけ平行移動したものであるとする．

(1)下の$[ウ],\ [オ]$には，次の$\nagamarurei$～$\nagamarushi$のうちから当てはまるものを一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．
\[ \nagamarurei > \qquad \nagamaruichi < \qquad \nagamaruni \geqq \qquad \nagamarusan \leqq \qquad \nagamarushi \neq \]
$2 \leqq x \leqq 4$における$f(x)$の最大値が$f(2)$になるような$p$の値の範囲は
\[ p [ウ] [エ] \]
であり，最小値が$f(2)$になるような$p$の値の範囲は
\[ p [オ] [カ] \]
である．

(2)$2$次不等式$f(x)>0$の解が$-2<x<3$になるのは
\[ p=\frac{[キク]}{[ケ]},\quad q=\frac{[コサ]}{[シ]} \]
のときである．

$n$を正の整数とする．以下の問いに答えよ．

(1)関数$g(x)$を次のように定める．
\[ g(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{\cos (\pi x)+1}{2} & (|x| \leqq 1 \text{のとき}) \\
0 & (|x|>1 \text{のとき})
\end{array} \right. \]
$f(x)$を連続な関数とし，$p,\ q$を実数とする．$\displaystyle |x| \leqq \frac{1}{n}$をみたす$x$に対して$p \leqq f(x) \leqq q$が成り立つとき，次の不等式を示せ．
\[ p \leqq n \int_{-1}^1 g(nx)f(x) \, dx \leqq q \]
(2)関数$h(x)$を次のように定める．
\[ h(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle -\frac{\pi}{2} \sin (\pi x) & (|x| \leqq 1 \text{のとき}) \\
0 & (|x|>1 \text{のとき})
\end{array} \right. \]
このとき，次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} n^2 \int_{-1}^1 h(nx) \log (1+e^{x+1}) \, dx \]

$a$をある実数とする．$f(x)$は$x$の$2$次関数であり，関数$F(x)$を
\[ F(x)=\int_a^x f(t) \, dt \]
で定義する．関数$f(x)$，$F(x)$が条件
\[ f(a)=0,\quad F(2a)=-a^3,\quad F(3a)=-8a^3 \]
をみたすとき，$f(x)$および$F(x)$を求めよ．

$2$つの関数$\displaystyle y=\sin \left( x+\frac{\pi}{8} \right)$と$y=\sin 2x$のグラフの$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の部分で囲まれる領域を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

$a,\ b,\ c,\ d,\ e$を正の有理数として整式

$f(x)=ax^2+bx+c$
$g(x)=dx+e$

を考える．すべての正の整数$n$に対して$\displaystyle \frac{f(n)}{g(n)}$は整数であるとする．このとき，$f(x)$は$g(x)$で割り切れることを示せ．

$a,\ b,\ c,\ d,\ e$を正の実数として整式

$f(x)=ax^2+bx+c$
$g(x)=dx+e$

を考える．すべての正の整数$n$に対して$\displaystyle \frac{f(n)}{g(n)}$は整数であるとする．このとき，$f(x)$は$g(x)$で割り切れることを示せ．

$2$つの関数を
\[ f_0(x)=\frac{x}{2},\quad f_1(x)=\frac{x+1}{2} \]
とおく．$\displaystyle x_0=\frac{1}{2}$から始め，各$n=1,\ 2,\ \cdots$について，それぞれ確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で$x_n=f_0(x_{n-1})$または$x_n=f_1(x_{n-1})$と定める．このとき，$\displaystyle x_n<\frac{2}{3}$となる確率$P_n$を求めよ．

自然数$n$に対して関数$f_n(x)$を
\[ f_n(x)=\frac{x}{n(1+x)} \log \left( 1+\frac{x}{n} \right) \quad (x \geqq 0) \]
で定める．以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^n f_n(x) \, dx \leqq \int_0^1 \log (1+x) \, dx$を示せ．
(2)数列$\{I_n\}$を
\[ I_n=\int_0^n f_n(x) \, dx \]
で定める．$0 \leqq x \leqq 1$のとき$\log (1+x) \leqq \log 2$であることを用いて数列$\{I_n\}$が収束することを示し，その極限値を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$であることは用いてよい．

$n$は自然数，$a$は$\displaystyle a>\frac{3}{2}$をみたす実数とし，実数$x$の関数
\[ f(x)=\int_0^x (x-\theta)(a \sin^{n+1}\theta-\sin^{n-1}\theta) \, d\theta \]
を考える．ただし，$n=1$のときは$\sin^{n-1}\theta=1$とする．

(1)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+1} \theta \, d\theta=\frac{n}{n+1}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1}\theta \, d\theta$を示せ．

(2)$\displaystyle f^\prime \left( \frac{\pi}{2} \right)=0$をみたす$n$と$a$の値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$n$と$a$に対して，$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{2} \right)$を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=\frac{1}{x(\log x)^2}$は$x>1$において単調に減少することを示せ．
(2)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{x(\log x)^2} \, dx$を求めよ．
(3)$n$を$3$以上の整数とするとき，不等式
\[ \sum_{k=3}^n \frac{1}{k(\log k)^2}<\frac{1}{\log 2} \]
が成り立つことを示せ．