「関数」について
タグ「関数」の検索結果
(3ページ目:全2213問中21問~30問を表示)![埼玉大学](./img/univ/saitama.png)
次の問いに答えよ.
(1)$\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2+3x+1}$とする.$x>0$の範囲で$f(x)$が最小になる$x$の値と,そのときの$f(x)$の値を求めよ.
(2)$a>0$とする.曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と$2$つの直線$\ell_1:y=2e^ax$,$\ell_2:y=(a^2+3a+1)x$を考える.$C$と$\ell_1$と$\ell_2$で囲まれる部分を$D$とする.
\mon[(ア)] $C$と$\ell_1$の交点,および,$C$と$\ell_2$の交点の座標を求めよ.
\mon[(イ)] $(1)$を用いて$2e^a>a^2+3a+1$であることを示せ.ただし,$e=2.7182 \cdots$であることは用いてよい.
\mon[(ウ)] $D$の面積を$a$を用いて表せ.
\mon[(エ)] $D$の面積を最小にする$a$の値と,そのときの$D$の面積を求めよ.
(1)$\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2+3x+1}$とする.$x>0$の範囲で$f(x)$が最小になる$x$の値と,そのときの$f(x)$の値を求めよ.
(2)$a>0$とする.曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と$2$つの直線$\ell_1:y=2e^ax$,$\ell_2:y=(a^2+3a+1)x$を考える.$C$と$\ell_1$と$\ell_2$で囲まれる部分を$D$とする.
\mon[(ア)] $C$と$\ell_1$の交点,および,$C$と$\ell_2$の交点の座標を求めよ.
\mon[(イ)] $(1)$を用いて$2e^a>a^2+3a+1$であることを示せ.ただし,$e=2.7182 \cdots$であることは用いてよい.
\mon[(ウ)] $D$の面積を$a$を用いて表せ.
\mon[(エ)] $D$の面積を最小にする$a$の値と,そのときの$D$の面積を求めよ.
![新潟大学](./img/univ/niigata.png)
関数$f(x)=|x^2-4|-3$について,次の問いに答えよ.
(1)方程式$f(x)=0$の解を求めよ.
(2)関数$y=f(x)$のグラフをかけ.
(3)関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ.
(1)方程式$f(x)=0$の解を求めよ.
(2)関数$y=f(x)$のグラフをかけ.
(3)関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ.
![新潟大学](./img/univ/niigata.png)
$a$を$0<a<1$を満たす実数として$x$の関数$f(x)=ax-\log (1+e^x)$の最大値を$M(a)$とするとき,次の問いに答えよ.ただし必要があれば
\[ \lim_{x \to +0} x \log x=0 \]
が成り立つことを用いてよい.
(1)$M(a)$を$a$を用いて表せ.
(2)$a$の関数$y=M(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ.
(3)$a$の関数$y=M(a)$のグラフをかけ.
\[ \lim_{x \to +0} x \log x=0 \]
が成り立つことを用いてよい.
(1)$M(a)$を$a$を用いて表せ.
(2)$a$の関数$y=M(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ.
(3)$a$の関数$y=M(a)$のグラフをかけ.
![静岡大学](./img/univ/shizuoka.png)
$a,\ b$を実数とする.$3$次関数$f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax+b$について次の各問に答えよ.
(1)関数$f(x)$が極値をもつための$a$の条件を求めよ.
(2)方程式$f(x)=0$が相異なる$3$つの正の実数解をもつための必要十分条件を$a,\ b$を用いて表し,この条件を満たす点$(a,\ b)$の全体を座標平面上に図示せよ.
(3)方程式$f(x)=0$が$2$つの相異なる正の実数解と$1$つの負の実数解をもつための必要十分条件を$a,\ b$を用いて表し,この条件を満たす点$(a,\ b)$の全体を座標平面上に図示せよ.
(1)関数$f(x)$が極値をもつための$a$の条件を求めよ.
(2)方程式$f(x)=0$が相異なる$3$つの正の実数解をもつための必要十分条件を$a,\ b$を用いて表し,この条件を満たす点$(a,\ b)$の全体を座標平面上に図示せよ.
(3)方程式$f(x)=0$が$2$つの相異なる正の実数解と$1$つの負の実数解をもつための必要十分条件を$a,\ b$を用いて表し,この条件を満たす点$(a,\ b)$の全体を座標平面上に図示せよ.
![東北大学](./img/univ/tohoku.png)
放物線$\displaystyle C:y=-\frac{1}{2}x^2$を考える.以下の問いに答えよ.
(1)関数$y=-2 |x|+k$のグラフが放物線$C$と共有点をもつような実数$k$の範囲を求めよ.
(2)$a,\ b$を実数とする.関数$y=-2 |x-a|+b$のグラフが放物線$C$と共有点をちょうど$4$個もつような点$(a,\ b)$全体のなす領域$D$を$xy$平面に図示せよ.
(3)$(2)$で求めた領域$D$の面積を求めよ.
(1)関数$y=-2 |x|+k$のグラフが放物線$C$と共有点をもつような実数$k$の範囲を求めよ.
(2)$a,\ b$を実数とする.関数$y=-2 |x-a|+b$のグラフが放物線$C$と共有点をちょうど$4$個もつような点$(a,\ b)$全体のなす領域$D$を$xy$平面に図示せよ.
(3)$(2)$で求めた領域$D$の面積を求めよ.
![東北大学](./img/univ/tohoku.png)
関数
\[ f(x)=\int_0^\pi |\sin (t-x)-\sin 2t| \, dt \]
の区間$0 \leqq x \leqq \pi$における最大値と最小値を求めよ.
\[ f(x)=\int_0^\pi |\sin (t-x)-\sin 2t| \, dt \]
の区間$0 \leqq x \leqq \pi$における最大値と最小値を求めよ.
![室蘭工業大学](./img/univ/muroran.png)
$a,\ b,\ c$を定数とし,$a \neq 0$とする.関数$f(x)$を
\[ f(x)=ax^2+bx+c \]
と定める.放物線$y=f(x)$の頂点の$x$座標を$x=1$とする.また,放物線$y=f(x)$と直線$y=x$の交点の$x$座標を$x=2$と$x=-3$とする.
(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ.
(2)放物線$y=f(x)$と関数$y=|x|$のグラフの交点をすべて求めよ.
(3)放物線$y=f(x)$と関数$y=|x|$のグラフで囲まれた図形の面積$S$を求めよ.
\[ f(x)=ax^2+bx+c \]
と定める.放物線$y=f(x)$の頂点の$x$座標を$x=1$とする.また,放物線$y=f(x)$と直線$y=x$の交点の$x$座標を$x=2$と$x=-3$とする.
(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ.
(2)放物線$y=f(x)$と関数$y=|x|$のグラフの交点をすべて求めよ.
(3)放物線$y=f(x)$と関数$y=|x|$のグラフで囲まれた図形の面積$S$を求めよ.
![室蘭工業大学](./img/univ/muroran.png)
関数$y=f(x)$のグラフが媒介変数$\theta$を用いて
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=\sin \theta-\theta \cos \theta \phantom{\frac{1}{[ ]}} \\
y=\cos \theta+\theta \sin \theta \phantom{\frac{1}{1}}
\end{array} \right. \quad (0 \leqq \theta \leqq \pi) \]
と表されている.
(1)関数$y=f(x)$の極値を求めよ.
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \theta \sin 2\theta \, d\theta$および$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \theta^2 \cos 2\theta \, d\theta$を計算せよ.
(3)関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸,および$2$直線$x=0$と$x=1$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ.
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=\sin \theta-\theta \cos \theta \phantom{\frac{1}{[ ]}} \\
y=\cos \theta+\theta \sin \theta \phantom{\frac{1}{1}}
\end{array} \right. \quad (0 \leqq \theta \leqq \pi) \]
と表されている.
(1)関数$y=f(x)$の極値を求めよ.
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \theta \sin 2\theta \, d\theta$および$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \theta^2 \cos 2\theta \, d\theta$を計算せよ.
(3)関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸,および$2$直線$x=0$と$x=1$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ.
![愛知教育大学](./img/univ/aichikyouiku.png)
関数
\[ y=x^x(1-x)^{1-x} \quad (0<x<1) \]
について,次の問いに答えよ.
(1)$y$の導関数を求めよ.
(2)$y$のとり得る値の範囲を求めよ.ただし,必要があれば,$\displaystyle \lim_{t \to +0}t^t=1$であることを証明なしに用いてよい.
\[ y=x^x(1-x)^{1-x} \quad (0<x<1) \]
について,次の問いに答えよ.
(1)$y$の導関数を求めよ.
(2)$y$のとり得る値の範囲を求めよ.ただし,必要があれば,$\displaystyle \lim_{t \to +0}t^t=1$であることを証明なしに用いてよい.
![愛知教育大学](./img/univ/aichikyouiku.png)
次の問いに答えよ.
(1)不定積分$\displaystyle \int \sin^2 t \, dt$,$\displaystyle \int \sin t \cos t \, dt$,$\displaystyle \int \cos^2 t \, dt$をそれぞれ求めよ.
(2)等式
\[ f(x)=\cos x+\frac{1}{\pi} \int_0^\pi f(t) \cos (t-x) \, dt \]
を満たす$f(x)$を求めよ.
(1)不定積分$\displaystyle \int \sin^2 t \, dt$,$\displaystyle \int \sin t \cos t \, dt$,$\displaystyle \int \cos^2 t \, dt$をそれぞれ求めよ.
(2)等式
\[ f(x)=\cos x+\frac{1}{\pi} \int_0^\pi f(t) \cos (t-x) \, dt \]
を満たす$f(x)$を求めよ.