次の問いに答えよ．

(1)全体集合$U$の要素の個数が$50$，$U$の部分集合$A,\ B,\ C$の要素の個数がそれぞれ$33$，$36$，$37$である．$A \cap B \cap C$の要素の個数の最小値を求めよ．
(2)$70$より大きい$2$桁の素数の値すべてからなる$1$組のデータがある．ただし，同じ値は重複していない．このデータの標準偏差を求めよ．
(3)$(0.9)^n<0.01$を満たす最小の整数$n$を求めよ．ただし小数第$5$位を四捨五入したとき$\log_{10}3=0.4771$である．
(4)極方程式$r=2(\cos \theta+\sin \theta)$の表す曲線を直交座標$(x,\ y)$に関する方程式で表す．$x=1$に対する$y$をすべて求めよ．
(5)複素数平面上に点$\mathrm{A}$を直角の頂点とする直角二等辺三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\mathrm{A}(2+i)$，$\mathrm{B}(4+4i)$のとき点$\mathrm{C}$を表す複素数を求めよ．
(6)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{3x^2+2x+1}+ax+b)=0$が成り立つように定数$a,\ b$の値を定めよ．
(7)$x>0$で定義される関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log 2x}{x^2}$の最大値を求めよ．
(8)曲線$x=3(t-\sin t)$，$y=3(1-\cos t)$の$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の部分の長さを求めよ．

$a$を正の実数とする．関数$f(x)=e^{a(x+1)}-ax$とする．次の各問に答えよ．

(1)$f(x)$の最小値を求めよ．
(2)原点から曲線$y=f(x)$に引いた接線の方程式を求めよ．
(3)この曲線と$y$軸，及び$(2)$で求めた接線によって囲まれた部分の面積$S(a)$を求めよ．
(4)$S(a)$の最小値を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)不等式$x^2-x-5<|2x-1|$を解け．
(2)和が$22$，最小公倍数が$60$となる$2$つの自然数を求めよ．
(3)関数$y=4 \sin^2 x-4 \cos x-3 (0 \leqq x \leqq \pi)$の最大値を求めよ．またそのときの$x$の値を求めよ．
(4)空間の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{B}(2,\ 3,\ 1)$，$\mathrm{C}(0,\ 1,\ 2)$を考える．点$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(5)$3$次方程式$x^3+x^2-2x+1=0$の$3$つの解を$a_1,\ a_2,\ a_3$とするとき，${a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2$の値を求めよ．

$a$を定数とし，$2$次関数$y=ax^2-4ax+a+5$のグラフを$C$とする．以下の各問いに答えなさい．

(1)グラフ$C$が点$(3,\ 1)$を通るとき，$a$の値を求めなさい．
(2)$(1)$で求めた関数の頂点の座標を求めなさい．
(3)$(1)$で求めた関数について，$-1 \leqq x \leqq 3$の時，$y$の最大値と最小値をそれぞれ求めなさい．

$a$を定数とし，$2$次関数$y=x^2-2(a+1)x+10a-15$のグラフを$C$とする．次の各問いに答えなさい．

(1)グラフ$C$が$x$軸に接するとき，$a$の値を求めなさい．
(2)$(1)$で求めた関数の頂点の座標を求めなさい．
(3)$(1)$で求めた$2$次関数のグラフ$C$を点$\mathrm{A}(1,\ 2)$に関して対称移動したグラフの方程式を求めなさい．

等式
\[ f^\prime(x)=x^2+2 \left( \int_0^1 f(t) \, dt \right) x \]
を満たす関数$y=f(x)$を考える．$\displaystyle c=\int_0^1 f(t) \, dt$とおく．

(1)$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3+cx^2+\left( \frac{[ア]}{[イ]}c-\frac{[ウ]}{[エオ]} \right)$であり，

$f(0)=1$のとき，$\displaystyle c=\frac{[カキ]}{[ク]}$である．

(2)$c<0$とし，$f(x)$は$0 \leqq x \leqq 1$において$x=1$で最大値をとるものとする．このとき，$c$のとりうる最小の値は
\[ \frac{[ケコ]}{[サ]} \]
であり，$f(x)$の$0 \leqq x \leqq 1$における最小値は$c$を用いて
\[ \frac{[シ]}{[ス]} c^{\mkakko{セ}}+\frac{[ソ]}{[タ]}c-\frac{[チ]}{[ツテ]} \]
と表すことができる．
(3)座標平面において，関数$y=f(x)$のグラフと直線
\[ y=-\frac{3}{4}c^2x-\frac{1}{12} \]
が点$(-1,\ f(-1))$で接するとき，$c=[ト]$である．このとき，$2$つのグラフのもう$1$つの共有点の$x$座標は$[ナニ]$である．

等式
\[ f^\prime(x)=x^2+2 \left( \int_0^1 f(t) \, dt \right) x \]
を満たす関数$y=f(x)$を考える．$\displaystyle c=\int_0^1 f(t) \, dt$とおく．

(1)$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3+cx^2+\left( \frac{[ア]}{[イ]}c-\frac{[ウ]}{[エオ]} \right)$であり，

$f(0)=1$のとき，$\displaystyle c=\frac{[カキ]}{[ク]}$である．

(2)$c<0$とし，$f(x)$は$0 \leqq x \leqq 1$において$x=1$で最大値をとるものとする．このとき，$c$のとりうる最小の値は
\[ \frac{[ケコ]}{[サ]} \]
であり，$f(x)$の$0 \leqq x \leqq 1$における最小値は$c$を用いて
\[ \frac{[シ]}{[ス]} c^{\mkakko{セ}}+\frac{[ソ]}{[タ]}c-\frac{[チ]}{[ツテ]} \]
と表すことができる．
(3)座標平面において，関数$y=f(x)$のグラフと直線
\[ y=-\frac{3}{4}c^2x-\frac{1}{12} \]
が点$(-1,\ f(-1))$で接するとき，$c=[ト]$である．このとき，$2$つのグラフのもう$1$つの共有点の$x$座標は$[ナニ]$である．

関数$f(x)=x^3-3x+2$について，次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(2)関数$f(x)$のグラフに点$(2,\ -4)$から引いた$2$本の接線の方程式をそれぞれ求めよ．
(3)関数$f(x)$のグラフのうち$f(x) \geqq 0$の部分と，$(2)$の$2$本の接線で囲まれた部分の面積を求めよ．

関数$f(x)=-x^3+ax^2+bx+1$が，$x=-1-\sqrt{2}$と$x=-1+\sqrt{2}$で極値をとるとする．次の各問に答えよ．

(1)定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の極値を求めよ．
(3)$y=f(x)$のグラフをかけ．

$\theta$は$0 \leqq \theta<2\pi$をみたす実数とする．
\[ f(x)=x^2-(2 \cos \theta)x-\sin^2 \theta+\sin \theta+\frac{1}{2} \]
とおくとき，以下の問いに答えなさい．

(1)放物線$y=f(x)$の頂点の座標を求めなさい．
(2)方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつような$\theta$の範囲を求めなさい．
(3)$\theta$が$(2)$で求めた範囲を動くとき，放物線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる図形の面積を$S(\theta)$とする．$S(\theta)$を最大にする$\theta$の値と，$S(\theta)$の最大値を求めなさい．