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公立 高知工科大学 2010年 第3問関数列
\[ f_n(x)=x^{n-1},\quad g_n(x)=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}f_k(x) \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
について，次の各問に答えよ．
(1)$\displaystyle F_n(x) = \int_0^x f_n(t) \, dt$を求めよ．
(2)$\{g_n(x)\}$が数列として収束するための実数$x$の条件を求めよ．また，$x$がこの条件を満たすとき$\displaystyle g(x)=\lim_{n \to \infty}g_n(x)$とおく．
\[ \int_0^x g(t) \, dt \]
を求めよ．
(3)(1)の$F_n(x)$について
\[ -F_{n+1}(1) \leqq \int_0^1 \frac{(-1)^n f_{n+1}(t)}{1+t} \, dt \leqq F_{n+1}(1) \]
が成り立つことを証明せよ．
(4)無限級数
\[ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +(-1)^{n-1} \frac{1}{n}+\cdots \]
の収束，発散について調べ，収束すればその和を求めよ．
\[ f_n(x)=x^{n-1},\quad g_n(x)=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}f_k(x) \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
について，次の各問に答えよ．
(1)$\displaystyle F_n(x) = \int_0^x f_n(t) \, dt$を求めよ．
(2)$\{g_n(x)\}$が数列として収束するための実数$x$の条件を求めよ．また，$x$がこの条件を満たすとき$\displaystyle g(x)=\lim_{n \to \infty}g_n(x)$とおく．
\[ \int_0^x g(t) \, dt \]
を求めよ．
(3)(1)の$F_n(x)$について
\[ -F_{n+1}(1) \leqq \int_0^1 \frac{(-1)^n f_{n+1}(t)}{1+t} \, dt \leqq F_{n+1}(1) \]
が成り立つことを証明せよ．
(4)無限級数
\[ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +(-1)^{n-1} \frac{1}{n}+\cdots \]
の収束，発散について調べ，収束すればその和を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2010年 第4問関数$\displaystyle f_n(x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}- \cdots +\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n} \ $(ただし$x \geqq 0,\ n=1,\ 2,\ \cdots$)について，次の問いに答えよ．
(1)導関数$\displaystyle \frac{d}{dx}f_n(x)$を求めよ．
(2)$n$が偶数のとき，$f_n(x) \leqq \log (1+x)$，$n$が奇数のとき$f_n(x) \geqq \log (1+x)$であることを示せ．
(3)(2)を利用して$\displaystyle \log \frac{6}{5}$の値を，小数第3位を四捨五入して小数第2位まで求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{1}{250}+\frac{1}{251}+\cdots +\frac{1}{299}+\frac{1}{300}$の値を，小数第3位を四捨五入して小数第2位まで求めよ．
(1)導関数$\displaystyle \frac{d}{dx}f_n(x)$を求めよ．
(2)$n$が偶数のとき，$f_n(x) \leqq \log (1+x)$，$n$が奇数のとき$f_n(x) \geqq \log (1+x)$であることを示せ．
(3)(2)を利用して$\displaystyle \log \frac{6}{5}$の値を，小数第3位を四捨五入して小数第2位まで求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{1}{250}+\frac{1}{251}+\cdots +\frac{1}{299}+\frac{1}{300}$の値を，小数第3位を四捨五入して小数第2位まで求めよ．
公立 京都府立大学 2010年 第3問関数$\displaystyle f(x)=\int_0^\pi |t^2-x^2| \sin t \, dt$について，以下の問いに答えよ．
(1)$f(0)$を求めよ．
(2)定数$a$を実数とする．$f(a)$を求めよ．
(3)$f(x)$は$x=\pi$で微分可能であることを示せ．
(4)点$(\pi,\ f(\pi))$における曲線$C:y=f(x)$の接線を$\ell$とする．$C$，$\ell$，および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$f(0)$を求めよ．
(2)定数$a$を実数とする．$f(a)$を求めよ．
(3)$f(x)$は$x=\pi$で微分可能であることを示せ．
(4)点$(\pi,\ f(\pi))$における曲線$C:y=f(x)$の接線を$\ell$とする．$C$，$\ell$，および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
公立 大阪府立大学 2010年 第4問次の問いに答えよ．
(1)$a$を正の定数とするとき，関数
\[ f(x)=\log (x+\sqrt{a+x^2}) \]
の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$t=\sqrt{3}\tan \theta$とおくことにより，定積分
\[ I=\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{(3+t^2)^3}} \]
を求めよ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$であるすべての$x$に対して，不等式
\[ \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(3+t^2)^3}} \geqq k \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{3+t^2}} \]
が成り立つための実数$k$の範囲を求めよ．ただし，$\log 3=1.10$とする．
(1)$a$を正の定数とするとき，関数
\[ f(x)=\log (x+\sqrt{a+x^2}) \]
の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$t=\sqrt{3}\tan \theta$とおくことにより，定積分
\[ I=\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{(3+t^2)^3}} \]
を求めよ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$であるすべての$x$に対して，不等式
\[ \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(3+t^2)^3}} \geqq k \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{3+t^2}} \]
が成り立つための実数$k$の範囲を求めよ．ただし，$\log 3=1.10$とする．
公立 兵庫県立大学 2010年 第5問自然数$n$に対して，関数$f_n(x)$を次のように定義する．
\[ f_n(x)=(\sin x+\sin 2x+\cdots +\sin nx)\sin \frac{x}{2} \]
次の問いに答えよ．
(1)方程式$f_2(x)=0$の実数解$x$で，$0<x<\pi$を満たすものを求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^\pi f_{50}(x) \, dx$を求めよ．
\[ f_n(x)=(\sin x+\sin 2x+\cdots +\sin nx)\sin \frac{x}{2} \]
次の問いに答えよ．
(1)方程式$f_2(x)=0$の実数解$x$で，$0<x<\pi$を満たすものを求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^\pi f_{50}(x) \, dx$を求めよ．
公立 公立はこだて未来大学 2010年 第2問$a$を定数とするとき，関数$f(x)=2^{2x}-(4+a)2^{x+1}+16a$について，以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle a=-\frac{1}{2}$のとき，$f(x)=0$をみたす$x$を求めよ．
(2)$a>-4$のとき，$f(x)$の最小値を$a$で表せ．
(1)$\displaystyle a=-\frac{1}{2}$のとき，$f(x)=0$をみたす$x$を求めよ．
(2)$a>-4$のとき，$f(x)$の最小値を$a$で表せ．
公立 公立はこだて未来大学 2010年 第3問3次関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{a}{2}x^2-\frac{a^3}{12}$について，以下の問いに答えよ．ただし，$a>0$とする．
(1)$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(2)$f$の導関数$y=f^\prime(x)$のグラフの接線で，$x$軸に平行なものを求めよ．
(3)(2)で求めた接線と$y=f(x)$のグラフが，共有点をちょうど3個もつような$a$の値の範囲を求めよ．
(1)$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(2)$f$の導関数$y=f^\prime(x)$のグラフの接線で，$x$軸に平行なものを求めよ．
(3)(2)で求めた接線と$y=f(x)$のグラフが，共有点をちょうど3個もつような$a$の値の範囲を求めよ．
公立 会津大学 2010年 第5問関数$y=(x-2)e^x$のグラフを$C$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$y=(x-2)e^x$の増減，極値，$C$の凹凸，変曲点を調べて，$C$を座標平面上に描け．ただし，$\displaystyle \lim_{t \to \infty}\frac{t}{e^t}=0$を用いてもよい．
(2)$C$と$x$軸の共有点と，$C$の変曲点を通る直線を$\ell$とおく．$C$と$\ell$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)関数$y=(x-2)e^x$の増減，極値，$C$の凹凸，変曲点を調べて，$C$を座標平面上に描け．ただし，$\displaystyle \lim_{t \to \infty}\frac{t}{e^t}=0$を用いてもよい．
(2)$C$と$x$軸の共有点と，$C$の変曲点を通る直線を$\ell$とおく．$C$と$\ell$で囲まれた部分の面積を求めよ．
公立 兵庫県立大学 2010年 第5問関数$y=f(x)$は$0$以上の実数$x$に対して定義され，正の値をとる関数である．図はこの関数のグラフの一部を表している．$0 \leqq t<u$を満たす$2$つの実数$t$と$u$に対して，$x$軸，$2$つの直線$x=t$，$x=u$とこのグラフとで囲まれた領域（網掛け部分）の面積を$S(t,\ u)$と書くことにする．また，面積が$S(t,\ u)$と等しい長方形$\mathrm{ATUB}$を図のようにとり，その高さ$\mathrm{AT}$を$g(t,\ u)$で表すとき，$g(t,\ u)$は$t,\ u$の式として次のようになった．
\[ g(t,\ u)=t^2+tu+u^2+t+u+5 \]
以下の問に答えなさい．
(1)$S(1,\ 3)$を求めなさい．
(2)$S_0(x)=S(0,\ x)$とおく．このとき，$g(t,\ u)$を関数$S_0(x)$を用いて表しなさい．
(3)正の実数$x$に対して，$f(x)$を求めなさい．
（図は省略）
\[ g(t,\ u)=t^2+tu+u^2+t+u+5 \]
以下の問に答えなさい．
(1)$S(1,\ 3)$を求めなさい．
(2)$S_0(x)=S(0,\ x)$とおく．このとき，$g(t,\ u)$を関数$S_0(x)$を用いて表しなさい．
(3)正の実数$x$に対して，$f(x)$を求めなさい．
（図は省略）
公立 和歌山県立医科大学 2010年 第3問$2$次の多項式$f(x)$の係数はいずれも負でない整数であり，$f(1)=15$，$f(2)=33$であるとする．さらに，自然数$n$に対して$f(1)+\cdots +f(n)$はつねに$n$で割り切れるものとする．このような$f(x)$をすべて求めよ．