関数$f(x)=\log (\sin x+2) (0<x<2\pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の第$1$次導関数$f^\prime(x)$と第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$の極値を求めよ．
(3)$f(x)$の変曲点を求め，$y=f(x)$のグラフの概形を座標平面上にかけ．
(4)$k$を実数の定数とするとき，$0<x<2\pi$における$\log (\sin x+2)-k=0$の解の個数を調べよ．

$x$の関数$y=|e^{-x|-a}$に対して，次の問いに答えよ．ここで$a$は$-\infty<a<\infty$の範囲の定数とする．

(1)$e^{-1}<a<1$であるとき，$x$の関数$y=|e^{-x|-a}$のグラフの概形を座標平面上にかけ．
(2)$\displaystyle f(a)=\int_0^1 |e^{-x|-a} \, dx$とおく．$-\infty<a<\infty$であるとき，$f(a)$を$a$を用いて表せ．
(3)$a$が$-\infty<a<\infty$であるとき，$f(a)$の最小値を求めよ．

次の$[　]$をうめよ．

(1)$x^2-3x+5=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．このとき，$\alpha^2+\beta^2=[$1$]$であり，さらに$\displaystyle \frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=[$2$]$である．
(2)$xy$平面上の$3$点$(1,\ 2)$，$(2,\ 4)$，$(3,\ 1)$にあと$1$点$\mathrm{A}$を加えることにより，それらが平行四辺形の$4$つの頂点になるとする．このとき，$\mathrm{A}$の$y$座標をすべて求めると$[$3$]$である．
(3)$n$は自然数とする．$(x+y+1)^n$を展開したとき，$xy$の項の係数は$90$であった．このときの$n$の値は$[$4$]$である．
(4)$-1<x$において，関数$f(x)$は
\[ f(x)=\lim_{n \to \infty} \frac{x^n}{x^{n+2}+x^n+1} \]
で定義されている．$f(x)$を求めると，ある値$\alpha$で$f(x)$が連続にならないことがわかる．このとき$f(\alpha)$と等しい値をとるもうひとつの$x$は$[$5$]$である．
(5)$i=\sqrt{-1}$とする．複素数$\alpha=1+\sqrt{3}i$に対して，$\displaystyle \frac{(\alpha+2)^6}{\alpha^3}$の値は$[$6$]$である．
(6)$0<x \leqq \pi$とする．方程式
\[ \sin 3x+\sin x=\cos x \]
の解$x$をすべて求めると$[$7$]$である．

次の問いの答を記入せよ．

(1)$|\overrightarrow{a}|=3$，$|\overrightarrow{b}|=4$，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=6$のとき，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$の値を求めよ．
(2)定義域が$0 \leqq x \leqq 3$である$2$次関数$y=-ax^2+2ax+b$の最大値が$3$で，最小値が$-5$であるとき，定数$a,\ b$の値を求めよ．ただし$a>0$とする．
(3)$\displaystyle \cos \theta=-\frac{\sqrt{3}}{2}$を満たす角$\theta$を求めよ．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ$とする．
(4)$3$つの数$x-2,\ x+1,\ x+7$がこの順で等比数列となるとき，$x$の値を求めよ．
(5)白玉$3$個，赤玉$2$個が入っている袋から玉を$1$個取り出し色を確認してからもとに戻す．この操作を$3$回続けて行う．$1$回目に白，$2$回目に赤，$3$回目に赤の玉が取り出される確率を求めよ．ただし，どの玉も取り出される確率は等しいとする．
(6)関数$y=x^3-12x$の区間$-1 \leqq x \leqq 3$における最大値と最小値を求めよ．
(7)次の条件を満たす関数$f(x)$を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
f^\prime(x)=6x^2-2x+3 \\
f(1)=7
\end{array} \right. \]

関数
\[ f(x)=|x| \left( \frac{1}{3}x^2-\frac{1}{4}x \right)-\frac{3}{4}x^2+1 \]
に対し，以下の設問に答えよ．

(1)$a<0$とするとき，関数$y=f(x)$の$x=a$における微分係数$f^\prime(a)$を求めよ．
(2)$b>0$とするとき，関数$y=f(x)$の$x=b$における微分係数$f^\prime(b)$を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$の区間$-2 \leqq x \leqq 3$における最大値と最小値を求めよ．

$k$を実数の定数とするとき，下記の問いに答えなさい．

(1)$f(x)=2x^3+x^2-5x+3$，$g(x)=x^4+x^2-(k+1)x+k$とおく．$k$の値が変化するとき，曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の共有点の個数を調べなさい．
(2)$x$についての方程式$\displaystyle 6 \tan x+\cos x-k \sin x=0 \left( 0<x<\frac{\pi}{2} \right)$を考える．$k$の値が変化するとき，実数解の個数が$2$個であるのは$[$1$]$のときである．また実数解の個数が$1$個であるのは$[$2$]$のときであり，実数解が存在しないのは$[$3$]$のときである．
$[$1$]$，$[$2$]$，$[$3$]$に該当する$k$の条件を答えなさい．

関数
\[ f(x)=\frac{5}{8}x^2+|x| \left( \frac{1}{2}+\frac{3}{8}x \right) \]
に対し，$xy$平面上のグラフ$C:y=f(x)$を考える．$a$を正の実数とし，$y$軸上の点$\mathrm{P}(0,\ -a^2)$から$C$に$2$本の接線$\ell_1$，$\ell_2$を引く．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)$C$と$\ell_1$の接点を$\mathrm{S}(s,\ f(s))$とする．$s<0$のとき，$a$を用いて$s$を表せ．
(2)$C$と$\ell_2$の接点を$\mathrm{T}(t,\ f(t))$とする．$t>0$のとき，$a$を用いて$t$を表せ．
(3)$\ell_1$と$\ell_2$が直交するような$a$の値を求めよ．

$a$は$0 \leqq a \leqq 1$を満たす実数とする．関数$y=|x-a|$のグラフと円周$x^2+y^2=1$の$2$交点の中点を$\mathrm{M}$とする．

(1)$\mathrm{M}$の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$a$が$0 \leqq a \leqq 1$の範囲を動くときの$\mathrm{M}$の軌跡を図示せよ．

関数$\displaystyle y=\frac{1}{x}$のグラフと接する$2$本の直線$\ell_1$，$\ell_2$が第$2$象限で交わっている．実数$a,\ b$は$a>0$，$b<0$とし直線$\ell_1$は点$(a,\ 0)$を通り，直線$\ell_2$は点$(b,\ 0)$を通る．点$\mathrm{A}$は直線$\ell_1$と$x$軸の交点，点$\mathrm{B}$は直線$\ell_1$と直線$\ell_2$の交点，点$\mathrm{C}$は直線$\ell_2$と$y$軸の交点とする．このとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$は$\displaystyle t=\frac{a}{b}$の関数で，
\[ S=\frac{[テ](t+[ト])t}{t+[ナ]} \]
となり，面積$S$は$t=[ニ]-\sqrt{[ヌ]}$で最小値をとる．

$2$次関数$y=f(x)$のグラフは，頂点が$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ -\frac{7}{2} \right)$で，点$(3,\ 1)$を通る．以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$y=f(x)$の接線のうち，傾きが$4$となるものの方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた接線に平行で点$(2,\ 1)$を通る直線を$\ell$とする．直線$\ell$と放物線$y=f(x)$の交点の$x$座標を求めよ．
(4)直線$\ell$と放物線$y=f(x)$によって囲まれた部分の面積を求めよ．